【深度学习笔记】05 线性回归

线性回归

线性回归基于几个简单的假设:

首先,假设自变量 x \mathbf{x} x和因变量 y y y之间的关系是线性的,

即 y y y可以表示为 x \mathbf{x} x中元素的加权和,这里通常允许包含观测值的一些噪声;

其次,我们假设任何噪声都比较正常,如噪声遵循正态分布。

为了解释线性回归 ,我们举一个实际的例子:

我们希望根据房屋的面积(平方英尺)和房龄(年)来估算房屋价格(美元)。

为了开发一个能预测房价的模型,我们需要收集一个真实的数据集。

这个数据集包括了房屋的销售价格、面积和房龄。

在机器学习的术语中,该数据集称为训练数据集 (training data set)

训练集 (training set)。

每行数据(比如一次房屋交易相对应的数据)称为样本 (sample),

也可以称为数据点 (data point)或数据样本 (data instance)。

我们把试图预测的目标(比如预测房屋价格)称为标签 (label)或目标 (target)。

预测所依据的自变量(面积和房龄)称为特征 (feature)或协变量(covariate)。

通常,我们使用 n n n来表示数据集中的样本数。

对索引为 i i i的样本,其输入表示为 x ( i ) = [ x 1 ( i ) , x 2 ( i ) ] ⊤ \mathbf{x}^{(i)} = [x_1^{(i)}, x_2^{(i)}]^\top x(i)=[x1(i),x2(i)]⊤,

其对应的标签是 y ( i ) y^{(i)} y(i)。

线性模型

线性假设是指目标(房屋价格)可以表示为特征(面积和房龄)的加权和,如下面的式子:

p r i c e = w a r e a ⋅ a r e a + w a g e ⋅ a g e + b . \mathrm{price} = w_{\mathrm{area}} \cdot \mathrm{area} + w_{\mathrm{age}} \cdot \mathrm{age} + b. price=warea⋅area+wage⋅age+b.

:eqlabel:eq_price-area

:eqref:eq_price-area中的 w a r e a w_{\mathrm{area}} warea和 w a g e w_{\mathrm{age}} wage

称为权重 (weight),权重决定了每个特征对我们预测值的影响。
b b b称为偏置 (bias)、偏移量 (offset)或截距 (intercept)。

偏置是指当所有特征都取值为0时,预测值应该为多少。

即使现实中不会有任何房子的面积是0或房龄正好是0年,我们仍然需要偏置项。

如果没有偏置项,我们模型的表达能力将受到限制。

严格来说, :eqref:eq_price-area是输入特征的一个
仿射变换 (affine transformation)。

仿射变换的特点是通过加权和对特征进行线性变换 (linear transformation),

并通过偏置项来进行平移(translation)。

给定一个数据集,我们的目标是寻找模型的权重 w \mathbf{w} w和偏置 b b b,

使得根据模型做出的预测大体符合数据里的真实价格。

输出的预测值由输入特征通过线性模型的仿射变换决定,仿射变换由所选权重和偏置确定。

而在机器学习领域,我们通常使用的是高维数据集,建模时采用线性代数表示法会比较方便。

当我们的输入包含 d d d个特征时,我们将预测结果 y ^ \hat{y} y^

(通常使用"尖角"符号表示 y y y的估计值)表示为:

y ^ = w 1 x 1 + . . . + w d x d + b . \hat{y} = w_1 x_1 + ... + w_d x_d + b. y^=w1x1+...+wdxd+b.

将所有特征放到向量 x ∈ R d \mathbf{x} \in \mathbb{R}^d x∈Rd中,

并将所有权重放到向量 w ∈ R d \mathbf{w} \in \mathbb{R}^d w∈Rd中,

我们可以用点积形式来简洁地表达模型:

y ^ = w ⊤ x + b . \hat{y} = \mathbf{w}^\top \mathbf{x} + b. y^=w⊤x+b.

