【数据结构和算法】字符串的最大公因子

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前言

一、题目描述

二、题解

[2.1 方法一：辗转处理](#2.1 方法一：辗转处理)

[2.2 方法二：gcd 算法](#2.2 方法二：gcd 算法)

三、代码

[3.1 方法一：辗转处理](#3.1 方法一：辗转处理)

[3.2 方法二：gcd 算法](#3.2 方法二：gcd 算法)

四、复杂度分析

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前言

这是力扣的1071题，难度为简单，解题方案有很多种，本文讲解我认为最奇妙的两种。

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一、题目描述

对于字符串 s 和 t，只有在 s = t + ... + t（t 自身连接 1 次或多次）时，我们才认定 "t 能除尽 s"。

给定两个字符串 str1 和 str2 。返回 最长字符串 x，要求满足 x 能除尽 str1 且 x 能除尽 str2 。

示例 1：

输入：str1 = "ABCABC", str2 = "ABC"
输出："ABC"

示例 2：

输入：str1 = "ABABAB", str2 = "ABAB"
输出："AB"

示例 3：

输入：str1 = "LEET", str2 = "CODE"
输出：""

提示：

• 1 <= str1.length, str2.length <= 1000
• str1 和 str2 由大写英文字母组成

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二、题解

2.1 方法一：辗转处理

思路与算法：

我们可以把str1看作n个T，str2看作m个T。

str1+str2=(m+n)T=(n+m)T=str2+str1

然后我们保证str1的长度大于str2，str1每次减掉个str2，最后保证str2为" "就可以了。

如果最后或者过程中，str1不等于str2，则没有最大公因子

第一种情况例如：

1. ABCABC ABC 减一次

2. ABC ABC 减第二次

3. " " ABC 保证str1的长度大于str2

4. ABC " " ------->ABC
   第二种情况例如：

5. ABABAB ABAB 减一次

6. AB ABAB 保证str1的长度大于str2

7. ABAB AB 减第二次

8. AB AB 减第三次

9. " " AB 保证str1的长度大于str2

10. AB " " ------->ABC

2.2 方法二：gcd 算法

gcd 算法：const gcd = (a, b) => (0 === b ? a : gcd(b, a % b))

如果它们有公因子 abc，那么 str1 就是 m 个 abc 的重复，str2 是 n 个 abc 的重复，连起来就是 m+n个 abc，好像 m+n 个 abc 跟 n+m 个 abc 是一样的。

所以如果 str1 + str2 === str2 + str1 就意味着有解。

我们也很容易想到 str1 + str2 !== str2 + str1 也是无解的充要条件。

当确定有解的情况下，最优解是长度为 gcd(str1.length, str2.length) 的字符串。

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三、代码

3.1 方法一：辗转处理

Java版本：

class Solution {
    public static void main(String[] args) {
        String str1 = "ABCDEF", str2 = "DEF";
        System.out.println(gcdOfStrings(str1, str2));
    }

    public static String gcdOfStrings(String str1, String str2) {
        if (str1.length() < str2.length()) return gcdOfStrings(str2, str1);//保证str1的长度大于str2
        if (str2.isEmpty()) return str1;//str1被删空后换位，则换位后的str1是最大公因子
        if (!str1.startsWith(str2)) return "";
        return gcdOfStrings(str1.substring(str2.length()), str2);
    }
}

C++版本：

class Solution {
public:
    static string gcdOfStrings(string str1, string str2) {
        if (str1.length() < str2.length()) return gcdOfStrings(str2, str1);//保证str1的长度大于str2
        if (str2.empty()) return str1;//str1被删空后换位，则换位后的str1是最大公因子
        if (str1.find(str2) != 0) return "";
        return gcdOfStrings(str1.substr(str2.length()), str2);
    }
};

3.2 方法二：gcd 算法

Java版本：

class Solution {
    public String gcdOfStrings(String str1, String str2) {
        if (!(str1 + str2).equals(str2 + str1)) return "";
        int len1 = str1.length();
        int len2 = str2.length();
        while (len1 != len2) {
            if (len1 > len2) {
                len1 -= len2;
            } else {
                len2 -= len1;
            }
        }
        return str1.substring(0, len1);
    }
}

C++：

class Solution {
public:
  std::string gcdOfStrings(std::string str1, std::string str2) {
    if (str1 + str2 != str2 + str1) return "";
    int len1 = str1.length();
    int len2 = str2.length();
    while (len1 != len2) {
      if (len1 > len2) {
          len1 -= len2;
      } else {
          len2 -= len1;
      }
    }
    return str1.substr(0, len1);
  }
};

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四、复杂度分析

**时间复杂度：**O(n) ，字符串拼接比较是否相等需要 O(n) 的时间复杂度，求两个字符串长度的最大公约数需要 O(log⁡n) 的时间复杂度，所以总时间复杂度为 O(n+log⁡n)=O(n) 。

**空间复杂度：**O(n) ，程序运行时建立了中间变量用来存储 str1 与 str2 的相加结果。

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