矩阵理论--矩阵分解
矩阵的三角分解、谱分解、最大秩分解、奇异值分解的操作步骤，以及相关说明。
1、QR分解
（1）非奇异方阵
方阵（非奇异）：将方阵分解成酉矩阵左乘正线上三角，或者酉矩阵右乘正线下三角。
- 分解步骤：
- 列分块得n个列向量构成的向量组；
- 将n个列向量施密特正交单位化；
- 用标准正交基表出该向量组；
- 写成矩阵相乘的形式，即得三角分解。
- 施密特正交化-单位化：
- B1 = A1/|A1|；
- B2 = [A2-(A2,B1)B1]/|A2-(A2,B1)|;
- B3 = [A3 - (A3,B2)B2-(A3,B1)B1]/|A3 - (A3,B2)B2-(A3,B1)B1|;
- 反过来表出：记k11=|A1|,k22 = |A2-(A2,B1)|,k12=(B1,A2)
- A1 = k11B1;
- A2 = k12B1+k22B2;
- A3 = k13B1+k23B2+k33B3;
- A = [A1,A2,A3] = [B1,B2,B3][k11,k12,k13; 0,k22,k23;0,0,k33]
（2）满秩的高矩阵、宽矩阵
- 列满秩矩阵，列分块，添加列向量，补成一个方阵（非奇异），再按方阵的方式分解，将得到一个方形的酉矩阵左乘（正线上三角；0）
- 行满秩矩阵，行分块，添加行向量，补成一个方阵（非奇异），再按方阵的方式分解，将得到一个方形的酉矩阵右乘（正线下三角，0）
（3）其它矩阵
奇异矩阵，非满秩的高矩阵、宽矩阵，可以分解为 U ∣ L 0 0 0 ∣ V U\begin{vmatrix}L&0\\0&0\end{vmatrix}V U L000 V，U、V是两个方形酉矩阵（不一定同阶）。
分解步骤
2、谱分解
谱是指矩阵的所有特征根构成的集合，表示为 𝜆(A)={𝜆1,𝜆2,......,𝜆r}。
首先需要指出，只有单纯矩阵才有谱分解。
（1）单纯矩阵：每个特征根的基础解系的维数等于特征根的重数。
单纯矩阵，等价于可对角化矩阵。
- 分解步骤：P仅是一个非奇异阵。
- 解特征方程式，求特征根；
- 相似对角化：D = diag() = P^-1^AP;A = PDP^-1^；
- P列分块，P^-1^行分块，利用分块矩阵的乘法即得A的谱分解
- 单纯矩阵谱分解就是将矩阵分解成一系列的秩一矩阵加权和。
- 相似对角化：
- Ap = p𝜆，p是某个特征根的特征向量
- 由于是单纯矩阵，该特征根有几重，这样的p就有几个，这几个p要求线性无关；
- 一共有n个p，从而构成一个方阵P，且线性无关，那么就非奇异，有逆；
- D = P^-1^AP。
- 秩一矩阵：行向量乘以列向量。
- 幂等矩阵：投影矩阵，AA=A；由于P^-1^P=E，则P的行向量乘以P^-1^的列向量，将得到一个幂等矩阵。
- 幂等矩阵的秩可以是小于n的任何一个数，0矩阵也是一种幂等矩阵；特征值非零即1，可对角化。
- 秩一矩阵要么是幂等矩阵，要么是幂等矩阵乘以一个缩放因子，即AA=kA。
（2）正规矩阵：满足A^H^A=AA^H^。正规矩阵一定是单纯矩阵。
-
分解步骤：此处的P是一个酉矩阵。
- 相似对角化；
- P列分块，P^-1^行分块，分块矩阵乘法。
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正规矩阵谱分解成了一系列的正交投影的加权和。
-
正交投影：幂等矩阵，并且是Hermite阵。
-
如果A为上三角矩阵，则A是正规矩阵的充要条件是A为对角矩阵；
-
如果A为块上三角矩阵，则A是正规矩阵的充要条件是A为块对角矩阵，且对角块为正规矩阵。
-
tr(AA^H^)=tr(A^H^A)=A的矩阵二范数；
3、最大秩分解
- 最大秩分解：任意矩阵A，A=BD，B是一个列满秩矩阵，D是一个行满秩矩阵，三个矩阵的秩相等。
- 分解方法：
- A化为行简化阶梯形A_w；
- A_w的非0列对应于A中的列构成B，A_w的非0行对应于A_w的行构成D
- 列满秩矩阵：A是mxn的矩阵，若m>=n，则rank(A)<=n，nullity(A)<=n
- 秩零度定理：rank(A) + nullity(A) = n
- nullity(A)等于Ax=0的解空间维数。
- 如果rank(A)=n，那么nullity(A)=0，即Ax=0的解空间为零空间。
- 列满秩矩阵构成的齐次线性方程组只有零解。
4、奇异值分解
三角分解： A = U ∣ L 0 0 0 ∣ V A=U\begin{vmatrix}L&0\\0&0\end{vmatrix}V A=U L000 V
其中L是一个r阶正线下三角矩阵。
为了进一步简化，发展出奇异值分解： A = U ∣ D 0 0 0 ∣ V A=U\begin{vmatrix}D&0\\0&0\end{vmatrix}V A=U D000 V。
其中D是一个r阶正线对角矩阵。
- 分解步骤：
- 求A^H^A的特征值，从而求出正奇异值 σ i = λ i \sigma_i = \sqrt{\lambda_i} σi=λi 。
- 由于是正规矩阵，因此可以将每个特征根对应的特征子空间的基抽出来构成一个n阶酉矩阵 V = ∣ V 1 V 2 ∣ V = \begin{vmatrix}V1\\V2 \end{vmatrix} V= V1V2 。
- A H A = V H ∣ D H D 0 0 0 ∣ V A^HA=V^H\begin{vmatrix}D^HD&0\\0&0\end{vmatrix}V AHA=VH DHD000 V
- D H D = d i a g { λ 1 , λ 2 , . . . , λ r } D^HD=diag\{{\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_r}\} DHD=diag{λ1,λ2,...,λr}；D=diag{𝛿1,𝛿2,...,𝛿r}，|𝛿i| = 𝛔i > 0; D的取法不唯一，𝛿i是一个复数，模长为𝛔i，相位任意。
- U = (U1, U2)；U1 = AV1^H^D^-1^;U2是U1的正交补，U2^H^U1=0。U1^H^x=0，求出基础解系，U1和基础解系一起作施密特正交化，即得U。
- U^H^AV^H^ = ∣ D 0 0 0 ∣ \begin{vmatrix}D&0\\0&0\end{vmatrix} D000 ;
- A = U ∣ D 0 0 0 ∣ V U\begin{vmatrix}D&0\\0&0\end{vmatrix}V U D000 V
- (A^H^A)^H^ = A^H^A，因此A^H^A是n阶正规矩阵，正规矩阵可以谱分解成一系列正交投影的加权和，正规矩阵是半正定矩阵。
- 正交补的求法：W2是W1的正交补。
- 根据秩零度定理：rank(A)+N(A)=n；
- A的极大无关列向量组可张成rank(A)维的空间W1；
- 令Ax=0，求出基础解系，基础解系可张成解空间W2；
- W1⨁W2=V(C^n^)