线性代数（一）

可以养肥2023-12-21 14:17

1.标量：标量由只有⼀个元素的张量表⽰。

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x = np.array(3.0)
y = np.array(2.0)
x + y, x * y, x / y, x ** y
(array(5.), array(6.), array(1.5), array(9.))

2.向量：向量可以被视为标量值组成的列表，列向量是向量的默认⽅向。

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x = np.arange(4)
array([0., 1., 2., 3.])

在数学中，向量x可以写为：

其中x1, . . . , xn是向量的元素。在代码中，我们通过张量的索引来访问任⼀元素。

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x[3]
array(3.)

3. 矩阵：矩阵将向量从⼀阶推⼴到⼆阶。

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A = np.arange(20).reshape(5, 4)
array([[ 0., 1., 2., 3.],
       [ 4., 5., 6., 7.],
       [ 8., 9., 10., 11.],
       [12., 13., 14., 15.],
       [16., 17., 18., 19.]])

对于任意A ∈ R m×n，A的形状是（m,n）或m × n。

当我们交换矩阵的⾏和列时，结果称为矩阵的转置（transpose）。

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A.T
array([[ 0., 4., 8., 12., 16.],
       [ 1., 5., 9., 13., 17.],
       [ 2., 6., 10., 14., 18.],
       [ 3., 7., 11., 15., 19.]])

4.张量：有几个中括号就是几维张量。

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X = np.arange(24).reshape(2, 3, 4)
array([[[ 0., 1., 2., 3.],
        [ 4., 5., 6., 7.],
        [ 8., 9., 10., 11.]],
      [[12., 13., 14., 15.],
       [16., 17., 18., 19.],
       [20., 21., 22., 23.]]])

5.范数：在线性代数中，向量范数是将向量映射到标量的函数f。

范数的的公式：

L1范数，它表⽰为向量元素的绝对值之和（此时P等于1）：

L2范数，它表示为向量元素的平⽅和的平⽅根（此时P等于2）：

类似于向量的L2范数，矩阵X ∈ R m×n的Frobenius范数（Frobenius norm）是矩阵元素平⽅和的平⽅根：