文章目录
- 前言
- 一、本地空间怎么转化到观察空间
- 二、怎么得到观察空间的基向量
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- 1、Z轴向量
- [2、假设 观察空间的 Y~假设~ = (0,1,0)](#2、假设 观察空间的 Y~假设~ = (0,1,0))
- [3、X = Y 与 Z 的叉积](#3、X = Y 与 Z 的叉积)
- [4、Y = X 与 Z 的叉积](#4、Y = X 与 Z 的叉积)
- [三、求 [V~world~]^T^](#三、求 [V~world~]^T^)
- 四、求出最后在Unity中使用的公式
前言
在上一篇文章中，我们推演了矩阵几何计算。
在这篇文章中，我们来推导一下 观察空间（摄像机空间）。
一、本地空间怎么转化到观察空间
可以根据上篇文章的推导得出：
- 在两个不同角度坐标系下的坐标信息转化可以由如下公式算出。
P~view~ = [W~view~] * P~world~
[W~view~] = [V~world~]^-1^ = [V~world~]^T^
P~view~ = [V~world~]^T^ * P~world~
- P~view~顶点在观察空间下的坐标
- P~world~顶点在世界空间下的坐标
- W~view~世界空间的基向量 在 观察空间下的矩阵
- V~world~观察空间的基向量 在 世界空间下的矩阵
二、怎么得到观察空间的基向量
- 我们的观察空间使用的是右手坐标系
1、Z轴向量
- Z轴正方向是从 模型顶点 指向 摄像机 方向
- Z = ViewPos - ViewTarget
现在只知道 Z轴，还需要求 X Y轴。
2、假设 观察空间的 Y~假设~ = (0,1,0)
- X = Y 与 Z 的叉积
- Y = X 与 Z 的叉积
3、X = Y 与 Z 的叉积
4、Y = X 与 Z 的叉积
最后，得到的就是 视图空间坐标轴方向上的向量，归一化后即可作为基向量使用
三、求 [V~world~]^T^
1、求V~world~
- 把基向量一列一列的写来排列得到 V~world~
V w o r l d X x V w o r l d Y x V w o r l d Z x V w o r l d X y V w o r l d Y y V w o r l d Z y V w o r l d X z V w o r l d Y z V w o r l d Z z \begin{matrix} V~worldXx~&V~worldYx~&V~worldZx~\\ V~worldXy~&V~worldYy~&V~worldZy~\\ V~worldXz~&V~worldYz~&V~worldZz~\\ \end{matrix} V worldXx V worldXy V worldXz V worldYx V worldYy V worldYz V worldZx V worldZy V worldZz
2、求[V~world~]^T^
这里原本是求逆矩阵，但是基向量矩阵是正交矩阵,所以逆矩阵 = 转置矩阵
V w o r l d X x V w o r l d X y V w o r l d X z V w o r l d Y x V w o r l d Y y V w o r l d Y z V w o r l d Z x V w o r l d Z y V w o r l d Z z \begin{matrix} V~worldXx~&V~worldXy~&V~worldXz~\\ V~worldYx~&V~worldYy~&V~worldYz~\\ V~worldZx~&V~worldZy~&V~worldZz~\\ \end{matrix} V worldXx V worldYx V worldZx V worldXy V worldYy V worldZy V worldXz V worldYz V worldZz
四、求出最后在Unity中使用的公式
- P~view~ = [V~world~]^T^ * P~world~
1、偏移坐标轴
在之前的步骤中，我们只完成坐标系的旋转转化。
但是，我们的 观察空间 和 世界空间 的原点不在同一地方。
所以，需要进行平移变换
2、把 平移的坐标 构建成之前文章中使用的 平移矩阵
1 0 0 − T x 0 1 0 − T y 0 0 1 − T z 0 0 0 1 \begin{matrix} 1&0&0&-T~x~\\ 0&1&0&-T~y~\\ 0&0&1&-T~z~\\ 0&0&0&1\\ \end{matrix} 100001000010−T x −T y −T z 1
- 则我们的公式会变成如下样子：
3、化简我们的矩阵
- 这两个矩阵相乘，最后的一列的结果，可以化简为：
− ( V w o r l d X d o t T ) − ( V w o r l d Y d o t T ) − ( V w o r l d Z d o t T ) 1 \begin{matrix} -(V~worldX~ dot T) \\ -(V~worldY~ dot T) \\ -(V~worldZ~ dot T) \\ 1\\ \end{matrix} −(V worldX dotT)−(V worldY dotT)−(V worldZ dotT)1
- 最后，公式化简为：
