LA@线性代数学习总结@主要对象和问题@思想方法

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线性代数研究对象

线性代数的研究对象主要是行列式和矩阵(向量)
矩阵这种对象可以做的操作和运算很多,特别是方阵,它们的计算量天然就有较大的特点,
例如:伴随矩阵的计算,矩阵乘法,计算逆矩阵等,其中又以矩阵乘法运算最为重要,几乎贯穿整个学科的始终,是许多其他概念和计算的基础

主要问题

为了解决几个重要问题,提出了许多概念,例如秩 ,初等变换和基于这些概念的方法

矩阵方程 和线性方程组的解
向量组的线性相关性
特征值和特征向量问题
- 矩阵(方阵)相似对角化问题
- 二次型问题

联系

向量组线性相关问题和特征值和特征向量问题,本质上可以转化为线性方程组的解的问题
- 例如向量组 A A A线性相关用线性方程组描述为 A x = 0 \bold{Ax=0} Ax=0(1)存在非零解,这又等价于 R ( A ) < n R(A)<n R(A)<n问题(其中 n n n为 x \bold{x} x的维数,或向量组 A A A包含的向量个数)
- 向量组 B B B能够由 A A A线性表出,则 A X = B \bold{AX=B} AX=B(2)有解
- 矩阵 A \bold{A} A关于特征值 λ \lambda λ的特征向量 A α = λ α \bold{A\alpha=\lambda\alpha} Aα=λα(3)求解,可以转换为线性方程组 ( λ E − A ) α = 0 (\lambda\bold{E}-A)\alpha=\bold{0} (λE−A)α=0(3-1)或 ( A − λ E ) α = 0 (\bold{A}-\lambda\bold{E})\alpha=0 (A−λE)α=0(3-2)有求非零解问题(方程(3,3-1,3-2)是等价方程)
  - 其中行列式 ∣ λ E − A ∣ |\lambda\bold{E}-\bold{A}| ∣λE−A∣(4)是方阵 A \bold{A} A的特征多项式,根据Cramer法则,方程(3-1)具有非零解的条件是(4)取 0 0 0
  - 由此可以求出所有特征值
  - 再分别求出矩阵 A \bold{A} A的属于每个特征值的特征向量,也就是求线性方程组 λ E − A = 0 \lambda{\bold{E}}-\bold{A}=\bold{0} λE−A=0的解
- 特征值和特征向量为矩阵相似对角化可行性的判定作铺垫,矩阵 A A A的 k i k_i ki重特征值 λ i \lambda_{i} λi具有 k i k_i ki个线性无关特征向量时,矩阵 A A A可以对角化
- 二次型 f ( x 1 , ⋯ , x n ) f(x_1,\cdots,x_{n}) f(x1,⋯,xn)= x T A x \bold{x^{T}Ax} xTAx的问题,本质上二次型的对称阵 A \bold{A} A问题
  - 二次型标准化问题对应于 A \bold{A} A的相似对角化问题
    - 对称阵 A \bold{A} A一定可以相似对角化,而且是正交相似对角化,
    - 一定存在正交阵 Q \bold{Q} Q( Q T = Q − 1 \bold{Q^{T}=Q^{-1}} QT=Q−1)使得 Q T A Q \bold{Q^{T}AQ} QTAQ= Q − 1 A Q \bold{Q^{-1}AQ} Q−1AQ= Λ \Lambda Λ
    - 或者说 A \bold{A} A相似且合同于某个对角阵 Λ \Lambda Λ= d i a g ( λ 1 , ⋯ , λ n ) \mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n) diag(λ1,⋯,λn),其中 λ 1 , ⋯ , λ n \lambda_1,\cdots,\lambda_{n} λ1,⋯,λn是 A \bold{A} A的特征值)
  - 二次型规范化问题:任何二次型都可以规范化
  - 二次型(对应矩阵)正定问题

核心概念

基本概念:
- 行列式
- 矩阵
- 线性方程组
抽象概念
- 矩阵的秩
- 向量组的秩

核心定理

线性方程组有解判定定理及其推广
- A x = b \bold{Ax=b} Ax=b
- A X = B \bold{AX=B} AX=B
- 判定条件: R ( A ) = R ( A , B ) R(\bold{A})=R(\bold{A,B}) R(A)=R(A,B)
向量组线性相关性判定定理
- 本质上是线性方程组的应用,将向量组线性相关性问题通过建立对应的线性方程组,转化为分析方程组解的情况问题
- 向量组线性相关有许多结论,这些结论很多都可以用本定理推导证明
秩的相关定理
- 由于线性方程组判定定理涉及到秩,因此关于秩相关定理和常用
- 例如
  - 矩阵作初等行变换不改变秩
  - R ( A ) ⩽ R ( A , B ) R(\bold{A})\leqslant{R(\bold{A,B})} R(A)⩽R(A,B)(或部分组的秩不超过整体组的秩)

核心操作和运算

基础

转置运算
内积运算
矩阵乘法运算
初等变换运算
向量单位化运算

高级

方阵行列式运算
矩阵(向量组)秩
求逆运算
对角化

小结

矩阵乘法和初等变换是最核心的矩阵操作

性质和推导方法

问题转换为线性方程组求解问题

大多数问题都可以和线性方程组的求解问题挂钩 ,通过构造线性方程组来研究线性代数的大多数问题
- 而线性方程组的解由依赖矩阵乘法 和矩阵的秩
  - 矩阵乘法负责问题表达和转换
  - 而系数矩阵和增广矩阵的秩的判定直接决定了线性方程组解的情况
- 而矩阵的秩又依赖于初等变换
- 可见初等变换和矩阵乘法的重要性

验证和推导性质定理

线性代数中有很多利用运用构造法,化归法,反证法的例子
- 例如证明 R ( A + B ) ⩽ R ( A ) + R ( B ) R(A+B)\leqslant{R(A)+R(B)} R(A+B)⩽R(A)+R(B)的过程中,我们可以构造 ( A + B B ) \begin{pmatrix}A+B\\B\end{pmatrix} (A+BB),再利用更加基础的结论证明它:
  - ( A + B B ) \begin{pmatrix}A+B\\B\end{pmatrix} (A+BB), ( A B ) \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix} (AB)有相同的秩
  - R ( A ) , R ( B ) R(A),R(B) R(A),R(B) ⩽ \leqslant ⩽ R ( A B ) R\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix} R(AB) ⩽ \leqslant ⩽ R ( A ) + R ( B ) R(A)+R(B) R(A)+R(B)
  - 换元代入完成证明
- 构造齐次线性方程组 A x = 0 \bold{Ax=0} Ax=0,通过研究其解的情况来研究向量组 A A A的线性相关性
- 反证法:许多关于存在性的命题和结论可以用反证法证明,例如线性相关性命题