:eqlabel:eq_linreg-y

在 :eqref:eq_linreg-y中,

向量 x \mathbf{x} x对应于单个数据样本的特征。

用符号表示的矩阵 X ∈ R n × d \mathbf{X} \in \mathbb{R}^{n \times d} X∈Rn×d

可以很方便地引用我们整个数据集的 n n n个样本。

其中, X \mathbf{X} X的每一行是一个样本,每一列是一种特征。

对于特征集合 X \mathbf{X} X,预测值 y ^ ∈ R n \hat{\mathbf{y}} \in \mathbb{R}^n y^∈Rn

可以通过矩阵-向量乘法表示为:

y ^ = X w + b {\hat{\mathbf{y}}} = \mathbf{X} \mathbf{w} + b y^=Xw+b

这个过程中的求和将使用广播机制。

解析解

线性回归刚好是一个很简单的优化问题。

与我们将在本书中所讲到的其他大部分模型不同,线性回归的解可以用一个公式简单地表达出来,

这类解叫作解析解(analytical solution)。

首先,我们将偏置 b b b合并到参数 w \mathbf{w} w中,合并方法是在包含所有参数的矩阵中附加一列。

我们的预测问题是最小化 ∥ y − X w ∥ 2 \|\mathbf{y} - \mathbf{X}\mathbf{w}\|^2 ∥y−Xw∥2。

这在损失平面上只有一个临界点,这个临界点对应于整个区域的损失极小点。

将损失关于 w \mathbf{w} w的导数设为0,得到解析解:

w ∗ = ( X ⊤ X ) − 1 X ⊤ y . \mathbf{w}^* = (\mathbf X^\top \mathbf X)^{-1}\mathbf X^\top \mathbf{y}. w∗=(X⊤X)−1X⊤y.

像线性回归这样的简单问题存在解析解,但并不是所有的问题都存在解析解。

解析解可以进行很好的数学分析,但解析解对问题的限制很严格,导致它无法广泛应用在深度学习里。

随机梯度下降

梯度下降最简单的用法是计算损失函数(数据集中所有样本的损失均值)

关于模型参数的导数(在这里也可以称为梯度)。

但实际中的执行可能会非常慢:因为在每一次更新参数之前,我们必须遍历整个数据集。

因此,我们通常会在每次需要计算更新的时候随机抽取一小批样本,

这种变体叫做小批量随机梯度下降(minibatch stochastic gradient descent)。

在每次迭代中,我们首先随机抽样一个小批量 B \mathcal{B} B,

它是由固定数量的训练样本组成的。

然后,我们计算小批量的平均损失关于模型参数的导数(也可以称为梯度)。

最后,我们将梯度乘以一个预先确定的正数 η \eta η,并从当前参数的值中减掉。

我们用下面的数学公式来表示这一更新过程( ∂ \partial ∂表示偏导数):

( w , b ) ← ( w , b ) − η ∣ B ∣ ∑ i ∈ B ∂ ( w , b ) l ( i ) ( w , b ) . (\mathbf{w},b) \leftarrow (\mathbf{w},b) - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_{(\mathbf{w},b)} l^{(i)}(\mathbf{w},b). (w,b)←(w,b)−∣B∣ηi∈B∑∂(w,b)l(i)(w,b).

算法的步骤如下:

(1)初始化模型参数的值,如随机初始化;

(2)从数据集中随机抽取小批量样本且在负梯度的方向上更新参数,并不断迭代这一步骤。

对于平方损失和仿射变换,我们可以明确地写成如下形式:

w ← w − η ∣ B ∣ ∑ i ∈ B ∂ w l ( i ) ( w , b ) = w − η ∣ B ∣ ∑ i ∈ B x ( i ) ( w ⊤ x ( i ) + b − y ( i ) ) , b ← b − η ∣ B ∣ ∑ i ∈ B ∂ b l ( i ) ( w , b ) = b − η ∣ B ∣ ∑ i ∈ B ( w ⊤ x ( i ) + b − y ( i ) ) . \begin{aligned} \mathbf{w} &\leftarrow \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_{\mathbf{w}} l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \mathbf{x}^{(i)} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right),\\ b &\leftarrow b - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_b l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = b - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right). \end{aligned} wb←w−∣B∣ηi∈B∑∂wl(i)(w,b)=w−∣B∣ηi∈B∑x(i)(w⊤x(i)+b−y(i)),←b−∣B∣ηi∈B∑∂bl(i)(w,b)=b−∣B∣ηi∈B∑(w⊤x(i)+b−y(i)).

