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本文参考：
B站：DR_CAN
Dr. CAN学习笔记-数学基础Ch0-2 特征值与特征向量
- [1. 定义](#1. 定义)
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- [1.1 线性变换](#1.1 线性变换)
- [1.2 求解特征值，特征向量](#1.2 求解特征值，特征向量)
- [1.3 应用：对角化矩阵------解耦Decouple](#1.3 应用：对角化矩阵——解耦Decouple)
- [2. Summary](#2. Summary)
1. 定义
A v ⃗ = λ v ⃗ A\vec{v}=\lambda \vec{v} Av =λv
对于给定线性变换 A A A，特征向量eigenvector v ⃗ \vec{v} v 在此变换后仍与原来的方向共线，但长度可能会发生改变，其中 λ \lambda λ 为标量，即缩放比例，称其为特征值eigenvalue
1.1 线性变换
1.2 求解特征值，特征向量
A v ⃗ = λ v ⃗ ⇒ ( A − λ E ) v ⃗ = 0 ⇒ ∣ A − λ E ∣ = 0 A\vec{v}=\lambda \vec{v}\Rightarrow \left( A-\lambda E \right) \vec{v}=0\Rightarrow \left| A-\lambda E \right|=0 Av =λv ⇒(A−λE)v =0⇒∣A−λE∣=0
1.3 应用：对角化矩阵------解耦Decouple
P = [ v ⃗ 1 , v ⃗ 2 ] P=\left[ \vec{v}_1,\vec{v}_2 \right] P=[v 1,v 2]------ coordinate transformation matrix
A P = A [ v ⃗ 1 v ⃗ 2 ] = [ A [ v 11 v 12 ] A [ v 21 v 22 ] ] = [ λ 1 v 11 λ 2 v 21 λ 1 v 12 λ 2 v 22 ] = [ v 11 v 21 v 12 v 22 ] [ λ 1 0 0 λ 2 ] = P Λ ⇒ A P = P Λ ⇒ P − 1 A P = Λ AP=A\left[ \begin{matrix} \vec{v}1& \vec{v}2\\ \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} A\left[ \begin{array}{c} v{11}\\ v{12}\\ \end{array} \right]& A\left[ \begin{array}{c} v_{21}\\ v_{22}\\ \end{array} \right]\\ \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \lambda 1v{11}& \lambda 2v{21}\\ \lambda 1v{12}& \lambda 2v{22}\\ \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} v_{11}& v_{21}\\ v_{12}& v_{22}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \lambda _1& 0\\ 0& \lambda _2\\ \end{matrix} \right] =P\varLambda \\ \Rightarrow AP=P\varLambda \Rightarrow P^{-1}AP=\varLambda AP=A[v 1v 2]=[A[v11v12]A[v21v22]]=[λ1v11λ1v12λ2v21λ2v22]=[v11v12v21v22][λ100λ2]=PΛ⇒AP=PΛ⇒P−1AP=Λ
- 微分方程组 state-space rep
2. Summary
- A v ⃗ = λ v ⃗ A\vec{v}=\lambda \vec{v} Av =λv 在一条直线上
- 求解方法： ∣ A − λ E ∣ = 0 \left| A-\lambda E \right|=0 ∣A−λE∣=0
- P − 1 A P = Λ , P = [ v ⃗ 1 v ⃗ 2 ⋯ ] , Λ = [ λ 1 λ 2 ⋱ ] P^{-1}AP=\varLambda , P=\left[ \begin{matrix} \vec{v}_1& \vec{v}_2& \cdots\\ \end{matrix} \right] , \varLambda =\left[ \begin{matrix} \lambda _1& & \\ & \lambda _2& \\ & & \ddots\\ \end{matrix} \right] P−1AP=Λ,P=[v 1v 2⋯],Λ= λ1λ2⋱
- x ˙ = A x , x = P y , y ˙ = Λ y \dot{x}=Ax, x=Py,\dot{y}=\varLambda y x˙=Ax,x=Py,y˙=Λy