Jordan型矩阵
2023年11月3日
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文章目录
- Jordan型矩阵
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- [1. 代数重数与几何重数](#1. 代数重数与几何重数)
- [2. Jordan块与Jordan标准型](#2. Jordan块与Jordan标准型)
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- [2.1 最小多项式与Jordan标准型](#2.1 最小多项式与Jordan标准型)
- [2.2 两类重要矩阵](#2.2 两类重要矩阵)
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- [3. 矩阵的Jordan分解](#3. 矩阵的Jordan分解)
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- [3.1 Jordan分解的应用](#3.1 Jordan分解的应用)
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- 下链
1. 代数重数与几何重数
在对向量做线性变换时，向量空间的某个向量的方向不发生改变，而只是在其方向上进行拉伸，则该向量是线性变换的特征向量，其在变换中被拉伸的倍数为该特征向量的特征值（特征根）。
矩阵的相同特征值有其对应的代数重数与几何重数，相同特征值的代数重数就是相同特征值的个数，几何重数就是相同特征值所对应特征向量的个数。显然，特征向量的拉伸量可能相同，即代数重数大于等于几何重数，也就是多个相同特征值可能对应一个特征向量。也可以说，对同一个特征值，可能有多个特征向量，而该特征值的代数重数大于等于特征向量的个数。
如果每个相同的特征值都对应不同的特征向量，则代数重数等于几何重数。
对于 n × n n\times n n×n 矩阵 A A A，有 l l l 个特征根， l < n l\lt n l<n 且第 i i i 个特征根 λ i \lambda_i λi 的代数重数为 σ i \sigma_i σi 、几何重数为 α i \alpha_i αi
det ( λ I n − A ) = ( λ − λ 1 ) σ 1 ( λ − λ 2 ) σ 2 ⋯ ( λ − λ l ) σ l \det (\lambda I_n-A)=(\lambda-\lambda_1)^{\sigma_1}(\lambda-\lambda_2)^{\sigma_2}\cdots(\lambda-\lambda_l)^{\sigma_l} det(λIn−A)=(λ−λ1)σ1(λ−λ2)σ2⋯(λ−λl)σl
第 i i i个特征根的几何重数计算如下：
α i = n − rank ( λ i I n − A ) \alpha_i=n-\text{rank}(\lambda_iI_n-A) αi=n−rank(λiIn−A)
几何重数（零化度）对应着有几个线性无关的特征向量拥有当前的特征值。
在Jordan标准型中，几何重数对应着当前特征值拥有几个Jordan快。
若代数重数等于几何重数，该特征值为 半单的 。
若代数重数大于几何重数，该特征值为 亏损的 。
显然，代数重数为 1 {1} 1 的特征值一定时半单的；不同特征值对应的特征向量是线性无关的。每个特征值都是半单的矩阵（有完备的特征向量系）等价于可对角化。
存在亏损的特征值的矩阵称为亏损矩阵，等价于不可对角化。
2. Jordan块与Jordan标准型
举例，对代数重数为 σ i = 5 \sigma_i=5 σi=5 、几何重数为 α i = 2 \alpha_i=2 αi=2 的特征根 λ i \lambda_i λi，有两个Jordan快，设存在一个三阶和一个两阶的Jordan块：
J i = [ λ i 1 0 0 0 0 λ i 1 0 0 0 0 λ i 0 0 0 0 0 λ i 1 0 0 0 0 λ i ] = diag ( J 3 ( λ i ) , J 2 ( λ i ) ) J_{i}= \begin{bmatrix} \lambda_i&1&0&0&0\\ 0&\lambda_i&1&0&0\\ 0&0&\lambda_i&0&0\\ 0&0&0&\lambda_i&1\\ 0&0&0&0&\lambda_i \end{bmatrix}=\text{diag}(J_3(\lambda_i),J_2(\lambda_i)) Ji= λi00001λi00001λi00000λi00001λi =diag(J3(λi),J2(λi))
Jordan块的顺序可以交换。知道特征值的代数重数和几何重数，还需要知道特征值对应的每阶Jordan块的个数，才能写出Jordan标准型。
可以通过幂零矩阵确定 λ i \lambda_i λi 对应的两个Jordan快各有几阶，如其中 j j j 阶Jordan块的个数为：
