70. 爬楼梯
思路
这次讲到了背包问题
这道题目 我们在动态规划：爬楼梯 (opens new window)中已经讲过一次了，原题其实是一道简单动规的题目。
既然这么简单为什么还要讲呢，其实本题稍加改动就是一道面试好题。
改为：一步一个台阶，两个台阶，三个台阶，.......，直到 m个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
1阶，2阶，.... m阶就是物品，楼顶就是背包。
每一阶可以重复使用，例如跳了1阶，还可以继续跳1阶。
问跳到楼顶有几种方法其实就是问装满背包有几种方法。
此时应该发现这就是一个完全背包问题了！
和昨天的题目动态规划：377. 组合总和 Ⅳ (opens new window)基本就是一道题了。
动规五部曲分析如下：
- 确定dp数组以及下标的含义
dpi：爬到有i个台阶的楼顶，有dpi种方法。
- 确定递推公式
在动态规划：494.目标和 (opens new window)、 动态规划：518.零钱兑换II (opens new window)、动态规划：377. 组合总和 Ⅳ (opens new window)中我们都讲过了，求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dpi += dpi - nums\[j];
本题呢，dpi有几种来源，dpi - 1，dpi - 2，dpi - 3 等等，即：dpi - j
那么递推公式为：dpi += dpi - j
- dp数组如何初始化
既然递归公式是 dpi += dpi - j，那么dp0 一定为1，dp0是递归中一切数值的基础所在，如果dp0是0的话，其他数值都是0了。
下标非0的dpi初始化为0，因为dpi是靠dpi-j累计上来的，dpi本身为0这样才不会影响结果
- 确定遍历顺序
这是背包里求排列问题，即：1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样！
所以需将target放在外循环，将nums放在内循环。
每一步可以走多次，这是完全背包，内循环需要从前向后遍历。
- 举例来推导dp数组
介于本题和动态规划：377. 组合总和 Ⅳ (opens new window)几乎是一样的，这里我就不再重复举例了。
代码如下：
class Solution {
public int climbStairs(int n) {
int[] dp = new int[n+1];
dp[0]=1;
int m = 2;//表示有两个物品，一个重量为一，一个重量为2
for (int i = 1; i <= n; i++) {// 遍历背包
for (int j = 1; j <= m; j++) {// 遍历物品
if (i>=j){
dp[i]+=dp[i-j];
}
}
}
return dp[n];
}
}- 时间复杂度: O(nm)
- 空间复杂度: O(n)
代码中m表示最多可以爬m个台阶，代码中把m改成2就是本题70.爬楼梯可以AC的代码了。
322. 零钱兑换
思路
在动态规划：518.零钱兑换II (opens new window)中我们已经兑换一次零钱了，这次又要兑换，套路不一样！
题目中说每种硬币的数量是无限的，可以看出是典型的完全背包问题。
动规五部曲分析如下：
- 确定dp数组以及下标的含义
dpj：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dpj
- 确定递推公式
凑足总额为j - coinsi的最少个数为dpj - coins\[i]，那么只需要加上一个钱币coinsi即dpj - coins\[i] + 1就是dpj（考虑coinsi）
所以dpj 要取所有 dpj - coins\[i] + 1 中最小的。
递推公式：dpj = min(dpj - coins\[i] + 1, dpj);
- dp数组如何初始化
首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp0 = 0;
其他下标对应的数值呢？
考虑到递推公式的特性，dpj必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dpj - coins\[i] + 1, dpj)比较的过程中被初始值覆盖。
所以下标非0的元素都是应该是最大值。
代码如下：
java
int max = Integer.MAX_VALUE;
dp[0] = 0;- 确定遍历顺序
本题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数。
所以本题并不强调集合是组合还是排列。
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
在动态规划专题我们讲过了求组合数是动态规划：518.零钱兑换II (opens new window)，求排列数是动态规划：377. 组合总和 Ⅳ (opens new window)。