:eqlabel:eq_linreg_batch_update

公式 :eqref:eq_linreg_batch_update中的 w \mathbf{w} w和 x \mathbf{x} x都是向量。

∣ B ∣ |\mathcal{B}| ∣B∣表示每个小批量中的样本数,这也称为批量大小 (batch size)。
η \eta η表示学习率(learning rate)。

批量大小和学习率的值通常是手动预先指定,而不是通过模型训练得到的。

这些可以调整但不在训练过程中更新的参数称为超参数 (hyperparameter)。
调参 (hyperparameter tuning)是选择超参数的过程。

超参数通常是我们根据训练迭代结果来调整的,

而训练迭代结果是在独立的验证数据集(validation dataset)上评估得到的。

线性回归的从零开始实现

从零开始实现整个方法,包括数据流水线、模型、损失函数和小批量随机梯度下降优化器。

python 复制代码
%matplotlib inline
import random
import torch
from d2l import torch as d2l

生成数据集

生成一个包含1000个样本的数据集,

每个样本包含从标准正态分布中采样的2个特征。

我们的合成数据集是一个矩阵 X ∈ R 1000 × 2 \mathbf{X}\in \mathbb{R}^{1000 \times 2} X∈R1000×2。

我们使用线性模型参数 w = [ 2 , − 3.4 ] ⊤ \mathbf{w} = [2, -3.4]^\top w=[2,−3.4]⊤、 b = 4.2 b = 4.2 b=4.2

和噪声项 ϵ \epsilon ϵ生成数据集及其标签:

y = X w + b + ϵ . \mathbf{y}= \mathbf{X} \mathbf{w} + b + \mathbf\epsilon. y=Xw+b+ϵ.

ϵ \epsilon ϵ可以视为模型预测和标签时的潜在观测误差。

在这里我们认为标准假设成立,即 ϵ \epsilon ϵ服从均值为0的正态分布。

为了简化问题,我们将标准差设为0.01。

下面的代码生成合成数据集。

python 复制代码
def synthetic_data(w, b, num_examples):  #@save
    """生成y=Xw+b+噪声"""
    X = torch.normal(0, 1, (num_examples, len(w)))
    y = torch.matmul(X, w) + b
    y += torch.normal(0, 0.01, y.shape)
    return X, y.reshape((-1, 1))
python 复制代码
true_w = torch.tensor([2, -3.4])
true_b = 4.2
features, labels = synthetic_data(true_w, true_b, 1000)  

features中的每一行都包含一个二维数据样本,labels中的每一行都包含一维标签值(一个标量)

python 复制代码
print('features:', features[0], '\nlabel:', labels[0])
features: tensor([-0.4836, -0.8441]) 
label: tensor([6.1063])

通过生成第二个特征features[:, (1)]和labels的散点图,可以直观观察到两者之间的线性关系

python 复制代码
d2l.set_figsize()
d2l.plt.scatter(features[:, (1)].detach().numpy(), labels.detach().numpy(), 1);

读取数据集

定义一个data_iter函数,

该函数接收批量大小、特征矩阵和标签向量作为输入,生成大小为batch_size的小批量

每个小批量包含一组特征和标签。

python 复制代码
def data_iter(batch_size, features, labels):
    num_examples = len(features)
    indices = list(range(num_examples))
    # 这些样本是随机读取的,没有特定的顺序
    random.shuffle(indices)
    for i in range(0, num_examples, batch_size):
        batch_indices = torch.tensor(
            indices[i: min(i + batch_size, num_examples)])
        yield features[batch_indices], labels[batch_indices]

读取第一个小批量数据样本并打印。

每个批量的特征维度显示批量大小和输入特征数。

同样的,批量的标签形状与batch_size相等。

python 复制代码
batch_size = 10

for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
    print(X, '\n', y)
    break
tensor([[ 0.3747,  0.7438],
        [-0.9089, -1.8827],
        [ 1.7131,  0.8056],
        [ 0.8595,  1.3511],
        [-1.8953, -0.4136],
        [-0.1327, -0.5880],
        [ 0.6790, -0.2707],
        [-0.6167, -1.1107],
        [-0.4787, -0.1805],
        [-0.5738, -0.6744]]) 
 tensor([[2.4371],
        [8.7851],
        [4.8822],
        [1.3283],
        [1.8363],
        [5.9220],
        [6.4880],
        [6.7299],
        [3.8554],
        [5.3370]])

当我们运行迭代时,我们会连续地获得不同的小批量,直至遍历完整个数据集。

上面实现的迭代对教学来说很好,但它的执行效率很低,可能会在实际问题上陷入麻烦。

例如,它要求我们将所有数据加载到内存中,并执行大量的随机内存访问。

在深度学习框架中实现的内置迭代器效率要高得多,

它可以处理存储在文件中的数据和数据流提供的数据。

初始化模型参数

通过从均值为0、标准差为0.01的正态分布中采样随机数来初始化权重,

并将偏置初始化为0。

python 复制代码
w = torch.normal(0, 0.01, size=(2, 1), requires_grad = True)
b = torch.zeros(1, requires_grad = True)

