【动态规划】LeetCode-LCR166.珠宝的最高价值

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题目

题目描述

现有一个记作二维矩阵 frame 的珠宝架,其中 frame[i][j] 为该位置珠宝的价值。拿取珠宝的规则为:

只能从架子的左上角开始拿珠宝

每次可以移动到右侧或下侧的相邻位置

到达珠宝架子的右下角时,停止拿取

注意:珠宝的价值都是大于 0 的。除非这个架子上没有任何珠宝,比如 frame = [[0]]。

执行示例

示例 1:

输入: frame = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]

输出: 12

解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最高价值的珠宝

提示

0 < frame.length <= 200

0 < frame[0].length <= 200

题解

由题目可知,我们只能向下走或者向右走。若我们走到第i行第j列,则我们的上一步一定是第i行第j-1列向右走1步到达的,或者是从第i-1行第j列向下走1步到达的。因而,我们想知道到达第i行第j列的最大价值,就需要知道到达第i行第j-1列、第i-1行第j列的最大价值。

首先,我们可以创建1个dp表(二维数组),用于保存到达第i行第j列的最大价值。第0行初始化规则为dp[0][0]=frame[0][0],余下元素初始化规则为dp[0][i]=dp[0][i-1]+frame[0][i]。因为只能从第0行第i-1列向右走1步到达,而不能从第-1行第i列向下走1步到达(这样就超出frame范围了,不满足题意)。第0列初始化规则为dp[0][0]=frame[0][0],余下元素初始化规则为dp[i][0]=dp[i-1][0]+frame[i][0]。因为只能从第i-1行第0列向下走1步到达。到此为止,我们得到了如下的dp表↓↓↓

余下的各行各列元素,均可由上面一个元素向下走1步到达,也可以由左边元素向右走1步到达。即dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+frame[i][j]。因为我们在计算第i行第j列元素时,必须先知道到达第i-1行第j-1列的最大价值,因此需要从左上向右下遍历。上述分析,以示例1执行示意图如下↓↓↓

经过上面的分析,我们可以得到如下代码↓↓↓

cpp 复制代码
class Solution {
public:
    int jewelleryValue(vector<vector<int>>& frame) {
        int m = frame.size();
        int n = frame[0].size();
        vector<vector<int>>dp(m, vector<int>(n));
        dp[0][0] = frame[0][0];
        //初始化第0列
        for(int i = 1; i < m ;i++)
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + frame[i][0];
        //初始化第0行
        for(int i = 1; i < n; i++)
            dp[0][i] = dp[0][i - 1] + frame[0][i];
        for(int i = 1; i < m; i++)
            for(int j = 1; j < n; j++)
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + frame[i][j];
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
};

我们可以通过多开辟1行1列,并将多开辟的1行1列初始化为0的方式,避开初始化第0行第0列的代码,这样可以使代码更加简洁。下面代码的思路与上述代码一致。↓↓↓

cpp 复制代码
class Solution {
public:
    int jewelleryValue(vector<vector<int>>& frame) {
        int m = frame.size();
        int n = frame[0].size();
        vector<vector<int>>dp(m + 1, vector<int>(n + 1));
        for(int i = 1; i <= m; i++)
            for(int j = 1; j <= n; j++)
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + frame[i - 1][j - 1];
        return dp[m][n];
    }
};

本文存在不足,欢迎留言或私信批评、指正。希望我的解决方法能够对你有所帮助~~

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