数据分析实战 | 线性回归——女性身高与体重数据分析

一、数据集及分析对象

二、目的及分析任务

三、方法及工具

四、数据读入

实现回归分析类算法的Python第三方工具包比较常用的有statsmodels、statistics、scikit-learn等，下面我们主要采用statsmodels。

一、数据集及分析对象

CSV文件------"women.csv"。

数据集链接：https://download.csdn.net/download/m0_70452407/88519967

该数据集给出了年龄在30~39岁的15名女性的身高和体重数据，主要属性如下：

（1）height：身高

（2）weight：体重

二、目的及分析任务

理解机器学习方法在数据分析中的应用------采用简单线性回归、多项式回归方法进行回归分析。

（1）训练模型。

（2）对模型进行拟合优度评价和可视化处理，验证简单线性回归建模的有效性。

（3）采用多项式回归进行模型优化。

（4）按多项式回归模型预测体重数据。

三、方法及工具

Python语言及第三方工具包pandas、matplotlib和statsmodels。

四、数据读入

python 复制代码

import pandas as pd
df_women=pd.read_csv("D:\\Download\\JDK\\数据分析理论与实践by朝乐门_机械工业出版社\\第3章 回归分析\\women.csv",
                     index_col=0)

五、数据理解

对数据框df_women进行探索性分析。

python 复制代码

df_women.describe()

python 复制代码

df_women.shape

python 复制代码
(15, 2)

接着，对数据库df_women进行数据可视化分析，通过调用mayplotlib.pyplot包中数据框（DataFrame）的scatter()方法绘制散点图。

python 复制代码

import matplotlib.pyplot as plt
plt.scatter(df_women["height"],df_women["weight"])

从输出结果可以看出，女性身高与体重之间的关系可以进行线性回归分析，需要进一步进行数据准备工作。

六、数据准备

进行线性回归分析之前，应准备好模型所需的特征矩阵（X）和目标向量（y）。这里我们采用Python的统计分析包statsmodel进行自动类型转换。

python 复制代码

X=df_women['height']
y=df_women['weight']

七、模型训练

以女性身高height作为自变量、体重weight作为因变量对数据进行简单线性回归建模，这里采用Python的统计分析包statsmodels中的OLS函数进行建模分析。

python 复制代码

import statsmodels.api as sm

statsmodels.OLS()方法的输入有（endog,exog,missing,hasconst）4个，其中，endog是回归中的因变量，即上述模型中的weight，exog则是自变量的值，即模型中的height。

默认情况下，statsmodels.OLS()方法不含截距项，因此应将模型中的常数项看作基为1的维度上的系数。所以，exog的输入中，最左侧的一列的数值应全为1。这里我们采用statsmodels中提供的可直接解决这一问题的方法------sm.add_constant()给X新增一列，列名为const，每行取值为1.0

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X_add_const=sm.add_constant(X)
X_add_const

在自变量X_add_const和因变量y上使用OLS()方法进行简单线性回归。

python 复制代码

myModel=sm.OLS(y,X_add_const)

然后获取拟合结果，并调用summary()方法显示回归拟合的结果。

python 复制代码

results=myModel.fit()
print(results.summary())

python 复制代码

 OLS Regression Results                            
==============================================================================
Dep. Variable:                 weight   R-squared:                       0.991
Model:                            OLS   Adj. R-squared:                  0.990
Method:                 Least Squares   F-statistic:                     1433.
Date:                Thu, 09 Nov 2023   Prob (F-statistic):           1.09e-14
Time:                        18:28:09   Log-Likelihood:                -26.541
No. Observations:                  15   AIC:                             57.08
Df Residuals:                      13   BIC:                             58.50
Df Model:                           1                                         
Covariance Type:            nonrobust                                         
==============================================================================
                 coef    std err          t      P>|t|      [0.025      0.975]
------------------------------------------------------------------------------
const        -87.5167      5.937    -14.741      0.000    -100.343     -74.691
height         3.4500      0.091     37.855      0.000       3.253       3.647
==============================================================================
Omnibus:                        2.396   Durbin-Watson:                   0.315
Prob(Omnibus):                  0.302   Jarque-Bera (JB):                1.660
Skew:                           0.789   Prob(JB):                        0.436
Kurtosis:                       2.596   Cond. No.                         982.
==============================================================================

Notes:
[1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.
C:\ProgramData\Anaconda3\lib\site-packages\scipy\stats\_stats_py.py:1769: UserWarning: kurtosistest only valid for n>=20 ... continuing anyway, n=15
  warnings.warn("kurtosistest only valid for n>=20 ... continuing "

上述运行结果中第二部分的coef列所对应的const和height就是计算出的回归模型中的截距项和斜率。

除了读取回归摘要外，还可以调用params属性查看拟合结果的斜率和截距。

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results.params

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const    -87.516667
height     3.450000
dtype: float64