定义模型

定义模型,将模型的输入和参数同模型的输出关联起来。

要计算线性模型的输出,只需计算输入特征 X \mathbf{X} X和模型权重 w \mathbf{w} w的矩阵-向量乘法后加上偏置 b b b。

注意,上面的 X w \mathbf{Xw} Xw是一个向量,而 b b b是一个标量。

python 复制代码
def linreg(X, w, b):  #@save
    """线性回归模型"""
    return torch.matmul(X, w) + b

定义损失函数

因为需要计算损失函数的梯度,所以我们应该先定义损失函数。

这里我们使用平方损失函数。

在实现中,我们需要将真实值y的形状转换为和预测值y_hat的形状相同。

python 复制代码
def squared_loss(y_hat, y):  #@save
    """均方损失"""
    return (y_hat - y.reshape(y_hat.shape)) ** 2 / 2

定义优化算法

在每一步中,使用从数据集中随机抽取的一个小批量,然后根据参数计算损失的梯度。

接下来,朝着减少损失的方向更新我们的参数。

下面的函数实现小批量随机梯度下降更新。

该函数接受模型参数集合、学习速率和批量大小作为输入。每

一步更新的大小由学习速率lr决定。

因为我们计算的损失是一个批量样本的总和,所以我们用批量大小(batch_size

来规范化步长,这样步长大小就不会取决于我们对批量大小的选择。

python 复制代码
def sgd(params, lr, batch_size):  #@save
    """小批量随机梯度下降"""
    with torch.no_grad():
        for param in params:
            param -= lr * param.grad / batch_size
            param.grad.zero_()

训练

在每次迭代中,我们读取一小批量训练样本,并通过我们的模型来获得一组预测。

计算完损失后,我们开始反向传播,存储每个参数的梯度。

最后,我们调用优化算法sgd来更新模型参数。

概括一下,我们将执行以下循环:

  • 初始化参数
  • 重复以下训练,直到完成
    • 计算梯度 g ← ∂ ( w , b ) 1 ∣ B ∣ ∑ i ∈ B l ( x ( i ) , y ( i ) , w , b ) \mathbf{g} \leftarrow \partial_{(\mathbf{w},b)} \frac{1}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} l(\mathbf{x}^{(i)}, y^{(i)}, \mathbf{w}, b) g←∂(w,b)∣B∣1∑i∈Bl(x(i),y(i),w,b)
    • 更新参数 ( w , b ) ← ( w , b ) − η g (\mathbf{w}, b) \leftarrow (\mathbf{w}, b) - \eta \mathbf{g} (w,b)←(w,b)−ηg

在每个迭代周期 (epoch)中,我们使用data_iter函数遍历整个数据集,

并将训练数据集中所有样本都使用一次(假设样本数能够被批量大小整除)。

这里的迭代周期个数num_epochs和学习率lr都是超参数,分别设为3和0.03。

python 复制代码
lr = 0.03
num_epochs = 3
net = linreg
loss = squared_loss
python 复制代码
for epoch in range(num_epochs):
    for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
        l = loss(net(X, w, b), y)  # X和y的小批量损失
        # 因为l形状是(batch_size,1),而不是一个标量。l中的所有元素被加到一起,
        # 并以此计算关于[w,b]的梯度
        l.sum().backward()
        sgd([w, b], lr, batch_size)  # 使用参数的梯度更新参数
    with torch.no_grad():
        train_l = loss(net(features, w, b), labels)
        print(f'epoch {epoch + 1}, loss {float(train_l.mean()):f}')
epoch 1, loss 0.041500
epoch 2, loss 0.000147
epoch 3, loss 0.000047
python 复制代码
print(f'w的估计误差: {true_w - w.reshape(true_w.shape)}')
print(f'b的估计误差: {true_b - b}')
w的估计误差: tensor([ 0.0002, -0.0003], grad_fn=<SubBackward0>)
b的估计误差: tensor([0.0002], grad_fn=<RsubBackward1>)

线性回归的简洁实现

使用PyTorch框架来实现线性回归模型

生成数据集

python 复制代码
import numpy as np
import torch
from torch.utils import data
from d2l import torch as d2l
python 复制代码
true_w = torch.tensor([2, -3.4])
true_b = 4.2
features, labels = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, 1000)

