一.动态规划（DP）的定义：
求解决策过程（decision process）最优化的数学方法。
将多阶段决策过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解。
二.动态规划的基本思想：
与分治法类似，将待求解问题分解成若干个子问题。
但是经分解得到的子问题往往不是相互独立的。
如果使用分治法求解问题，有些子问题被重复计算了多次。
而"如何减少子问题的重复计算"是动态规划算法的关键思想。
问题：如何减少子问题的重复计算呢？
解决方案：保存已解决的子问题的答案，在需要的时候找出已经求得的答案。
三.动态规划的基本步骤
1.找出最优解的性质，并刻划其结构特征。即：寻找最优解的子问题结构。
2.递归地定义最优解。即：根据子问题的结构建立问题的递归解式，求解最优值。
3.以自底向上的方式计算出最优值。
4.根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。
四.例题分析------多个矩阵连乘模块设计
问题描述：
实现多个矩阵连乘功能
关键问题计算：
给定n个矩阵{
}，其中
与
是可乘的，考察这n个矩阵的连乘积
由于矩阵乘法满足结合律，所以计算矩阵的连乘可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。
若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该矩阵已完全加括号，则可以依此次序反复调用3个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。
完全加括号的矩阵连乘积：
设有四个矩阵 A，B，C，D 维数分别为：
50*10；10*40；40*30；30*5
则总共有五种完全加括号的方式：
1）
（A（（BC）D））
2）
（A（B（CD）））
3）
（（AB）（CD））
4）
（（（AB）C）D）
5）
（（A（BC））D）
对于两个矩阵A(p*q)*B(q*r)（标准乘法计算）：
cpp
void matrixMultiply(int *a,int *b,int *c,int ra,int ca,int rb,int cb){
if(ca!=rb){
cout<<"矩阵不可乘！"<<endl;
}
else{
int i,j,k,n,sum=0;
for(i=0;i<ra;i++){
for(j=0;j<cb;j++){
for(k=0;k<ca;k++){
sum+=a[i*ca+k]*b[k*cb+j];
}
c[i*ra+j]=sum;
sum=0;
}
}
}
}需要进行p*q*r次乘法计算！
矩阵连乘问题转化为：
确定矩阵连乘的计算次序，使得按照该次序计算矩阵连乘需要的数乘次数最少。
1.穷举法求解思路：
列举出所有可能的计算次序，并计算出每一种次序相应需要的数乘次数，从中找出一种数乘次数最少的计算次序。
算法复杂度分析：
对于n个矩阵的连乘积，设其不同的计算次序为P（n）
由于每种加括号方式都可以分解为两个子矩阵的加括号的问题
2.动态规划求解：
最优解结构分析：
将矩阵连乘积
简记为：Ai:j，这里i<=j。
设这个计算次序在
和
之间将矩阵断开，i<=k<j，则其相应的完全加括号的方式为：
（
）(
)
总计算量=Ai:k的计算量加上Ak+1:j的计算量，再加上Ai:k和Ak+1:j相乘的计算量。
特征：计算Ai:j的最优次序所包含的计算矩阵子链Ai:k和Ak+1:j的次序也是最优的。
最优子结构性质：最优解包含其子问题的最优解。
建立递归关系：(mi,j表示最小连乘次数）
当i=j时，Ai:j=,mi,j=0
当i<j时，mi,j=
{mi,k+mk+1,j+
}
则有：
(k的位置只有j-i种可能）
注：由于矩阵乘法中的列数和的行数相等，则可以只用列数来化简表达式，这里的
均表示第i-1，k，j个矩阵的列数。n个矩阵的信息，只需要一个长度为n+1的数组来表示即可。
对于mij数组，只需要填入上三角中的元素即可（因为i<=j）。
五.代码实现
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
int BestValue(int row[],int col[], int n);
int main(int argc, const char * argv[]) {
int row[]={3,4,6};
int col[]={4,6,11};
cout<<BestValue(row, col, 3);
return 0;
}
int BestValue(int row[],int col[], int n){
if(n<=0){
cout<<"error";
return 0;
}
int m[40][40];
int i,j,k,r,sum;
for(i=0;i<n-1;i++){
if(col[i]!=row[i+1]){
cout<<"error"<<endl;
return 0;
}
}
for(i=0;i<n;i++){
m[i][i]=0;
}
for(r=1;r<n;r++){
for(j=r;j<n;j++){
i=j-r;
sum=m[i][i]+m[i+1][j]+row[i]*col[i]*col[j];
for(k=i;k<j;k++){
if(sum>m[i][k]+m[k+1][j]+row[i]*col[k]*col[j]){
sum=m[i][k]+m[k+1][j]+row[i]*col[k]*col[j];
}
}
m[i][j]=sum;
}
}
return m[0][n-1];
}