数学建模——粒子群算法

1.概念

粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）是一种受鸟群、鱼群等群体智能行为启发的全局优化算法，由Kennedy和Eberhart于1995年提出。它通过模拟群体中个体之间的协作与竞争，实现对复杂优化问题的求解。

1. 核心思想

群体智能 ：每个粒子代表一个潜在解，在搜索空间中飞行，通过跟踪个体历史最优（pbest ）和群体历史最优（gbest）动态调整速度和位置。
迭代更新：粒子根据速度更新公式调整位置，逐步逼近最优解。

eg:有一群鸟要去找食物，

只要有一只鸟找到了食物就会给其他鸟发送信号，这个叫做群体最优 （gbest）

但是每一只鸟当然都记得自己曾经找到过的食物，还是有点留念，不舍得直接去其他地方找新的食物，这个叫做个体历史最优 （pbest）

鸟飞行还具有惯性，会保留一部分一开始飞行的方向（w）

这三者缺一不可，缺了就容易陷入局部最优

假如没有群体最优，鸟就容易过于迷恋以前找到的食物，而不会去探索其他食物更多的地方

假如没有个体最优，鸟就容易从众，有可能其他鸟找到的还没自己的好，直接放弃自己的食物会亏

惯性用于控制全局平衡，大值全局搜索，小值局部搜索

这样就可以使得鸟最后都飞到食物最多的地方（找到最优解）

2. 数学模型

确定下一步的位置主要由（w，pbest，gbest三个参数确定）

比如

然后合成向量

速度和位置更新公式

速度更新：
位置更新：

其中：
- w：惯性权重（控制全局/局部搜索平衡）。
- c1,c2：学习因子（认知和社会加速系数，通常取2）。
- r1,r2：随机数（ $0,1$ 内均匀分布）。

3. 算法流程

初始化：随机生成粒子群的位置和速度。
评估适应度：计算每个粒子的目标函数值。
更新最优：
- 若当前粒子优于pbest ，则更新pbest。
- 若所有粒子中的最优优于gbest ，则更新gbest。
迭代更新：根据公式调整速度和位置，重复步骤2-3直至满足终止条件（如最大迭代次数或收敛精度）。

2.代码

1.初始化

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%% 1. 问题定义
objFun   = @Rastrigin;   % 目标函数句柄
D        = 1;           % 问题维度
lb       = 0*ones(1,D);   % 变量下界
ub       =  50*ones(1,D);   % 变量上界

%% 2. PSO 参数
SwarmSize   = 40;        % 粒子数
MaxIter     = 200;       % 最大迭代次数
w           = 0.7298;    % 惯性权重（SPSO 推荐常数）
c1          = 1.49618;   % 认知系数
c2          = 1.49618;   % 社会系数
vMax        = 0.2*(ub-lb); % 最大速度（20% 搜索区间宽度）

其中D（维度），lb，ub，objfun是自定义的，后面的权重就用推荐的就行

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%% 3. 初始化
rng default               % 结果可复现
X  = lb + (ub-lb).*rand(SwarmSize,D);  % 位置
V  = -vMax + 2*vMax.*rand(SwarmSize,D);% 速度
pBest = X;                               % 个体历史最优
pBestFit = arrayfun(@(i) objFun(X(i,:)), 1:SwarmSize);
[gBestFit,idx] = min(pBestFit);
gBest = pBest(idx,:);

初始化，个体当前值记作个体历史最优

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pBestFit = arrayfun(@(i) objFun(X(i,:)), 1:SwarmSize);

这一句比较麻烦，这里arrayfun一般是两个参数

其中第一个参数是函数部分，这里用的是匿名函数（lambda表达式）

匿名函数由两个部分组成，第一部分是参数：@（参数），空格隔开第二部分是函数：函数名（参数输入）因为不确定是多少维度，因此每一个参数可能由很多个维度，所以是X（i，：）

第二个部分是参数，就是把后面的参数一个一个带入函数，arrayfun再把函数的计算结果排成一个行向量，赋值给pbestfit

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[gBestFit,idx] = min(pBestFit);
gBest = pBest(idx,:);

这里返回所有粒子里面的最小值，作为群体最优gbestfit，gbest是其位置

2.绘图函数

然后就是图像，这里我做了两个图像，

第一个图像是所有粒子的运动轨迹

第二个图像是最小值的变化过程，运行结果如图所示

最后可以找到最小值

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% 绘制目标函数
x = linspace(0, 50, 1000);
y = arrayfun(objFun, x);
figure;

% 第一幅图：粒子的运动过程
subplot(1, 2, 1); % 1行2列的第1个位置
plot(x, y, 'k', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
xlabel('x');
ylabel('f(x)');
title('PSO Optimization Process');
legend('Objective Function', 'Particles');
dot = plot(X, arrayfun(objFun, X), 'bo');

% 第二幅图：当前最优解
subplot(1, 2, 2); % 1行2列的第2个位置
plot(0, gBestFit, 'r-'); % 初始最优解
xlabel('iter');
ylabel('f(x)');
title('Current Best Solution');
legend('Current Best');

legend是图例的意思

3.主函数

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%% 4. 迭代优化
trace = zeros(MaxIter,1);  % 记录全局最优适应度
for iter = 1:MaxIter
    trace(iter) = gBestFit;
    
    for i = 1:SwarmSize
        % 速度更新
        V(i,:) = w*V(i,:) ...
               + c1*rand(1,D).*(pBest(i,:) - X(i,:)) ...
               + c2*rand(1,D).*(gBest   - X(i,:));
        % 速度边界处理（截断）
        V(i,:) = max(V(i,:),-vMax);  V(i,:) = min(V(i,:),vMax);
        
        % 位置更新
        X(i,:) = X(i,:) + V(i,:);
        % 位置边界处理（反射/截断，这里用反射）
        for d = 1:D
            if X(i,d) < lb(d)
                X(i,d) = lb(d);
                V(i,d) = -V(i,d)*0.5;
            elseif X(i,d) > ub(d)
                X(i,d) = ub(d);
                V(i,d) = -V(i,d)*0.5;
            end
        end
        
        % 评估 & 更新个体最优
        fit = objFun(X(i,:));
        if fit < pBestFit(i)
            pBest(i,:) = X(i,:);
            pBestFit(i) = fit;
            % 更新全局最优
            if fit < gBestFit
                gBest = X(i,:);
                gBestFit = fit;
            end
        end
    end
    % 更新第一幅图：粒子的位置
    set(dot, 'XData', X, 'YData', arrayfun(objFun, X));
    
    % 更新第二幅图：当前最优解
    subplot(1, 2, 2);
    hold on; 
%   plot(iter, gBestFit, 'r.'); % 更新最优解
    plot(1:iter, trace(1:iter), 'r-');

    xlabel('iter');
    ylabel('f(x)');
    title('Current Best Solution');
    legend('Current Best');
    pause(0.1);
end

4.输出结果

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%% 5. 结果
fprintf('\n最优解：\n'); disp(gBest);
fprintf('最优适应度：%.6g\n', gBestFit);

% figure;
% semilogy(trace,'LineWidth',1.5);
% xlabel('Iteration'); ylabel('Best f(x)');
% title('PSO Convergence Curve');

%% 6. 目标函数定义
function y = Rastrigin(x)
%     A = 10;
    y = x .* sin(x) .* cos(2*x) - 2*x .* sin(3*x) + 3*x .* sin(4*x);
end

函数定义在最下面