农业银行算法题，为什么用初中知识出题，这么多人不会？

背景介绍

总所周知，有相当一部分的大学生是不会初高中知识的。

因此，每当那种「初等数学为背景编写的算法题」在笔面出现，舆论往往分成"三大派":

甚至那位说"致敬高考"的同学也搞岔了，高考哪有这么简单，美得你 🤣

这仅仅是初中数学「几何学」中较为简单的知识点。

抓住大学生对初高中知识这种「会者不难，难者不会」的现状，互联网大厂似乎更喜欢此类「考察初等数学」的算法题。

因为十个候选人，九个题海战术，HOT 100 和剑指 Offer 大家都刷得飞起了。

冷不丁的考察这种题目，反而更能起到"筛选"效果。

但此类算法题，农业银行 并非首创，甚至是同一道题，也被 华为云 、美的和百度先后出过。

下面，一起来看看这道题。

题目描述

平台：LeetCode

题号：149

给你一个数组 points，其中 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> p o i n t s [ i ] = [ x i , y i ] points[i] = [x_i, y_i] </math>points[i]=[xi,yi] 表示 X-Y 平面上的一个点。求最多有多少个点在同一条直线上。

示例 1：

lua 复制代码

输入：points = [[1,1],[2,2],[3,3]]

输出：3

示例 2：

css 复制代码

输入：points = [[1,1],[3,2],[5,3],[4,1],[2,3],[1,4]]

输出：4

提示：

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 1 < = p o i n t s . l e n g t h < = 300 1 <= points.length <= 300 </math>1<=points.length<=300
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> p o i n t s [ i ] . l e n g t h = 2 points[i].length = 2 </math>points[i].length=2
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> − 1 0 4 < = x i , y i < = 1 0 4 -10^4 <= x_i, y_i <= 10^4 </math>−104<=xi,yi<=104
points 中的所有点互不相同

枚举直线 + 枚举统计

我们知道，两点可以确定一条线。

一个朴素的做法是先枚举两点（确定一条线），然后检查其余点是否落在该线中。

为避免除法精度问题，当我们枚举两个点 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x x </math>x 和 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> y y </math>y 时，不直接计算其对应直线的 斜率和 截距。

而是通过判断 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x x </math>x 和 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> y y </math>y 与第三个点 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> p p </math>p 形成的两条直线斜率是否相等，来得知点 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> p p </math>p 是否落在该直线上。

斜率相等的两条直线要么平行，要么重合。

平行需要 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 4 4 </math>4 个点来唯一确定，我们只有 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 3 3 </math>3 个点，因此直接判定两条直线是否重合即可。

详细说，当给定两个点 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ( x 1 , y 1 ) (x_1, y_1) </math>(x1,y1) 和 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ( x 2 , y 2 ) (x_2, y_2) </math>(x2,y2) 时，对应斜率 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> y 2 − y 1 x 2 − x 1 \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math>x2−x1y2−y1。

为避免计算机除法的精度问题，我们将「判定 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> a y − b y a x − b x = b y − c y b x − c x \frac{a_y - b_y}{a_x - b_x} = \frac{b_y - c_y}{b_x - c_x} </math>ax−bxay−by=bx−cxby−cy 是否成立」改为「判定 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ( a y − b y ) × ( b x − c x ) = ( a x − b x ) × ( b y − c y ) (a_y - b_y) \times (b_x - c_x) = (a_x - b_x) \times (b_y - c_y) </math>(ay−by)×(bx−cx)=(ax−bx)×(by−cy) 是否成立」。

将存在精度问题的「除法判定」巧妙转为「乘法判定」。

Java 代码：

Java 复制代码

class Solution {
    public int maxPoints(int[][] points) {
        int n = points.length, ans = 1;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int[] x = points[i];
            for (int j = i + 1; j < n; j++) {
                int[] y = points[j];
                // 枚举点对 (i,j) 并统计有多少点在该线上, 起始 cnt = 2 代表只有 i 和 j 两个点在此线上
                int cnt = 2;
                for (int k = j + 1; k < n; k++) {
                    int[] p = points[k];
                    int s1 = (y[1] - x[1]) * (p[0] - y[0]);
                    int s2 = (p[1] - y[1]) * (y[0] - x[0]);
                    if (s1 == s2) cnt++;
                }
                ans = Math.max(ans, cnt);
            }
        }
        return ans;
    }
}

C++ 代码：

C++ 复制代码

class Solution {
public:
    int maxPoints(vector<vector<int>>& points) {
        int n = points.size(), ans = 1;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            vector<int> x = points[i];
            for (int j = i + 1; j < n; j++) {
                vector<int> y = points[j];
                // 枚举点对 (i,j) 并统计有多少点在该线上, 起始 cnt = 2 代表只有 i 和 j 两个点在此线上
                int cnt = 2;
                for (int k = j + 1; k < n; k++) {
                    vector<int> p = points[k];
                    int s1 = (y[1] - x[1]) * (p[0] - y[0]);
                    int s2 = (p[1] - y[1]) * (y[0] - x[0]);
                    if (s1 == s2) cnt++;
                }
                ans = max(ans, cnt);
            }
        }
        return ans;
    }
};

Python 代码：

Python 复制代码

class Solution:
    def maxPoints(self, points: List[List[int]]) -> int:
        n, ans = len(points), 1
        for i, x in enumerate(points):
            for j in range(i + 1, n):
                y = points[j]
                # 枚举点对 (i,j) 并统计有多少点在该线上, 起始 cnt = 2 代表只有 i 和 j 两个点在此线上
                cnt = 2
                for k in range(j + 1, n):
                    p = points[k]
                    s1 = (y[1] - x[1]) * (p[0] - y[0])
                    s2 = (p[1] - y[1]) * (y[0] - x[0])
                    if s1 == s2: cnt += 1
                ans = max(ans, cnt)
        return ans

TypeScript 代码：

TypeScript 复制代码

function maxPoints(points: number[][]): number {
    let n = points.length, ans = 1;
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        let x = points[i];
        for (let j = i + 1; j < n; j++) {
            // 枚举点对 (i,j) 并统计有多少点在该线上, 起始 cnt = 2 代表只有 i 和 j 两个点在此线上
            let y = points[j], cnt = 2;
            for (let k = j + 1; k < n; k++) {
                let p = points[k];
                let s1 = (y[1] - x[1]) * (p[0] - y[0]);
                let s2 = (p[1] - y[1]) * (y[0] - x[0]);
                if (s1 == s2) cnt++;
            }
            ans = Math.max(ans, cnt);
        }
    }
    return ans;
};

时间复杂度： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( n 3 ) O(n^3) </math>O(n3)
空间复杂度： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( 1 ) O(1) </math>O(1)

枚举直线 + 哈希表统计

根据「朴素解法」的思路，枚举所有直线的过程不可避免，但统计点数的过程可以优化。

具体的，我们可以先枚举所有可能出现的 直线斜率（根据两点确定一条直线，即枚举所有的「点对」），使用「哈希表」统计所有 斜率 对应的点的数量，在所有值中取个 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> m a x max </math>max 即是答案。

一些细节：在使用「哈希表」进行保存时，为了避免精度问题，我们直接使用字符串进行保存，同时需要将 斜率 约干净（套用 gcd 求最大公约数模板）。