题目描述
这是 LeetCode 上的 2477. 到达首都的最少油耗 ，难度为 中等。
Tag : 「DFS」
给你一棵 n 个节点的树（一个无向、连通、无环图），每个节点表示一个城市，编号从 0 到 n - 1，且恰好有 n - 1 条路。
0 是首都。给你一个二维整数数组 roads，其中 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> r o a d s [ i ] = [ a i , b i ] roads[i] = [a_{i}, b_{i}] </math>roads[i]=[ai,bi] ，表示城市 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> a i a_{i} </math>ai 和 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> b i b_{i} </math>bi 之间有一条 双向路 。
每个城市里有一个代表，他们都要去首都参加一个会议。
每座城市里有一辆车。给你一个整数 seats 表示每辆车里面座位的数目。
城市里的代表可以选择乘坐所在城市的车，或者乘坐其他城市的车。相邻城市之间一辆车的油耗是一升汽油。
请你返回到达首都最少需要多少升汽油。
示例 1： 
lua
输入：roads = [[0,1],[0,2],[0,3]], seats = 5
输出：3
解释：
- 代表 1 直接到达首都，消耗 1 升汽油。
- 代表 2 直接到达首都，消耗 1 升汽油。
- 代表 3 直接到达首都，消耗 1 升汽油。
最少消耗 3 升汽油。示例 2： 
diff
输入：roads = [[3,1],[3,2],[1,0],[0,4],[0,5],[4,6]], seats = 2
输出：7
解释：
- 代表 2 到达城市 3 ，消耗 1 升汽油。
- 代表 2 和代表 3 一起到达城市 1 ，消耗 1 升汽油。
- 代表 2 和代表 3 一起到达首都，消耗 1 升汽油。
- 代表 1 直接到达首都，消耗 1 升汽油。
- 代表 5 直接到达首都，消耗 1 升汽油。
- 代表 6 到达城市 4 ，消耗 1 升汽油。
- 代表 4 和代表 6 一起到达首都，消耗 1 升汽油。
最少消耗 7 升汽油。示例 3： 
ini
输入：roads = [], seats = 1
输出：0
解释：没有代表需要从别的城市到达首都。提示：
- <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 1 < = n < = 105 1 <= n <= 105 </math>1<=n<=105
- <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> r o a d s . l e n g t h = n − 1 roads.length = n - 1 </math>roads.length=n−1
- <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> r o a d s [ i ] . l e n g t h = 2 roads[i].length = 2 </math>roads[i].length=2
- <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 0 < = a i , b i < n 0 <= a_{i}, b_{i} < n </math>0<=ai,bi<n
- <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> a i ! = b i a_{i} != b_{i} </math>ai!=bi
roads表示一棵合法的树。- <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 1 < = s e a t s < = 1 0 5 1 <= seats <= 10^5 </math>1<=seats<=105
DFS
将双向图看作是以节点 0 为根的有向树，从每个节点出发往 0 前行，可看作是自底向上的移动过程。
当 seats = 1 时，每个节点前往 0 的过程相互独立，总油耗为每节点到 0 的最短距离之和。
当 seats 不为 1 时，考虑组成顺风车，此时总的油耗不该超过 seats = 1 的情况。
不难发现，只有「深度大的节点，在前往 0 过程中，搭乘深度小顺风车」可减少油耗 （例如在上图节点 3 在经过节点 1 时搭乘顺风车，可与节点 1 合计使用一份油耗前往到 0），否则如果是深度小的节点先往深度大的节点走，再一同前往 0，会额外多经过某些边，产生不必要的油耗。
考虑组成顺风车时，总油耗该如何计算。
基于上述分析，无论 seats 是否为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 1 1 </math>1（是否组成顺风车），每个节点前往 0 的路径总是不变，即经过的边固定不变，必然是自底向上。
因此我们可统计每条边会被多少个节点经过，通过 DFS 统计「以每个节点为根时，子树的节点数量」即是经过该节点往上的边。
Java 代码：
Java
class Solution {
int N = 100010, M = 2 * N, idx = 0;
int[] he = new int[N], e = new int[M], ne = new int[M];
void add(int a, int b) {
e[idx] = b;
ne[idx] = he[a];
he[a] = idx++;
}
long ans = 0;
public long minimumFuelCost(int[][] roads, int seats) {
int n = roads.length + 1;
Arrays.fill(he, -1);
for (int[] r : roads) {
int a = r[0], b = r[1];
add(a, b); add(b, a);
}
dfs(0, -1, seats);
return ans;
}
int dfs(int u, int fa, int t) {
int cnt = 1;
for (int i = he[u]; i != -1; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if (j == fa) continue;
cnt += dfs(j, u, t);
}
if (u != 0) ans += Math.ceil(cnt * 1.0 / t);
return cnt;
}
}C++ 代码：
C++
class Solution {
public:
int N = 100010, M = 2 * N, idx = 0;
int he[100010], e[200020], ne[200020];
long long ans = 0;
void add(int a, int b) {
e[idx] = b;
ne[idx] = he[a];
he[a] = idx++;
}
long long minimumFuelCost(vector<vector<int>>& roads, int seats) {
int n = roads.size() + 1;
memset(he, -1, sizeof(he));
for (auto& r : roads) {
int a = r[0], b = r[1];
add(a, b); add(b, a);
}
dfs(0, -1, seats);
return ans;
}
int dfs(int u, int fa, int t) {
int cnt = 1;
for (int i = he[u]; i != -1; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if (j == fa) continue;
cnt += dfs(j, u, t);
}
if (u != 0) ans += ceil(cnt * 1.0 / t);
return cnt;
}
};Python 代码：
Python
class Solution:
def minimumFuelCost(self, roads: List[List[int]], seats: int) -> int:
n, m, ans = len(roads) + 1, len(roads) * 2 + 1, 0
he, e, ne, idx = [-1] * n, [0] * m, [0] * m, 0
def add(a, b):
nonlocal idx
e[idx] = b
ne[idx] = he[a]
he[a] = idx
idx += 1
def dfs(u, fa, t):
nonlocal ans
cnt = 1
i = he[u]
while i != -1:
j, i = e[i], ne[i]
if j == fa: continue
cnt += dfs(j, u, t)
if u != 0:
ans += math.ceil(cnt * 1.0 / t)
return cnt
for a, b in roads:
add(a, b)
add(b, a)
dfs(0, -1, seats)
return ansTypeScript 代码：
TypeScript
function minimumFuelCost(roads: number[][], seats: number): number {
const n = roads.length + 1, m = n * 2;
const he = Array(n).fill(-1), e = Array(m).fill(0), ne = Array(m).fill(0);
let ans = 0, idx = 0;
const add = function(a: number, b: number) {
e[idx] = b;
ne[idx] = he[a];
he[a] = idx++;
}
const dfs = function(u: number, fa: number, t: number): number {
let cnt = 1;
for (let i = he[u]; i != -1; i = ne[i]) {
const j = e[i];
if (j == fa) continue;
cnt += dfs(j, u, t);
}
if (u != 0) ans += Math.ceil(cnt * 1.0 / t);
return cnt;
}
for (const [a, b] of roads) {
add(a, b); add(b, a);
}
dfs(0, -1, seats);
return ans;
};- 时间复杂度：建图复杂度为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( n ) O(n) </math>O(n)；递归统计每个子树节点数量并计算油耗复杂度 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( n ) O(n) </math>O(n)；整体复杂度为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( n ) O(n) </math>O(n)
- 空间复杂度： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( n ) O(n) </math>O(n)
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.2477 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
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