算法笔记:样条插值

1 什么是样条

  • 样条来源于早期工程制图,为了将一些固定点连成一条光滑的曲线,采用具有弹性的木条固定在这些点上
  • 通过样条画出来的曲线不仅经过各固定点,而且连续光滑

2 样条函数

  • 数学上定义成一个分段多项式函数
    • 每两个点之间用一个多项式来表示,这些多项式的阶数相同,但是系数是不一样的
    • 样条插值的目的就是求这些多项式系数,已知系数,那些中间点的值就能唯一确定了

|---------------|--------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| #### 线性样条 | 在每两点间画一条直线 |
| #### 二次样条 | |
| #### 三次样条 | |

3 样条插值原理

  • 连续
  • 光滑
  • 边界条件

下面以三次样条插值为例,假设是已知的n+1个数据点,整个函数有这4n个未知数组成

若想求得这4n个未知系数,需要构建4n个方程

3.1 连续

  • 根据连续性原则,每个分段函数都经过其两侧端点
  • 因此,可得到2n个方程:

3.2 光滑性原则

  • 根据光滑性原则,相邻的两个分段函数连接处低阶导数相等
    • 对于三次样条来说,就是一阶导数和二阶导数

3.3 边界条件

  • 目前一共4n-2个方程,不足以得到4n个系数的解
  • 在公式(3)和(4)中,第1个点和第n+1个点在边界,只被使用了一次,导致整个方程组还差2个方程才能求解。
  • 此时,可以假设不同的边界条件来构成4n个方程。
  • 需要注意的是,不同的边界条件导致插值结果也有所不同。

|------------------------|-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| #### Natural Spline | 假设第1个和最后一个端点的二阶导为0 |
| #### Not-a-Knot Spline | 假设第一段和第二段函数的三阶导在端点处相等;第n-1段和第n段函数的三阶导在端点处也相等 |
| #### Periodic Spline | 最后一个分段函数的一阶段和二阶导于第一个分段的一阶导和二阶导相等 这种假设特别适合用在周期函数中,尤其是第一点与最后一点相等时 |
| #### Quadratic Spline | 强制第一个与最后一个分段函数的第一个系数为0 |

参考内容:样条插值(Spline Interpolation)-云社区-华为云 (huaweicloud.com)

相关推荐
吴梓穆30 分钟前
UE5学习笔记 FPS游戏制作37 蓝图函数库 自己定义公共方法
笔记·学习·ue5
吴梓穆37 分钟前
UE5学习笔记 FPS游戏制作41 世界模式显示UI
笔记·学习·ue5
s_little_monster1 小时前
【Linux】进程信号的捕捉处理
linux·运维·服务器·经验分享·笔记·学习·学习方法
RedMery2 小时前
论文阅读笔记:Denoising Diffusion Implicit Models (4)
论文阅读·笔记
go_bai2 小时前
Linux环境基础开发工具——(2)vim
linux·开发语言·经验分享·笔记·vim·学习方法
吴梓穆3 小时前
UE5学习笔记 FPS游戏制作35 使用.csv配置文件
笔记·学习·ue5
100分题库小程序3 小时前
2025年机动车授权签字人考试判断题分享
经验分享·笔记
V---scwantop---信3 小时前
失真扭曲斑点效果ps标题文本特效滤镜样机 Color Blob Distort Text & Logo Effect
笔记
nuo5342024 小时前
黑马 C++ 学习笔记
c语言·c++·笔记·学习
阿噜噜小栈4 小时前
最新国内可用的Docker镜像加速器地址收集
运维·笔记·docker·容器