从输出结果可以看出，回归模型中的截距项和斜率分别为-87.516667和3.450000

八、模型评价

以R^2（决定系数）作为衡量回归直线对观测值拟合程度的指标，其取值范围为[0,1]，越接近1，说明"回归直线的拟合优度越好"。可以调用requared属性查看拟合结果的R^2

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results.rsquared

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0.9910098326857505

除了决定系数等统计量，还可以通过可视化方法更直观地查看回归效果。这里我们调用matplotlib.pyplot包中的plot()方法，将回归直线与真实数据绘制在一个图中进行比较。

python 复制代码

y_predict=results.params[0]+results.params[1]*df_women["height"]
plt.rcParams['font.family']="simHei"   #汉字显示 字体设置
plt.plot(df_women["height"],df_women["weight"],"o")
plt.plot(df_women["height"],y_predict)
plt.title("女性身高与体重的线性回归分析")
plt.xlabel("身高")
plt.ylabel("体重")

从输出结果可以看出，采用简单线性回归模型的效果还可以进一步优化，为此采取多项式回归方法进行回归分析。

九、模型调参

调用Python的统计分析包statsmodels中的OLS()方法对自变量女性身高height、因变量体重weight进行多项式回归建模。

假设因变量y与自变量X、X^2、X^3存在高元线性回归，因此在多项式分析中，特征矩阵由3部分组成，即X、X^2和X^3。通过调用numpy库的column_stack()方法创建特征矩阵X。

python 复制代码

import numpy as np
X=np.column_stack((X,np.power(X,2),np.power(X,3)))

通过sm.add_constant()方法保留多项式回归中的截距项。对自变量X_add_const和因变量y使用OLS()方法进行多项式回归。

python 复制代码

X_add_const=sm.add_constant(X)
myModel_updated=sm.OLS(y,X_add_const)
results=myModel_updated.fit()
print(results.summary())

python 复制代码

OLS Regression Results                            
==============================================================================
Dep. Variable:                 weight   R-squared:                       1.000
Model:                            OLS   Adj. R-squared:                  1.000
Method:                 Least Squares   F-statistic:                 1.679e+04
Date:                Thu, 09 Nov 2023   Prob (F-statistic):           2.07e-20
Time:                        18:46:54   Log-Likelihood:                 1.3441
No. Observations:                  15   AIC:                             5.312
Df Residuals:                      11   BIC:                             8.144
Df Model:                           3                                         
Covariance Type:            nonrobust                                         
==============================================================================
                 coef    std err          t      P>|t|      [0.025      0.975]
------------------------------------------------------------------------------
const       -896.7476    294.575     -3.044      0.011   -1545.102    -248.393
x1            46.4108     13.655      3.399      0.006      16.356      76.466
x2            -0.7462      0.211     -3.544      0.005      -1.210      -0.283
x3             0.0043      0.001      3.940      0.002       0.002       0.007
==============================================================================
Omnibus:                        0.028   Durbin-Watson:                   2.388
Prob(Omnibus):                  0.986   Jarque-Bera (JB):                0.127
Skew:                           0.049   Prob(JB):                        0.939
Kurtosis:                       2.561   Cond. No.                     1.25e+09
==============================================================================

Notes:
[1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.
[2] The condition number is large, 1.25e+09. This might indicate that there are
strong multicollinearity or other numerical problems.
C:\ProgramData\Anaconda3\lib\site-packages\scipy\stats\_stats_py.py:1769: UserWarning: kurtosistest only valid for n>=20 ... continuing anyway, n=15
  warnings.warn("kurtosistest only valid for n>=20 ... continuing "

从输出结果可以看出，多项式回归模型中的截距项为-896.7476，而X、X^2、X^3对应的斜率分别为46.4108、-0.7462和0.0043

调用requared属性查看拟合结果的R^2：

python 复制代码

results.rsquared

python 复制代码
0.9997816939979361

从决定系数的结果可以看出，多项式回归模型的效果比简单线性回归模型的效果更好。

十、模型预测

使用该多项式回归模型进行体重预测并输出预测结果。

python 复制代码

y_predict_updated=results.predict()
y_predict_updated

python 复制代码

array([114.63856209, 117.40676937, 120.18801264, 123.00780722,
       125.89166846, 128.86511168, 131.95365223, 135.18280543,
       138.57808662, 142.16501113, 145.9690943 , 150.01585147,
       154.33079796, 158.93944911, 163.86732026])

多项式回归模型的可视化：

python 复制代码

y_predict=(results.params[0]+results.params[1]*df_women["height"]+
           results.params[2]*df_women["height"]**2+
           results.params[3]*df_women["height"]**3)

plt.plot(df_women["height"],df_women["weight"],"o")
plt.plot(df_women["height"],y_predict)
plt.title("女性身高与体重的多项式回归分析")
plt.xlabel("身高")
plt.ylabel("体重")

从结果可以看出，采用多项式回归后拟合效果显著提高，结果较为令人满意。