图论 III - 技术栈

本文主要讲解：网络流，二分图染色，2-sat，差分约束

基本定义

图：一张图 \(G\) 由若干个点和连接这些点的边构成。点的集合称为点集 \(V\)，边的集合称为边集 \(E\)，记 \(G = (V, E)\)。
阶：图 \(G\) 的点数 \(|V|\) 称为阶，记作 \(|G|\)。
无向图：若 \(e\in E\) 没有方向，则 \(G\) 称为 无向图 。无向图的边记作 \(e = (u, v)\)，\(u, v\) 之间无序。
有向图：若 \(e\in E\) 有方向，则 \(G\) 称为 有向图 。有向图的边记作 \(e = u\to v\) 或 \(e = (u, v)\)，\(u, v\) 之间有序。无向边 \((u, v)\) 可视为两条有向边 \(u\to v\) 和 \(v\to u\)。
重边：端点和方向（有向图）相同的边称为重边，当且仅当对于两条边 \(e_1=(u,x),e_2=(u,y)\) 中 \(x=y\)。
自环：连接相同点的边称为自环，当且仅当 \((u,v)\) 中 \(u=v\)。

相邻

相邻：在无向图中，称 \(u, v\) 相邻当且仅当存在 \(e = (u, v)\)。
邻域：在无向图中，点 \(u\) 的邻域为所有与之相邻的点的集合，记作 \(N(u)\)。
邻边：在无向图中，与 \(u\) 相连的边 \((u, v)\) 称为 \(u\) 的邻边。
出边 / 入边：在有向图中，从 \(u\) 出发的边 \(u\to v\) 称为 \(u\) 的出边，到达 \(u\) 的边 \(v\to u\) 称为 \(u\) 的入边。
度数：一个点的度数为与之关联的边的数量，记作 \(d(u)\)，\(d(u) = \sum_{e\in E} ([u = e_u] + [u = e_v])\)。点的自环对其度数产生 \(2\) 的贡献。
出度 / 入度：在有向图中，从 \(u\) 出发的边数称为 \(u\) 的出度，记作 \(d ^ +(u)\)；到达 \(u\) 的边数称为 \(u\) 的入度，记作 \(d ^ -(u)\)。

路径

途径：连接一串相邻结点的序列称为途径，用点序列 \(v_{0..k}\) 和边序列 \(e_{1..k}\) 描述，其中 \(e_i = (v_{i - 1}, v_i)\)。常写为 \(v_0\to v_1\to \cdots \to v_k\)。
迹：不经过重复边的途径称为迹。
回路：\(v_0 = v_k\) 的迹称为回路。
路径：不经过重复点的迹称为路径，也称 简单路径。不经过重复点比不经过重复边强，所以不经过重复点的途径也是路径。注意题目中的简单路径可能指迹。
环：除 \(v_0 = v_k\) 外所有点互不相同的途径称为环，也称圈或 简单环。

连通性

连通：对于无向图的两点 \(u, v\)，若存在途径使得 \(v_0 = u\) 且 \(v_k = v\)，则称 \(u, v\) 连通。
弱连通：对于有向图的两点 \(u, v\)，若将有向边改为无向边后 \(u, v\) 连通，则称 \(u, v\) 弱连通。
连通图：任意两点连通的无向图称为 连通图。
弱连通图：任意两点弱连通的有向图称为 弱连通图。
可达：对于有向图的两点 \(u, v\)，若存在途径使得 \(v_0 = u\) 且 \(v_k = v\)，则称 \(u\) 可达 \(v\)，记作 \(u \rightsquigarrow v\)。
关于点双连通 / 边双连通 / 强连通，见对应章节。

特殊图

简单图：不含重边和自环的图称为 简单图。
基图：将有向图的有向边替换为无向边得到的图称为该有向图的基图。
有向无环图：不含环的有向图称为 有向无环图 ，简称 DAG（Directed Acyclic Graph）。
完全图：任意不同的两点之间恰有一条边的无向简单图称为 完全图 。\(n\) 阶完全图记作 \(K_n\)。
树：不含环的无向连通图称为树，树上度为 \(1\) 的点称为叶子。树是简单图，满足 \(|V| = |E| + 1\)。若干棵（包括一棵）树组成的连通块称为森林。相关知识点见 "树论"。
稀疏图 / 稠密图： \(|E|\) 远小于 \(|V| ^ 2\) 的图称为 稀疏图 ，\(|E|\) 接近 \(|V| ^ 2\) 的图称为 稠密图 。用于讨论时间复杂度为 \(\mathcal{O}(|E|)\) 和 \(\mathcal{O}(|V| ^ 2)\) 的算法。

子图

子图：满足 \(V'\subseteq V\) 且 \(E'\subseteq E\) 的图 \(G' = (V', E')\) 称为 \(G = (V, E)\) 的子图，记作 \(G'\subseteq G\)。要求 \(E'\) 所有边的两端均在 \(V'\) 中。
导出子图：选择若干个点以及两端都在该点集的所有边构成的子图称为该图的 导出子图 。导出子图的形态仅由选择的点集 \(V'\) 决定，记作 \(G[V']\)。
生成子图：\(|V'| = |V|\) 的子图称为 生成子图。
极大子图（分量）：在子图满足某性质的前提下，子图 \(G'\) 称为极大的，当且仅当不存在同样满足该性质的子图 \(G''\) 且 \(G'\subsetneq G''\subseteq G\)。\(G'\) 称为满足该性质的分量。例如，极大的连通的子图称为原图的连通分量，也就是我们熟知的连通块。

约定

1. 2-SAT

前置：强联通分量(Tarjan)、拓扑序、缩点。

给出 \(n\) 个变量，每个变量有一个取值集合，每个集合有两个元素 \({a_i,b_i}\)。已知若干个条件，表示 \(c_i\) 和 \(c_j\) 矛盾（即集合 \(i\) 选择 \(c_i\) 则集合 \(j\) 不能选择 \(c_j\)）。

我们希望给每个变量赋值，判断是否存在一组解使得没有产生冲突。

我们通常建图后使用强联通分量解决 2-SAT 问题。

具体的，假设我们要处理条件 \([a_i,a_j]\)，即集合 \(i\) 选择 \(a_i\) 则集合 \(j\) 不能选择 \(a_j\)。

我们建两条边：\((a_i,b_j)\) 和 \((a_j,b_i)\)，含义为前者满足后者就必须满足。

其他条件用类似的方法处理建图。

之后我们求 scc。如果有一个集合的 \(a_i,b_i\) 在用一个 scc 里，其含义为如果选了 \(a_i\) 就必须选 \(b_i\)，这肯定是无解的。否则就存在合法解。

我们按照图中拓扑序定向，如果 \(a_i\) 在 \(b_i\) 前面，那么取 \(a_i\)，否则为 \(b_i\)。然而并不需要求一遍拓扑序，在 Tarjan 算法中我们维护的栈就是一个天然的拓扑序，所以求得的 scc 编号即为反拓扑序。

题意

有 \(n(n\le8000)\) 个党派，每个党派有两个代表。有 \(m(m\le20000)\) 个代表之间的双向厌恶关系。

现在要成立一个委员会，要求每个党派恰好有一个代表在会中，且没有两个代表是互相厌恶的。构造合法解。