矩阵理论--矩阵分解

矩阵的三角分解、谱分解、最大秩分解、奇异值分解的操作步骤，以及相关说明。

（1）非奇异方阵

方阵（非奇异）：将方阵分解成酉矩阵左乘正线上三角，或者酉矩阵右乘正线下三角。

分解步骤：
1. 列分块得n个列向量构成的向量组；
2. 将n个列向量施密特正交单位化；
3. 用标准正交基表出该向量组；
4. 写成矩阵相乘的形式，即得三角分解。
施密特正交化-单位化：
1. B1 = A1/|A1|；
2. B2 = [A2-(A2,B1)B1]/|A2-(A2,B1)|;
3. B3 = [A3 - (A3,B2)B2-(A3,B1)B1]/|A3 - (A3,B2)B2-(A3,B1)B1|;
反过来表出：记k11=|A1|,k22 = |A2-(A2,B1)|,k12=(B1,A2)
1. A1 = k11B1;
2. A2 = k12B1+k22B2;
3. A3 = k13B1+k23B2+k33B3;
4. A = [A1,A2,A3] = [B1,B2,B3][k11,k12,k13; 0,k22,k23;0,0,k33]

（2）满秩的高矩阵、宽矩阵

（3）其它矩阵

奇异矩阵，非满秩的高矩阵、宽矩阵，可以分解为 U ∣ L 0 0 0 ∣ V U\begin{vmatrix}L&0\\0&0\end{vmatrix}V U L000 V，U、V是两个方形酉矩阵（不一定同阶）。

分解步骤

谱是指矩阵的所有特征根构成的集合，表示为 𝜆(A)={𝜆1,𝜆2,......,𝜆r}。

首先需要指出，只有单纯矩阵才有谱分解。

（1）单纯矩阵：每个特征根的基础解系的维数等于特征根的重数。

单纯矩阵，等价于可对角化矩阵。

分解步骤：P仅是一个非奇异阵。
1. 解特征方程式，求特征根；
2. 相似对角化：D = diag() = P^-1^AP;A = PDP^-1^；
3. P列分块，P^-1^行分块，利用分块矩阵的乘法即得A的谱分解
单纯矩阵谱分解就是将矩阵分解成一系列的秩一矩阵加权和。
相似对角化：
1. Ap = p𝜆，p是某个特征根的特征向量
2. 由于是单纯矩阵，该特征根有几重，这样的p就有几个，这几个p要求线性无关；
3. 一共有n个p，从而构成一个方阵P，且线性无关，那么就非奇异，有逆；
4. D = P^-1^AP。
秩一矩阵：行向量乘以列向量。
幂等矩阵：投影矩阵，AA=A；由于P^-1^P=E，则P的行向量乘以P^-1^的列向量，将得到一个幂等矩阵。
幂等矩阵的秩可以是小于n的任何一个数，0矩阵也是一种幂等矩阵；特征值非零即1，可对角化。
秩一矩阵要么是幂等矩阵，要么是幂等矩阵乘以一个缩放因子，即AA=kA。

（2）正规矩阵：满足A^H^A=AA^H^。正规矩阵一定是单纯矩阵。

最大秩分解：任意矩阵A，A=BD，B是一个列满秩矩阵，D是一个行满秩矩阵，三个矩阵的秩相等。
分解方法：
1. A化为行简化阶梯形A_w；
2. A_w的非0列对应于A中的列构成B，A_w的非0行对应于A_w的行构成D
列满秩矩阵：A是mxn的矩阵，若m>=n，则rank(A)<=n，nullity(A)<=n
1. 秩零度定理：rank(A) + nullity(A) = n
2. nullity(A)等于Ax=0的解空间维数。
3. 如果rank(A)=n，那么nullity(A)=0，即Ax=0的解空间为零空间。
4. 列满秩矩阵构成的齐次线性方程组只有零解。

三角分解： A = U ∣ L 0 0 0 ∣ V A=U\begin{vmatrix}L&0\\0&0\end{vmatrix}V A=U L000 V

其中L是一个r阶正线下三角矩阵。

为了进一步简化，发展出奇异值分解： A = U ∣ D 0 0 0 ∣ V A=U\begin{vmatrix}D&0\\0&0\end{vmatrix}V A=U D000 V。

其中D是一个r阶正线对角矩阵。

分解步骤：
1. 求A^H^A的特征值，从而求出正奇异值 σ i = λ i \sigma_i = \sqrt{\lambda_i} σi=λi 。
2. 由于是正规矩阵，因此可以将每个特征根对应的特征子空间的基抽出来构成一个n阶酉矩阵 V = ∣ V 1 V 2 ∣ V = \begin{vmatrix}V1\\V2 \end{vmatrix} V= V1V2 。
3. A H A = V H ∣ D H D 0 0 0 ∣ V A^HA=V^H\begin{vmatrix}D^HD&0\\0&0\end{vmatrix}V AHA=VH DHD000 V
4. D H D = d i a g { λ 1 , λ 2 , . . . , λ r } D^HD=diag\{{\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_r}\} DHD=diag{λ1,λ2,...,λr}；D=diag{𝛿1,𝛿2,...,𝛿r}，|𝛿i| = 𝛔i > 0; D的取法不唯一，𝛿i是一个复数，模长为𝛔i，相位任意。
5. U = (U1, U2)；U1 = AV1^H^D^-1^;U2是U1的正交补，U2^H^U1=0。U1^H^x=0，求出基础解系，U1和基础解系一起作施密特正交化，即得U。
6. U^H^AV^H^ = ∣ D 0 0 0 ∣ \begin{vmatrix}D&0\\0&0\end{vmatrix} D000 ;
7. A = U ∣ D 0 0 0 ∣ V U\begin{vmatrix}D&0\\0&0\end{vmatrix}V U D000 V
(A^H^A)^H^ = A^H^A，因此A^H^A是n阶正规矩阵，正规矩阵可以谱分解成一系列正交投影的加权和，正规矩阵是半正定矩阵。
正交补的求法：W2是W1的正交补。
1. 根据秩零度定理：rank(A)+N(A)=n；
2. A的极大无关列向量组可张成rank(A)维的空间W1；
3. 令Ax=0，求出基础解系，基础解系可张成解空间W2；
4. W1⨁W2=V(C^n^)