所以本题的两个for循环的关系是：外层for循环遍历物品，内层for遍历背包或者外层for遍历背包，内层for循环遍历物品都是可以的！
那么我采用coins放在外循环，target在内循环的方式。
本题钱币数量可以无限使用，那么是完全背包。所以遍历的内循环是正序
综上所述，遍历顺序为：coins（物品）放在外循环，target（背包）在内循环。且内循环正序。
- 举例推导dp数组
以输入：coins = 1, 2, 5, amount = 5为例
dpamount为最终结果。
以上分析完毕，C++ 代码如下：
java
class Solution {
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
int max = Integer.MAX_VALUE;
int[] dp = new int[amount+1];
//初始化dp数组为最大值
for (int j = 0; j < dp.length; j++) {
dp[j] = max;
}
//当金额为0时需要的硬币数目为0
dp[0] = 0;
for(int i=0;i<coins.length;i++){// 遍历物品
for(int j=coins[i];j<=amount;j++){// 遍历背包
if(dp[j-coins[i]] != max){// 如果dp[j - coins[i]]是初始值则跳过
dp[j]=Math.min(dp[j],dp[j-coins[i]]+1);
}
}
}
return dp[amount] == max ?-1:dp[amount];
}
}- 时间复杂度: O(n * amount)，其中 n 为 coins 的长度
- 空间复杂度: O(amount)
279.完全平方数
思路
可能刚看这种题感觉没啥思路，又平方和的，又最小数的。
题目翻译一下：完全平方数就是物品（可以无限件使用），凑个正整数n就是背包，问凑满这个背包最少有多少物品？
感受出来了没，这么浓厚的完全背包氛围，而且和昨天的题目动态规划：322. 零钱兑换 (opens new window)就是一样一样的！
动规五部曲分析如下：
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dpj：和为j的完全平方数的最少数量为dpj
- 确定递推公式
dpj 可以由dpj - i \* i推出， dpj - i \* i + 1 便可以凑成dpj。
此时我们要选择最小的dpj，所以递推公式：dpj = min(dpj - i \* i + 1, dpj);
- dp数组如何初始化
dp0表示 和为0的完全平方数的最小数量，那么dp0一定是0。
有同学问题，那0 * 0 也算是一种啊，为啥dp0 就是 0呢？
看题目描述，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...），题目描述中可没说要从0开始，dp0=0完全是为了递推公式。
非0下标的dpj应该是多少呢？
从递归公式dpj = min(dpj - i \* i + 1, dpj);中可以看出每次dpj都要选最小的，所以非0下标的dpj一定要初始为最大值，这样dpj在递推的时候才不会被初始值覆盖。
- 确定遍历顺序
我们知道这是完全背包，
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
在动态规划：322. 零钱兑换 (opens new window)中我们就深入探讨了这个问题，本题也是一样的，是求最小数！
所以本题外层for遍历背包，内层for遍历物品，还是外层for遍历物品，内层for遍历背包，都是可以的！
- 举例推导dp数组
已输入n为5例，dp状态图如下：
dp0 = 0 dp1 = min(dp0 + 1) = 1 dp2 = min(dp1 + 1) = 2 dp3 = min(dp2 + 1) = 3 dp4 = min(dp3 + 1, dp0 + 1) = 1 dp5 = min(dp4 + 1, dp1 + 1) = 2
最后的dpn为最终结果。
代码如下：
java
class Solution {
public int numSquares(int n) {
//dp[i]数组表示返回和为n的完全平方数的最少数量dp[n]
int[] dp = new int[n+1];
Arrays.fill(dp, Integer.MAX_VALUE);
dp[0]=0;
for(int i = 1;i*i<=n;i++){
for(int j = i*i;j<=n;j++){
dp[j] = Math.min(dp[j],dp[j-i*i]+1);
}
}
return dp[n];
}
}- 时间复杂度: O(n * √n)
- 空间复杂度: O(n)
先打好基础吧，希望二刷顺利。