r j + 1 + r j − 1 − 2 r j r_{j+1}+r_{j-1}-2r_j rj+1+rj−1−2rj
r j = rank ( λ i I − A ) j r_j=\text{rank}(\lambda_iI-A)^j rj=rank(λiI−A)j
r 0 = rank ( λ i I − A ) 0 = n r_0=\text{rank}(\lambda_iI-A)^0=n r0=rank(λiI−A)0=n
矩阵的Jordan标准型
J = diag ( J n 1 , J n 2 , ⋯ , J n k ) , n 1 + n 2 + ⋯ + n k = n J=\text{diag}(J_{n_1},J_{n_2},\cdots,J_{n_k}),~n_1+n_2+\cdots+n_k=n J=diag(Jn1,Jn2,⋯,Jnk), n1+n2+⋯+nk=n
Jordan块的上次对角元值都为 1 {1} 1
J n i = [ λ i 1 λ i 1 ⋱ ⋱ λ i 1 λ i ] J_{n_i}= \begin{bmatrix} \lambda_i&1&&&\\ &\lambda_i&1&&\\ &&\ddots&\ddots&\\ &&&\lambda_i&1\\&&&&\lambda_i \end{bmatrix} Jni= λi1λi1⋱⋱λi1λi
在这种定义下，不同Jordan块可能对应相同特征值。求Jordan标准型步骤如下：
- 算特征值
- 算代数重数、几何重数
- 算特征值对应阶数Jordan块的个数
[!example]-
求矩阵 A A A 的Jordan标准型
A = [ 2 0 − 1 0 − 1 1 0 − 1 0 0 2 0 1 1 1 3 ] A= \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{bmatrix} A= 2−1010101−10210−103解：
det ( λ I − A ) = ( λ − 2 ) 4 \det ( \lambda I-A)=( \lambda-2)^4 det(λI−A)=(λ−2)4
λ 1 = λ 2 = λ 3 = λ 4 = 2 , 4 − rank ( λ 1 I − A ) = 2 \lambda_1= \lambda_2 = \lambda_3= \lambda_4=2 \,\,,\,\, 4- \text{rank} ( \lambda_1I-A)=2 λ1=λ2=λ3=λ4=2,4−rank(λ1I−A)=2
2 2 2 特征值的代数重数是 4 {4} 4 ，几何重数是 2 {2} 2 ，有两个Jordan块，可能是一个三阶和一个一阶的，也可能是两个二阶的。
r 0 = 4 r 1 = rank ( λ 1 I − A ) = 2 r 2 = rank ( λ 1 I − A ) 2 = 0 r 3 = rank ( λ 1 I − A ) 3 = 0 \begin{align*} r_0=&4 \\ \\ r_1=& \text{rank}( \lambda_1I-A)=2 \\ \\ r_2=& \text{rank} ( \lambda_1I-A)^2=0 \\ \\ r_3=& \text{rank} ( \lambda_1I-A)^3=0 \\ \\ \end{align*} r0=r1=r2=r3=4rank(λ1I−A)=2rank(λ1I−A)2=0rank(λ1I−A)3=0
2 2 2 特征值对应的一阶Jordan块个数
r 2 + r 0 − 2 r 1 = 0 r_2+r_0-2r_1=0 r2+r0−2r1=0
2 2 2 特征值对应的二阶Jordan块个数
r 3 + r 1 − 2 r 2 = 2 r_3+r_1-2r_2=2 r3+r1−2r2=2所以有两个二阶Jordan块，Jordan标准型为
J = [ 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 1 0 0 0 2 ] J= \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} J= 2000120000200012
Jordan块减去特征值单位阵拥有幂零的特性：
( J n i − λ i I n i ) n i = 0 (J_{n_i}- \lambda_iI_{n_i})^{n_i}=0 (Jni−λiIni)ni=0
2.1 最小多项式与Jordan标准型
由于一个特征值可能对应多个Jordan块，我们选择一个特征值的最大Jordan块的阶数，做为最小多项式中该特征值对应因子的幂次，得到最小多项式。例如
A = [ λ 1 1 0 0 0 0 λ 1 1 0 0 0 0 λ 1 0 0 0 0 0 λ 1 0 0 0 0 0 λ 2 ] A= \begin{bmatrix} \lambda_1 & 1 & 0 & 0&0 \\ 0 & \lambda_1 & 1 & 0&0 \\ 0 &0 & \lambda_1 & 0&0\\ 0 & 0& 0 & \lambda_1&0\\0 & 0& 0& 0& \lambda2 \end{bmatrix} A= λ100001λ100001λ100000λ100000λ2
