MIT_线性代数笔记:列空间和零空间

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前言

本节继续研究子空间,特别是矩阵的列空间(column space)和零空间(nullspace)。

子空间综述

所谓的"向量空间"是对于线性运算封闭的向量集合。即对于空间中的任意向量 v 和 w,其和 v+w 和数乘 cv 必属于该空间;换而言之对于任何实数 c 和 d,线性组合 cv+dw 必属于该空间。

R 1 R^1 R1, R 2 R^2 R2, R 3 R^3 R3......都是重要的向量空间, R n R^n Rn代表的空间包含所有具有 n 个分量的向量。其中字母 R 表明分量均为实数(real)。

"子空间"为包含于向量空间内的一个向量空间。它是原向量空间的一个子集,而且本身也满足向量空间的要求。但是"子空间"和"子集"的概念有区别,所有元素都在原空间之内就可称之为子集,但是要满足对线性运算封闭的子集才能成为子空间。

任意子空间 S 和 T 的交集都是子空间,可以通过 S 和 T 本身对线性组合封闭来证明。

列空间 Column space

矩阵 A 的列空间 C(A)是其列向量的所有线性组合所构成的空间。

求解 Ax=b 的问题,对于给定的矩阵 A,对于任意的 b 都能得到解么?
A = [ 1 1 2 2 1 3 3 1 4 4 1 5 ] A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 5 \\ \end{bmatrix} A= 123411112345

显然并不是所有的 b 都能保证 Ax=b 有解,因为它有 4 个线性方程而只有 3 个未知数,矩阵 A 列向量的线性组合无法充满 R4,因此如果 b 不能被表示为 A 列向量的线性组合时,方程是无解的。只有当 b 在矩阵 A 列空间 C(A)里时,x 才有解。

对于我们所给定的矩阵 A,由于列向量不是线性无关的,第三个列向量为前两个列向量之和,所以尽管有 3 个列向量,但是只有 2 个对张成向量空间有贡献。矩阵 A 的列空间为 R4内的一个二维子空间。

零空间(或化零空间)Nullspace

矩阵 A 的零空间 N(A)是指满足 Ax=0 的所有解的集合。

对于所给定这个矩阵A,其列向量含有 4 个分量,因此列空间是空间 R 4 R^4 R4的子空间,x 为含有 3 个分量的向量,故矩阵 A 的零空间是 R 3 R^3 R3的子空间。对于 m x n 矩阵,列空间为 R m R^m Rm的子空间,零空间为 R n R^n Rn空间的子空间。

本例中矩阵 A 的零空间 N(A)为包含 [ 1 1 − 1 ] \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ \end{bmatrix} 11−1

的任何倍数的集合,因为很容易看到第一列向量(1)和第二列向量(1)相加减去第三列向量(-1)为零。此零空间为

R3中的一条直线。

为了验证 Ax=0 的解集是一个向量空间,我们可以检验它是否对线性运算封闭。若 v 和 w 为解集中的元素,则有:

A(v+w)=Av+Aw=0+0=0,

A(cv)=cAv=0

因此得证 N(A)确实是 Rn空间的一个子空间。

b 值的影响 Other values of b

本讲给出了关于矩阵的两种子空间,同时给出了两种构造子空间的方法。对于列空间,它是由列向量进行线性组合张成的空间;而零空间是从方程组出发,通过让 x 满足特定条件而得到的子空间。

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