本系列文章将从下面不同角度解析线性代数的本质，本文是本系列第一篇
向量究竟是什么？
向量的线性组合，基与线性相关
矩阵与线性相关
矩阵乘法与线性变换
三维空间中的线性变换
行列式
逆矩阵，列空间，秩与零空间
克莱姆法则
非方阵
点积与对偶性
叉积
以线性变换眼光看叉积
基变换
特征向量与特征值
抽象向量空间
快速计算二阶矩阵特征值
张量，协变与逆变和秩
文章目录
前言
天道中丁元英说过一句话：佛说，看山是山，看水是水，普通大众寄情山水之间时，如神一般的丁元英却早已看透文化属性；今天我们不研究这么高深的哲学，回到线性代数，向量，矩阵对于我来讲只不过是一堆数字，但切换到神的视角，他们却是几何与变换，瞬间让线性代数变得更加立体生动，今天我们就从几何的角度去探索线性代数的本质。
向量究竟是什么？
通过"究竟"一词可见，对于向量的含义，存在不同的解释，目前，主要有三种解释：
⑴从物理学家的角度看：向量是指向空间的箭头，它有两个属性：长度和方向，无论怎么移动他都是同一个向量。
⑵从计算机角度看：向量是有序的数字列表，例如对于房价预测而言，房子的面积，房间数就可以看作是一个向量： 80 4 \begin{bmatrix}80\\4\end{bmatrix} 804
⑶从数学家的角度看：向量可以是任何东西，只要具有向量和向量加法，标量和向量乘法这两种运算规律的事务都可以看作是向量
v ⃗ + w ⃗ \vec{v} +\vec{w} v +w
2 v ⃗ 2\vec{v} 2v
例如：
− 4 10 \] + \[ 20 1 \] = \[ 16 11 \] \\begin{equation\*} \\begin{bmatrix} -4\\\\ 10 \\end{bmatrix} +\\begin{bmatrix} 20\\\\ 1 \\end{bmatrix} =\\begin{bmatrix} 16\\\\ 11 \\end{bmatrix} \\end{equation\*} \[−410\]+\[201\]=\[1611
2 ∗ 80 4 = 160 8 \begin{equation*} 2*\begin{bmatrix} 80\\ 4 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 160\\ 8 \end{bmatrix} \end{equation*} 2∗804=1608
由于数学家的角度过于抽象，这就出现了开头讲的，换个角度看问题，从几何角度看待线性代数，对于向量而言，就是在特定坐标系下，以原点为起点，指向某个方向的箭头：
现在已经有了使用几何方式表达向量的方法，下面让我们从几何角度重新审视向量的两种运算：
对于 v ⃗ + w ⃗ \vec{v} +\vec{w} v +w 而言，移动w到v的末尾，连接v的头和w的尾就是结果向量。
对于 2 v ⃗ 2\vec{v} 2v 而言，向量的方向不变，长度变为原来的两倍，如果标量是小数，则是缩小向量的长度，如果是负数，则是反方向缩放向量的长度。
向量的线性组合，基于线性相关
基向量：
"单位"是数学中必不可少的概念，缺少单位，数字变得毫无意义，同样，对于使用几何表示向量而言，也有存在单位的概念，这就是"基向量"，它代表指向x，y轴，长度为1的向量，我们分别用 i ⃗ \vec{i} i ， j ⃗ \vec{j} j 表示。
有了基的概念后，向量的表示可以转换成以基为参照，例如向量 3 − 2 \begin{bmatrix} 3\\ -2 \end{bmatrix} 3−2，则可以表示成： 3 ∗ i ⃗ + 2 ∗ j ⃗ 3*\vec{i} +2*\vec{j} 3∗i +2∗j
这里需要注意，前面我们选择指向x，y轴，且长度为1的向量作为基向量，但也可以选择不同的基，不同的基代表不同的坐标系，则对于一个向量而言，它代表不同的几何意义，例如，选择下面的v和w向量作为基向量时，向量 1.5 − 0.62 \begin{bmatrix} 1.5\\ -0.62 \end{bmatrix} 1.5−0.62代表的几何形状与 i ⃗ \vec{i} i ， j ⃗ \vec{j} j 为基向量时的形状是不一样的。
向量线性组合：
无论选择什么样的基向量，向量都可以写成更一般的形式： a v ⃗ + b w ⃗ a\vec{v} +b\vec{w} av +bw 我们称为向量的线性组合，a，b是标量，也称为缩放因子，v和w是向量，选择不同的缩放因子，向量的线性组合可以表示整个向量空间，也就是生成的向量可以到达平面中所有点。
但如果两个向量恰好共线时，则向量组合后的结果向量只能落在该直线上，我们称共线的两个向量是线性相关的，否则是线性无关。
更特殊地，当这两个向量都是0向量时，则向量组合后的结果向量只能落在原点上。
概括一下，所有可以被给定向量，用线性组合来表示的那些向量的集合，被称为给定向量张成的空间，两个不共线的向量，在二维空间中，其线性组合所张成的空间是整个二维空间；而在三维空间中，其张成的空间是三维空间中的一个面。
在三维空间中，三个向量的线性组合，如果其中一个向量在另两个向量张成的平面内，我们称该向量与其他两个向量线性相关，这三个向量的线性组合仍然是一个平面，只有三个向量互不线性相关时，那么这三个向量的线性组合才能张成整个三维空间。
矩阵与线性相关
矩阵：
先说结论：前面讲的向量可以视为一种带箭头的几何结构，那么矩阵就可以视为一种对几何的变换。
在线性代数中，变换是一种函数，将输入映射成输出，输入是向量，输出也是向量，同理，当输入是矩阵时，可以把矩阵分解成多个向量，那么输出也就是矩阵，变换有很多种，线性代数中只讨论线性变换，线性变换要求，任意直线变换后仍然是直线，且原点位置变换后保持不变，从几何角度看，线性变换就是拉伸，缩放，旋转。
