Unity中Shader观察空间推导

文章目录

• 前言
• 一、本地空间怎么转化到观察空间
• 二、怎么得到观察空间的基向量
• • 1、Z轴向量
  • [2、假设 观察空间的 Y~假设~ = (0,1,0)](#2、假设 观察空间的 Y_假设 = (0,1,0))
  • [3、X = Y 与 Z 的叉积](#3、X = Y 与 Z 的叉积)
  • [4、Y = X 与 Z 的叉积](#4、Y = X 与 Z 的叉积)
• [三、求 V\~world\~^T^](#三、求 [V_world]^T)
• • 1、求V~world~
  • 2、求V\~world\~^T^
• 四、求出最后在Unity中使用的公式
• • 1、偏移坐标轴
  • [2、把 平移的坐标 构建成之前文章中使用的 平移矩阵](#2、把 平移的坐标 构建成之前文章中使用的 平移矩阵)
  • 3、化简我们的矩阵

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前言

在上一篇文章中，我们推演了矩阵几何计算。

• Unity中Shader矩阵变换的几何体现

在这篇文章中，我们来推导一下 观察空间（摄像机空间）。

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一、本地空间怎么转化到观察空间

可以根据上篇文章的推导得出：

• 在两个不同角度坐标系下的坐标信息转化可以由如下公式算出。

P_view = W~view~ * P_world

W~view~ = V~world~^-1 = V~world~^T

P_view = V~world~^T * P_world

• P_view顶点在观察空间下的坐标
• P_world顶点在世界空间下的坐标
• W_view世界空间的基向量 在 观察空间下的矩阵
• V_world观察空间的基向量 在 世界空间下的矩阵

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二、怎么得到观察空间的基向量

• 我们的观察空间使用的是右手坐标系
  

1、Z轴向量

• Z轴正方向是从 模型顶点 指向 摄像机 方向
• Z = ViewPos - ViewTarget
  
  现在只知道 Z轴，还需要求 X Y轴。

2、假设 观察空间的 Y_假设 = (0,1,0)

• X = Y 与 Z 的叉积
• Y = X 与 Z 的叉积

3、X = Y 与 Z 的叉积

4、Y = X 与 Z 的叉积

最后，得到的就是 视图空间坐标轴方向上的向量，归一化后即可作为基向量使用

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三、求 V~world~^T

1、求V_world

• 把基向量一列一列的写来排列得到 V_world

V w o r l d X x V w o r l d Y x V w o r l d Z x V w o r l d X y V w o r l d Y y V w o r l d Z y V w o r l d X z V w o r l d Y z V w o r l d Z z \begin{matrix} V~worldXx~&V~worldYx~&V~worldZx~\\ V~worldXy~&V~worldYy~&V~worldZy~\\ V~worldXz~&V~worldYz~&V~worldZz~\\ \end{matrix} V worldXx V worldXy V worldXz V worldYx V worldYy V worldYz V worldZx V worldZy V worldZz

2、求V~world~^T

这里原本是求逆矩阵，但是基向量矩阵是正交矩阵,所以逆矩阵 = 转置矩阵

V w o r l d X x V w o r l d X y V w o r l d X z V w o r l d Y x V w o r l d Y y V w o r l d Y z V w o r l d Z x V w o r l d Z y V w o r l d Z z \begin{matrix} V~worldXx~&V~worldXy~&V~worldXz~\\ V~worldYx~&V~worldYy~&V~worldYz~\\ V~worldZx~&V~worldZy~&V~worldZz~\\ \end{matrix} V worldXx V worldYx V worldZx V worldXy V worldYy V worldZy V worldXz V worldYz V worldZz

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四、求出最后在Unity中使用的公式

• P_view = V~world~^T * P_world

1、偏移坐标轴

在之前的步骤中，我们只完成坐标系的旋转转化。
但是，我们的 观察空间 和 世界空间 的原点不在同一地方。
所以，需要进行平移变换

2、把 平移的坐标 构建成之前文章中使用的 平移矩阵

1 0 0 − T x 0 1 0 − T y 0 0 1 − T z 0 0 0 1 \begin{matrix} 1&0&0&-T~x~\\ 0&1&0&-T~y~\\ 0&0&1&-T~z~\\ 0&0&0&1\\ \end{matrix} 100001000010−T x −T y −T z 1

• 则我们的公式会变成如下样子：
  

3、化简我们的矩阵

• 这两个矩阵相乘，最后的一列的结果，可以化简为：

− ( V w o r l d X d o t T ) − ( V w o r l d Y d o t T ) − ( V w o r l d Z d o t T ) 1 \begin{matrix} -(V~worldX~ dot T) \\ -(V~worldY~ dot T) \\ -(V~worldZ~ dot T) \\ 1\\ \end{matrix} −(V worldX dotT)−(V worldY dotT)−(V worldZ dotT)1

• 最后，公式化简为：