数值分析期末复习

第一章 科学计算

误差

解题步骤：

1. 先求绝对误差:
   ∣ x − x ∗ ∣ |x - x^*| ∣x−x∗∣
2. 求相对误差限:
   ∣ x    −    x ∗ ∣ x ∗ \frac{|x\,\,-\,\,x^*|}{x^*} x∗∣x−x∗∣
3. 求有效数字
   ∣ x − x ∗ ∣ 需要小于它自身的半个单位 |x-x^*|\text{需要小于它自身的半个单位} ∣x−x∗∣需要小于它自身的半个单位,然后算小数点后一共有多少数字

举个例子：

相减得出结果为0.0000345则小于0.0005,则有效数字为4

例题1：

第二章 线性代数直接法

高斯消去法

高斯顺序消去法

解题步骤（假设是一个三行三列的矩阵）：

1. 先用第一行消去2,3行
2. 再用第二行消去第三行

例题1：

例题2：

高斯列主元消去法

解题步骤：

1. 比较哪一行的绝对值最大，然后交换
2. 用第一行消去第2、3行
3. 再次比较哪一行绝对值最大，交换
4. 重复步骤

例题1：

例题2：

LU分解

LU分解又称为：杜利特尔 (Doolittle)分解法，直接三角分解法

解题步骤

1. 将A矩阵分解成L、U矩阵
   1. L矩阵：下三角矩阵，对角线全为1，其他元素为x
   2. U矩阵：上三角矩阵，第一行元素和A矩阵相同，其他元素为x
2. 从A中矩阵逆向推导，L、U剩下的元素逐一相乘得出结果
   1. 按照顺序一行一行的元素去算

例题1：

追赶法

追赶法又称为：克劳特分解

思路：

1. 将A矩阵分解为L、U矩阵
2. L矩阵的特点：下三角矩阵，对角线为未知数 α \alpha α，其他元素对A照抄
3. U矩阵的特点：上三角矩阵，对角线为1，对角线上面的元素为 β \beta β
4. 把 α , β \alpha,\beta α,β全部算出来
5. L y = b Ly=b Ly=b -> U x = y Ux=y Ux=y

例题：

第三章 线性代数方程组的迭代法

范数和条件数

1. 1范数（列范数）：每一列元素的绝对值之和的最大值 ∣ ∣ A ∣ ∣ 1 ||A||_1 ∣∣A∣∣1
2. 无穷范数（行范数）：每一行元素的绝对值之和的最大值
3. 2范数：
   1. 向量：向量元素平方的和的平方根
   2. 矩阵（又称为谱范数）：null
4. 无穷范数条件数：
   c o n d ∞ ( A )    =    ∣ ∣ A ∣ ∣ ∞ ∣ ∣ A − 1 ∣ ∣ ∞ cond_{\infty}\left( A \right) \,\,=\,\,||A||{\infty}||A^{-1}||{\infty} cond∞(A)=∣∣A∣∣∞∣∣A−1∣∣∞

例题1：

例题2：

求 A − 1 A^{-1} A−1的方法

1. 初等变换法
   

第九章 常微分方程初边值问题数值解

龙格-库塔公式

基本概念

一般问题会有 y ′ , h , f ( x ) = y y', h , f(x) = y y′,h,f(x)=y等参数

将其转换为

注意h的值，一般是在 0 ≤ x ≤ 1 0 \le x \le 1 0≤x≤1之间，逐渐相加之后递增到1结束计算

四阶四段龙格库塔公式如下：

解题步骤

1. 将 x 0 , y 0 , h x_0,y_0,h x0,y0,h写在旁边
2. 将将题目中给出的已知信息代入 k 1 , k 2 , k 3 , k 4 k_1,k_2,k_3,k_4 k1,k2,k3,k4
3. 更新 y n y_n yn的值
4. 重复过程

k 2 k_2 k2->f的 x n + h 2 x_n+\frac{h}{2} xn+2h表示 x x x,同理另外一个表示 y y y,将其代入到f(x,y)中进行化简