读取数据集

调用框架中现有的API来读取数据。将features和labels作为API的参数传递,并通过数据迭代器指定batch_size。此外,布尔值is_train表示是否希望数据迭代器对象在每个迭代周期内打乱数据。

python 复制代码
def load_array(data_arrays, batch_size, is_train=True):  #@save
    """构造一个PyTorch数据迭代器"""
    dataset = data.TensorDataset(*data_arrays)
    return data.DataLoader(dataset, batch_size, shuffle=is_train)
python 复制代码
batch_size = 10
data_iter = load_array((features, labels), batch_size)

为了验证是否正常工作,读取并打印第一个小批量样本。

使用iter构造Python迭代器,并使用next从迭代器中获取第一项。

python 复制代码
next(iter(data_iter))
[tensor([[ 0.3532, -0.6057],
         [ 1.6997, -1.6114],
         [ 1.3135,  3.0438],
         [-1.0064, -1.3555],
         [ 1.6724,  0.7461],
         [ 0.3855, -1.5162],
         [ 0.7502,  0.5924],
         [ 0.8864, -0.1364],
         [ 2.0878, -2.4125],
         [ 0.4963,  1.4179]]),
 tensor([[ 6.9696],
         [13.0706],
         [-3.5134],
         [ 6.7924],
         [ 5.0087],
         [10.1182],
         [ 3.6684],
         [ 6.4485],
         [16.5720],
         [ 0.3795]])]

定义模型

对于标准深度学习模型,可以使用框架的预定义好的层。

首先定义一个模型变量net,它是一个Sequential类的实例。

Sequential类将多个层串联在一起。当给定输入数据时,Sequential实例将数据传入到第一层,然后将第一层的输出作为第二层的输入,以此类推。

在PyTorch中,全连接层在Linear类中定义。值得注意的是,我们将两个参数传递到nn.Linear中,第一个指定输入特征形状,即2,第二个指定输出特征形状,输出特征形状为单个标量,因此为1。

python 复制代码
# nn是神经网络的缩写
from torch import nn

net = nn.Sequential(nn.Linear(2, 1))

初始化模型参数

在使用net之前,需要初始化模型参数。

深度学习框架通常有预定义的方法来初始化参数。在这里指定每个权重参数应该从均值为0、标准差为0.01的正态分布中随机采样,偏置参数将初始化为零。

正如在构造nn.Linear时指定输入和输出尺寸一样,现在能直接访问参数以设定它们的初始值。通过net[0]选择网络中的第一个图层,然后使用weight.data和bias.data方法访问参数。还可以使用替换方法normal_和fill_来重写参数值。

python 复制代码
net[0].weight.data.normal_(0, 0.01)
net[0].bias.data.fill_(0)
tensor([0.])

定义损失函数

计算均方误差使用的是MSELoss类,也成为平方 L 2 L_{2} L2范数。

默认情况下,它返回所有样本损失的平均值。

python 复制代码
loss = nn.MSELoss()

定义优化算法

小批量随机梯度下降算法是一种优化神经网络的标准工具,

PyTorch在optim模块中实现了该算法的许多变种。

当我们(实例化一个SGD实例 )时,我们要指定优化的参数

(可通过net.parameters()从我们的模型中获得)以及优化算法所需的超参数字典。

小批量随机梯度下降只需要设置lr值,这里设置为0.03。

python 复制代码
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr = 0.03)

训练

在每个迭代周期里,将完整遍历一次数据集(train_data),

不停地从中获取一个小批量的输入和相应的标签。

对于每一个小批量,会进行以下步骤:

  • 通过调用net(X)生成预测并计算损失l(前向传播)。
  • 通过进行反向传播来计算梯度。
  • 通过调用优化器来更新模型参数。

为了更好的衡量训练效果,计算每个迭代周期后的损失,并打印它来监控训练过程。

python 复制代码
num_epochs = 3
for epoch in range(num_epochs):
    for X, y in data_iter:
        l = loss(net(X), y)
        trainer.zero_grad()
        l.backward()
        trainer.step()
    l = loss(net(features), labels)
    print(f'epoch {epoch + 1}, loss {1:f}')
epoch 1, loss 1.000000
epoch 2, loss 1.000000
epoch 3, loss 1.000000

比较生成数据集的真实参数和通过有限数据训练获得的模型参数

python 复制代码
w = net[0].weight.data
print('w的估计误差:', true_w - w.reshape(true_w.shape))
b = net[0].bias.data
print('b的估计误差:', true_b - b)
w的估计误差: tensor([-0.0001,  0.0005])
b的估计误差: tensor([-0.0008])
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