特征多项式为
Δ ( λ ) = det ( λ I − A ) = ( λ − λ 1 ) 4 ( λ − λ 2 ) \Delta( \lambda)=\det( \lambda I-A)=( \lambda- \lambda_1)^4( \lambda- \lambda_2) Δ(λ)=det(λI−A)=(λ−λ1)4(λ−λ2)
最小多项式为
ψ ( λ ) = ( λ − λ 1 ) 3 ( λ − λ 2 ) \psi( \lambda)=( \lambda- \lambda_1)^3( \lambda- \lambda_2) ψ(λ)=(λ−λ1)3(λ−λ2)
所有相似矩阵都有相同的最小多项式。
2.2 两类重要矩阵
一类是每个特征值代数重数与几何重数相等的矩阵，又称非退化矩阵或简单矩阵、可对角化矩阵，其Jordan标准型是对角阵。
另一类是每个特征值的几何重数都为 1 {1} 1 的矩阵，也就是一个特征值对应一个Jordan块，各Jordan块对应的特征值互异，又称循环矩阵。
显然，循环矩阵的特征多项式与最小多项式相同。
3. 矩阵的Jordan分解
对 n {n} n 阶方阵 A A A，存在 n {n} n 阶可逆矩阵 T T T，使得
A = T J T − 1 A=TJT^{-1} A=TJT−1
为矩阵Jordan分解， J J J 为矩阵的Jordan标准型，若不计Jordan块的次序，则Jordan标准型唯一。
对变换矩阵，可以写为矩阵的集合 T = ( T 1 , T 2 , ⋯ , T k ) T=(T_1,T_2,\cdots,T_k) T=(T1,T2,⋯,Tk)， T i T_i Ti 为 n × n i n\times n_i n×ni 阶矩阵。
A ( T 1 , T 2 , ⋯ , T k ) = ( T 1 , T 2 , ⋯ , T k ) [ J n 1 ⋱ J n k ] A(T_1,T_2,\cdots,T_k)=(T_1,T_2,\cdots,T_k) \begin{bmatrix}J_{n_1}&&\\&\ddots\\&&J_{n_k}\end{bmatrix} A(T1,T2,⋯,Tk)=(T1,T2,⋯,Tk) Jn1⋱Jnk
A T i = T i J n i = ( t 1 i , t 2 i , ⋯ , t n i i ) [ λ i 1 λ i 1 ⋱ ⋱ λ i 1 λ i ] AT_i=T_iJ_{n_i}=(t_1^i,t_2^i,\cdots,t_{n_i}^i) \begin{bmatrix} \lambda_i&1&&&\\ &\lambda_i&1&&\\ &&\ddots&\ddots&\\ &&&\lambda_i&1\\&&&&\lambda_i \end{bmatrix} ATi=TiJni=(t1i,t2i,⋯,tnii) λi1λi1⋱⋱λi1λi
所以
{ A t 1 i = λ i t 1 i A t 2 i = λ i t 2 i + t 1 i ⋮ A t n i i = λ i t n i i + t n i − 1 i \begin{cases} At_1^i=\lambda_it_1^i \\ At_2^i=\lambda_it_2^i+t_1^i\\ \vdots\\ At_{n_i}^i=\lambda_it_{n_i}^i+t_{n_i-1}^i \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧At1i=λit1iAt2i=λit2i+t1i⋮Atnii=λitnii+tni−1i
( A − λ i I n ) t 1 i = 0 (A-\lambda_iI_n)t_1^i=0 (A−λiIn)t1i=0
( A − λ i I n ) t j i = t j − 1 i , j = 2 , 3 ⋯ , n i (A-\lambda_iI_n)t_j^i=t_{j-1}^i,~j=2,3\cdots,n_i (A−λiIn)tji=tj−1i, j=2,3⋯,ni
t 1 i , t 2 i , ⋯ , t n i i t_1^i,t_2^i,\cdots,t_{n_i}^i t1i,t2i,⋯,tnii 构成一条关于 λ i \lambda_i λi的长度为 n i n_i ni的Jordan链。 t 1 i t_1^i t1i 是链首 ，是 A A A 关于 λ i \lambda_i λi 的一个特征向量。
链首满足是特征向量，且方程组可解的要求。所以把 λ i \lambda_i λi 对应的所有线性无关的特征向量算出来，做线性组合，作为链首。变换矩阵 T T T 的求解步骤如下
- 求Jordan标准型
- 算每个Jordan块对应的Jordan链
若Jordan块阶数为1，直接计算特征向量
若阶数大于1，先计算特征向量，利用特征向量的线性组合得到链首（同一特征值特征向量非零线性组合仍是特征向量）
[!example]-
A A A 的Jordan标准型
