2025 年华数杯全国大学生数学建模竞赛C 题可调控生物节律的 LED 光源研究--完整成品、思路、模型、代码、结果分享

发光二极管(Light Emitting Diode,LED)作为一种高效、节能、环保的新型光源，近年来在多个领域得到了广泛应用。在照明领域，白光LED的效率已远超传统的白炽灯和荧光灯，成为目前最主要的照明光源，能够通过调节色温和光谱特性，适应不同的照明需求。

科学研究表明，光照不仅为我们提供视觉照明，还会通过视网膜深远地影响人体的生理节律系统。例如，特定波长的光照会影响褪黑激素的分泌，进而调节我们的睡眠质量、认知功能与情绪状态。适当的光照调节可以提高工作效率，而失当的光照则可能干扰正常的昼夜节律。因此，如何在满足照明需求的同时，优化LED光源的光谱特性以实现有益的生理节律调节效应，成为一个亟待解决的重要问题。

请建立数学模型，解决以下问题:

问题1:光源的光谱功率分布(Spectral Power Distribution,SPD)是描述其物理特性的最基础数据，记录了光源在各个波长上的能量分布，如同光源的"指纹"。所有用于评估光源性能的关键参数，本质上都是基于SPD通过一系列标准化的数学模型和算法计算得出的。

为了综合评估 LED 光源在颜色质量与健康节律效应方面的性能，行业内定义了关键参数。请基于给定的 SPD数据，建立计算模型，求解以下三类共五个核心参数，计算方法均在参考文献中给出:

颜色特性参数

相关色温(CCT)! 和距离普朗克轨迹的距离 (Duv) :这两个参数共同描述了光源的"颜色外观"(偏黄、偏白还是偏蓝)。它们的计算需要将 SPD 数据首先转换到标准的 CIEXYZ色彩空间，然后通过算法寻找其在普朗克轨迹(黑体辐射轨迹)上最近的点来确定。

颜色还原参数

保真度指数(R0)日和色域指数(Rg)1:这些参数评估的是光源与标准光源相比，还原物体真实色彩的能力。其计算模型较为复杂，通常需要模拟待测光源和标准光源分别照射在一系列标准化的"测试色样"上，再通过复杂的色差公式比较两者在色样上引起的颜色差异。

生理节律效应参数

褪黑素日光照度比(mel-DER)I:用于量化光照对人体生理节律(抑制褪黑素分泌)的影响强度。

现给定一组 LED 光源的 SPD数据(详见附录数据文件"Probleml")，每组数据为波长(nm)与对应的光谱功率(Whnm)。请研究上述五个参数的标准化计算方法和数学模型。计算出 SPD数据对应的五个特征参数值。

问题一：

光谱功率分布到三刺激值的计算

显色指数 Ra 的计算模型

色域指数 Rg 的计算模型

褪黑素日光照度比 (mel-DER) 模型

求解结果与分析

基于问题一所构建的模型和计算流程，我们对所给 LED 光源的 SPD 数据进行了定量分析，得到了五个核心特征参数。下表汇总了各参数数值：

问题二: 多通道光源是指通过多个独立的发光通道(LED芯片)组合，从而灵活地合成多种光谱功率分布(SPD)。通过精确调节各通道的驱动权重，可以对合成光谱的形状、色温(CCT)、显色性(Rg/Rr)及生理节律效应(mel-DER)等关键特性进行动态控制。多通道光源的总光谱是各个通道光谱的加权线性叠加[6,7]。

本问题提供了五个独立LED通道的 SPD数据(详见附录数据文件"Problem2 LED SPD")，作为设计光源的"积木"。它们分别是:三个单色光通道深红光、绿光、蓝光，两个自光转换型通道暖自光(Warm White,ww)，其色温较低(约 3000K)，能营造舒适、放松的氛围。以及冷白光(CoolwhiteCW)，其色温较高(约6500K)，光谱中短波(蓝光)成分更多，类似于日间自然光。
每个通道的 SPD 数据格式均为波长(nm)与对应的相对光谱功率。现需要利用这五个通道，通过寻找最佳的权重组合来合成满足特定需求的光谱。
场景一:日间照明模式
在模拟正午日光(CCT-6500K)的条件下，使得合成光谱的保真度指数(RÍ)尽可能高(接近100)。合成光谱的CCT在正午日光范围，6000+500K以内。色域指数 Rg在 95~105之间，Rf>88时可以保证颜色自然。计算并报告此模式下的视黑素日光效率比(mel-DER)。
场景二:夜间助眠模式