【算法刷题】Day16

文章目录

[1. 不同路径](#1. 不同路径)
[2. 二分查找](#2. 二分查找)
- 题干：
- 算法原理：
- - [1、暴力解法 O(n)](#1、暴力解法 O(n))
  - 2、二分查找算法
- 朴素二分模版：
- 代码：

1. 不同路径

原题链接

题干：

机器人只能向下和向右走，不能回退（向上或者向左）

算法原理：

状态表示
经验 + 题目要求
以 $i,j$ 为结尾时...
dp $i$ $j$ 表示：走到 $i, j$ 位置处，⼀共有多少种方式
状态转移方程
最近的一步划分问题

因为只能从上面或者左边走到这个位置
所以
从 $i, j$ 位置的上方（ $i - 1, j$ 的位置）向下走一步，转移到 $i, j$ 位置
从 $i, j$ 位置的左方（ $i, j - 1$ 的位置）向右走⼀步，转移到 $i, j$ 位置

不过，这里走的是一步，而不是一次
所以并不是上一步+1，而是直接加上下一步可能得次数
dp $i$ $j$ = dp $i - 1$ $j$ + dp $i$ $j - 1$
初始化
这里我们依然要使用虚拟节点来写
不过，这里我们要做到以下两点：
（1）虚拟节点里面的值，要保证后面填表的结果正确
（2）下标的映射
这里最重要的就是第一点

在这里，因为求的第一行的值都是 1
这里就需要第一行第一列上面的虚拟节点为 1
填表顺序
从上往下填写每一行
每一行从左往右填写
返回值
dp $m$ $n$

代码：

java 复制代码

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        //1.创建dp 表
        //2.初始化
        //3.填表
        //4.返回值

        int[][] dp = new int [m + 1][n + 1];
        dp[0][1] = 1;
        for(int i = 1; i <= m; i ++) {//从上往下每一行
            for(int j = 1; j <= n; j++) {//从左往右填写每一行
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        return dp[m][n]; 
    }
}

2. 二分查找

原题链接

题干：

n 个元素有序的数组，找到 target，返回下标

算法原理：

1、暴力解法 O(n)

从头开始遍历，遇到 target 返回

2、二分查找算法

使用"二分查找"，在遇到"二段性 "的时候可用

在一个数组中，拿到目标值在数组中查找，发现可以划分为两端的区域

并且可以选择性的舍去一段，在另一段进行查找

这个时候就可以使用

（二分查找并不一定在有序数组，满足"二段性"就可用）

定义 left ，right 指针，分别指向数组的左右区间
找到待查找区间的中间点 mid ，找到之后分三种情况讨论：
（1）arr $mid$ == target 说明正好找到，返回 mid 的值
（2）arr $mid$ > target 说明 $mid, right$ 这段区间都是⼤于 target 的，因此舍去右边区间，在左边 $left, mid -1$ 的区间继续查找，即让 right = mid -1 ，然后重复 2 过程
（3）arr $mid$ < target 说明 $left, mid$ 这段区间的值都是⼩于 target 的，因此舍去左边区间，在右边 $mid + 1, right$ 区间继续查找，即让 left = mid +1 ，然后重复 2 过程
当 left 与 right 开时，说明整个区间都没有这个数，返回 -1

看图也可

细节问题：

循环结束的条件
left > right
为什么是正确的
虽然比较的次数少，但是与暴力解法相似，因此结果是正确的
时间复杂度
long(n)

朴素二分模版：

java 复制代码

        while(left <= right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;//防止溢出
            if(......) {
                left = mid + 1;
            }else if(......) {
                right = mid - 1;
            }else{
                return ......;
            }
        }

代码：

java 复制代码

class Solution {
    public int search(int[] nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.length - 1;
        while(left <= right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;//为了防止溢出问题
            if(nums[mid] < target) {
                left = mid + 1;
            }else if(nums[mid] > target) {
                right = mid - 1;
            }else{
                return mid;
            }
        }
        return -1;
    }
}