A = [ 3 0 8 3 − 1 6 − 2 0 − 5 ] , J = [ − 1 0 0 0 − 1 1 0 0 − 1 ] A= \begin{bmatrix} 3 & 0 & 8 \\ 3 & -1 & 6 \\ -2 & 0 & -5 \end{bmatrix} \,\,,\,\, J= \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} A= 33−20−1086−5 ,J= −1000−1001−1求出 λ 1 \lambda_1 λ1 对应的线性无关的特征向量
x 1 = ( 2 , 0 , − 1 ) T , x 2 = ( 0 , 1 , 0 ) T x_1=(2,0,-1)^ \mathrm T \,\,,\,\, x_2=(0,1,0)^ \mathrm T x1=(2,0,−1)T,x2=(0,1,0)T对应的变换矩阵为 x 1 x_1 x1 和 x 2 x_2 x2 的线性组合，我们选取 x 1 x_1 x1。对于阶数为 2 {2} 2 的Jordan块，构造 y = k 1 x 1 + k 2 x 2 y=k_1x_1+k_2x_2 y=k1x1+k2x2 使得 ( A − λ 1 I ) Z = y (A- \lambda_1I)Z=y (A−λ1I)Z=y 可解，即
rank ( A − λ 1 I ) = rank ( A − λ 1 I ∣ y ) \text{rank}(A- \lambda_1I)= \text{rank}(A- \lambda_1I\,|\,y) rank(A−λ1I)=rank(A−λ1I∣y)
( A − λ 1 I ∣ y ) = [ 4 0 8 2 k 1 3 0 6 k 2 − 2 0 − 4 − k 1 ] → [ 4 0 8 2 k 1 0 0 0 k 2 − 3 k 1 / 2 0 0 0 0 ] (A- \lambda_1I\,|\,y) = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 8 & 2k_1 \\ 3 & 0 & 6& k_2 \\ -2 & 0 & -4 &-k_1 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 4 & 0 & 8 & 2k_1 \\ 0 & 0 & 0& k_2-3k_1/2 \\ 0 & 0 &0 &0 \end{bmatrix} (A−λ1I∣y)= 43−200086−42k1k2−k1 → 4000008002k1k2−3k1/20需要 2 k 2 − 3 k 1 = 0 2k_2-3k_1=0 2k2−3k1=0 ，取 k 1 = 2 , k 2 = 3 , y = ( 4 , 3 , − 2 ) T k_1=2 \,\,,\,\, k_2=3 \,\,,\,\, y=(4,3,-2)^ \mathrm T k1=2,k2=3,y=(4,3,−2)T， 解出 z = ( 1 , 0 , 0 ) T z=(1,0,0)^ \mathrm T z=(1,0,0)T，鼓变换矩阵为
T = [ 2 4 1 0 3 0 − 1 − 2 0 ] T= \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & -2 & 0 \end{bmatrix} T= 20−143−2100
3.1 Jordan分解的应用
Jordan分解用于计算初等函数在某个矩阵处的值，最简单的情形是计算多项式函数（高次多项式），当然也可以用Cayley-Hamilton定理。
[!example]-
设矩阵
A = [ − 1 0 1 1 2 0 − 4 0 3 ] A= \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ -4 & 0 & 3 \end{bmatrix} A= −11−4020103求 A 2018 A^{2018} A2018。
解：
T − 1 A T = J = [ 1 1 0 0 1 0 0 0 2 ] → A 2018 = T J 2018 T − 1 \begin{align*} T^{-1}AT=J= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \end{align*}\to A^{2018}=TJ^{2018}T^{-1} T−1AT=J= 100110002 →A2018=TJ2018T−1
A 2018 = [ 1 0 0 − 1 − 1 1 2 1 0 ] [ 1 2018 0 0 1 0 0 0 2 2018 ] [ 1 0 0 − 2 0 1 − 1 1 1 ] = [ − 4035 0 2018 4037 − 2 2018 2 2018 2 2018 − 2019 − 8072 0 4037 ] \begin{align*} A^{2018}=& \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2018 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2^{2018} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \\ \\=& \begin{bmatrix} -4035 & 0 & 2018 \\ 4037-2^{2018} & 2^{2018} & 2^{2018}-2019 \\ -8072 & 0 & 4037 \end{bmatrix} \end{align*} A2018== 1−120−11010 1002018100022018 1−2−1001011 −40354037−22018−80720220180201822018−20194037