下图变换后，直线变弯曲了，所以是非线性变换
下图变换后，原点位置变了，所以属于非线性变换
那我们如何求一个向量经过变换后的向量坐标呢？假设现有一个向量，在原始坐标系下可以表示成： v ⃗ = ( − 1 ) i ⃗ + 2 ∗ j ⃗ \vec{v} =( -1)\vec{i} +2*\vec{j} v =(−1)i +2∗j 。
现在对向量v施加一个线性变换，根据线性变换的特性，变换后，网格仍然平行且间隔均等，假设两个基向量变换后的坐标如下图所示，向量v与两个基向量经过相同的变换变成新的基向量，那么，向量v经过变换后的向量仍然可以表示成:
v ⃗ t r a n s f o r m e d = ( − 1 ) i ⃗ t r a n s f o r m e d + 2 ∗ j t r a n s f o r m e d \begin{equation*} \vec{v}{}{transformed} =( -1)\vec{i}{}{transformed} +2*j{}_{transformed} \end{equation*} v transformed=(−1)i transformed+2∗jtransformed
只不过基向量变成了变换后的基向量。
如上图
i ⃗ t r a n s f o r m e d = 1 − 2 \vec{i}{}{transformed} =\begin{bmatrix} 1\\ -2 \end{bmatrix} i transformed=1−2, j ⃗ t r a n s f o r m e d = 3 0 \vec{j}{}{transformed} =\begin{bmatrix} 3\\ 0 \end{bmatrix} j transformed=30
变换后的v就等于： v ⃗ = ( − 1 ) 1 − 2 + 2 ∗ 3 0 = 5 2 \vec{v} =( -1)\begin{bmatrix} 1\\ -2 \end{bmatrix} +2*\begin{bmatrix} 3\\ 0 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 5\\ 2 \end{bmatrix} v =(−1)1−2+2∗30=52
也就是说，如果我们知道两个基向量变换后的向量，那么求任何一个向量经过变换后的向量的过程可以用下图所表示：
更进一步的，我们将两个基向量变换后的坐标向量用矩阵的形式组织起来，这个矩阵就是线性变换矩阵T。
对于任意一个向量A,例如， 7 2 \begin{bmatrix} 7\\ 2 \end{bmatrix} 72，求该线性变换T对该向量的作用时，只需要用矩阵与向量相乘即可： A t r a n s f o r m e d = 3 2 − 2 1 7 2 = 7 3 − 2 + 2 2 1 A_{transformed} =\begin{bmatrix} 3 & 2\\ -2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 7\\ 2 \end{bmatrix} =7\begin{bmatrix} 3\\ -2 \end{bmatrix} +2\begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix} Atransformed=3−22172=73−2+221。
如果换个视角，反过来看，如果给出一个矩阵乘法： 3 2 − 2 1 7 2 \begin{bmatrix} 3 & 2\\ -2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 7\\ 2 \end{bmatrix} 3−22172，我们可以把矩阵第一列 3 − 2 \begin{bmatrix} 3\\ -2 \end{bmatrix} 3−2当作新的基向量 i ⃗ \vec{i} i ，把矩阵的第二列 2 1 \begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix} 21当作新的基向量 j ⃗ \vec{j} j ，根据向量的几何表示，向量 7 2 \begin{bmatrix} 7\\ 2 \end{bmatrix} 72用新的基向量表成： i ⃗ \vec{i} i 向正方向放大7倍， j ⃗ \vec{j} j 向正方向放大2倍，将变换后的向量相加就形成了结果向量。
再举个例子，看看逆时针旋转90度的变换矩阵是什么， i ⃗ \vec{i} i 由 1 0 \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} 10变成 0 1 \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix} 01， j ⃗ \vec{j} j 由 0 1 \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix} 01变成 − 1 0 \begin{bmatrix} -1\\ 0 \end{bmatrix} −10，所以该变换矩阵为： 0 − 1 1 0 \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} 01−10。
到此，就已经证明了我们在开头所说的：矩阵是一种线性变换。