数值分析期末复习

第一章 科学计算

误差

解题步骤:

  1. 先求绝对误差:
    ∣ x − x ∗ ∣ |x - x^*| ∣x−x∗∣
  2. 求相对误差限:
    ∣ x    −    x ∗ ∣ x ∗ \frac{|x\,\,-\,\,x^*|}{x^*} x∗∣x−x∗∣
  3. 求有效数字
    ∣ x − x ∗ ∣ 需要小于它自身的半个单位 |x-x^*|\text{需要小于它自身的半个单位} ∣x−x∗∣需要小于它自身的半个单位,然后算小数点后一共有多少数字

举个例子:

相减得出结果为0.0000345则小于0.0005,则有效数字为4

例题1:

第二章 线性代数直接法

高斯消去法

高斯顺序消去法

解题步骤(假设是一个三行三列的矩阵):

  1. 先用第一行消去2,3行
  2. 再用第二行消去第三行

例题1:

例题2:

高斯列主元消去法

解题步骤:

  1. 比较哪一行的绝对值最大,然后交换
  2. 用第一行消去第2、3行
  3. 再次比较哪一行绝对值最大,交换
  4. 重复步骤

例题1:

例题2:

LU分解

LU分解又称为:杜利特尔 (Doolittle)分解法,直接三角分解法

解题步骤

  1. 将A矩阵分解成L、U矩阵
    1. L矩阵:下三角矩阵,对角线全为1,其他元素为x
    2. U矩阵:上三角矩阵,第一行元素和A矩阵相同,其他元素为x
  2. 从A中矩阵逆向推导,L、U剩下的元素逐一相乘得出结果
    1. 按照顺序一行一行的元素去算

例题1:


追赶法

追赶法又称为:克劳特分解

思路:

  1. 将A矩阵分解为L、U矩阵
  2. L矩阵的特点:下三角矩阵,对角线为未知数 α \alpha α,其他元素对A照抄
  3. U矩阵的特点:上三角矩阵,对角线为1,对角线上面的元素为 β \beta β
  4. 把 α , β \alpha,\beta α,β全部算出来
  5. L y = b Ly=b Ly=b -> U x = y Ux=y Ux=y

例题:


第三章 线性代数方程组的迭代法

范数和条件数

  1. 1范数(列范数):每一列元素的绝对值之和的最大值 ∣ ∣ A ∣ ∣ 1 ||A||_1 ∣∣A∣∣1
  2. 无穷范数(行范数):每一行元素的绝对值之和的最大值
  3. 2范数:
    1. 向量:向量元素平方的和的平方根
    2. 矩阵(又称为谱范数):null
  4. 无穷范数条件数:
    c o n d ∞ ( A )    =    ∣ ∣ A ∣ ∣ ∞ ∣ ∣ A − 1 ∣ ∣ ∞ cond_{\infty}\left( A \right) \,\,=\,\,||A||{\infty}||A^{-1}||{\infty} cond∞(A)=∣∣A∣∣∞∣∣A−1∣∣∞

例题1:

例题2:

求 A − 1 A^{-1} A−1的方法

  1. 初等变换法

第九章 常微分方程初边值问题数值解

龙格-库塔公式

基本概念

一般问题会有 y ′ , h , f ( x ) = y y', h , f(x) = y y′,h,f(x)=y等参数

将其转换为

注意h的值,一般是在 0 ≤ x ≤ 1 0 \le x \le 1 0≤x≤1之间,逐渐相加之后递增到1结束计算

四阶四段龙格库塔公式如下:

解题步骤

  1. 将 x 0 , y 0 , h x_0,y_0,h x0,y0,h写在旁边
  2. 将将题目中给出的已知信息代入 k 1 , k 2 , k 3 , k 4 k_1,k_2,k_3,k_4 k1,k2,k3,k4
  3. 更新 y n y_n yn的值
  4. 重复过程

k 2 k_2 k2->f的 x n + h 2 x_n+\frac{h}{2} xn+2h表示 x x x,同理另外一个表示 y y y,将其代入到f(x,y)中进行化简

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