Jordan分解还可以用于求解一阶线性常系数微分方程组。
[! example]-
求解
{ d d t x 1 = 3 x 1 + x 2 − 3 d d t x 2 = − 2 x 2 + 2 x 3 d d t x 3 = − x 1 + x 2 + 3 x 3 \begin{cases} \frac{\mathrm d }{\mathrm dt}x_1=3x_1+x_2-3 \\ \frac{\mathrm d }{\mathrm dt}x_2=-2x_2+2x_3\\ \frac{\mathrm d }{\mathrm dt}x_3=-x_1+x_2+3x_3 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧dtdx1=3x1+x2−3dtdx2=−2x2+2x3dtdx3=−x1+x2+3x3解：令 x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) T x=(x_1,x_2,x_3)^ \mathrm T x=(x1,x2,x3)T ，则原方程组化为
d x d t = A x \frac{\mathrm d x}{\mathrm dt}=Ax dtdx=Ax令 x = T y x=Ty x=Ty，则
d y d t = T − 1 d x d t = T − 1 A x = T − 1 A T y = J y \frac{\mathrm d y}{\mathrm dt}= T^{-1}\frac{\mathrm d x}{\mathrm dt}=T^{-1}Ax=T^{-1}ATy=Jy dtdy=T−1dtdx=T−1Ax=T−1ATy=Jy
A = [ 3 1 − 1 − 2 0 2 − 1 − 1 3 ] , J = [ 2 0 0 0 2 1 0 0 2 ] A= \begin{bmatrix} 3 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 2 \\ -1 & -1 & 3 \end{bmatrix} \,\,,\,\, J= \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} A= 3−2−110−1−123 ,J= 200020012
∴ J y = [ 2 y 1 2 y 2 + y 3 2 y 3 ] → y 1 ′ = 2 y 1 , y 2 ′ = 2 y 2 + y 3 , y 3 ′ = 2 y 3 \therefore Jy= \begin{bmatrix} 2y_1\\ 2y_2+y_3\\ 2y_3 \end{bmatrix}\to y_1'=2y_1 \,\,,\,\, y_2'=2y_2+y_3 \,\,,\,\, y_3'=2y_3 ∴Jy= 2y12y2+y32y3 →y1′=2y1,y2′=2y2+y3,y3′=2y3
y y y 第一第三个分量的一般解为
y 1 ( t ) = c 1 e 2 t , y 3 ( t ) = c 3 e 2 t y_1(t)=c_1e^{2t} \,\,,\,\, y_3(t)=c_3e^{2t} y1(t)=c1e2t,y3(t)=c3e2t代入第二个分量求解得
y 2 ( t ) = ( c 2 + c 3 t ) e 2 t y_2(t)=(c_2+c_3t)e^{2t} y2(t)=(c2+c3t)e2t
x = T y = [ − e 2 t ( c 1 + c 2 + c 3 + c 3 t ) e 2 t ( c 1 + 2 c 2 + 2 c 3 t ) e 2 t ( c 2 + c 3 t ) ] , ∀ c 1 , c 2 , c 3 ∈ C x=Ty= \begin{bmatrix} -e^{2t}(c_1+c_2+c_3+c_3t)\\ e^{2t}(c_1+2c_2+2c_3t)\\ e^{2t}(c_2+c_3t) \end{bmatrix} \,\,,\,\, \forall c_1,c_2,c_3\in \mathbb C x=Ty= −e2t(c1+c2+c3+c3t)e2t(c1+2c2+2c3t)e2t(c2+c3t) ,∀c1,c2,c3∈C
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Jordan块、Jordan标准型及矩阵的Jordan分解
矩阵论 武汉理工大学 （亲测最好的矩阵论视频）