DP进阶之路——01背包问题

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小明是一位科学家，他需要参加一场重要的国际科学大会，以展示自己的最新研究成果。他需要带一些研究材料，但是他的行李箱空间有限。这些研究材料包括实验设备、文献资料和实验样本等等，它们各自占据不同的空间，并且具有不同的价值。

小明的行李空间为 N，问小明应该如何抉择，才能携带最大价值的研究材料，每种研究材料只能选择一次，并且只有选与不选两种选择，不能进行切割。
输入描述

第一行包含两个正整数，第一个整数 M 代表研究材料的

种类，第二个正整数 N，代表小明的行李空间。

第二行包含 M 个正整数，代表每种研究材料的所占空间。

第三行包含 M 个正整数，代表每种研究材料的价值。

输出描述

输出一个整数，代表小明能够携带的研究材料的最大价值。

输入示例
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6 1
2 2 3 1 5 2
2 3 1 5 4 3
输出示例
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5
提示信息

小明能够携带 6 种研究材料，但是行李空间只有 1，而占用空间为 1 的研究材料价值为 5，所以最终答案输出 5。

数据范围：

1 <= N <= 1000

1 <= M <= 1000

研究材料占用空间和价值都小于等于 1000

其实针对背包问题，做了几个题目后发现，都可以直接套用模板了，但是我们还是需要明白它是怎么实现的，不能一知半解。

我们需要明白的其实有：

1、dp $i$ 指的是什么？

2、dp数组初始值应该是哪些，为什么？

3、递归公式是怎样的，为什么是这样的？

4、weight数组是哪个，value数组是哪个？最大容量是多少？

具体思路：

这里简单画了一个图。

1、我们可以知道的是dp $i$ 是当为第i个物品的时候。

2、dp数组初始化要的是先把物品1的数组全部赋值

3、dp $i$ $j$ = Math.max(dp $i-1$ $j$ , dp $i-1$ $j-weight\[i$ ] + value $i$ )

就是当前j容量的时候，可以加入第i个物品时候的最大价值

这里是针对上面题目给出的代码：

复制代码

import java.util.*;

public class Main {
    
    public static void main(String[] args) {
        // 背包容量 N
        // 物品种类 M
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        
        int M = sc.nextInt();
        int N = sc.nextInt();
        
        int[] values = new int[M];
        int[] weights = new int[M];
        
        for(int i = 0; i < M;i++) {
            weights[i] = sc.nextInt();
        }
        
        
        for(int i = 0; i < M;i++) {
            values[i] = sc.nextInt();
        }
        
        int[][] dp = new int[M][N+1];
        
        // 初始化
        for(int i = weights[0]; i <= N; i++) {
            dp[0][i] = values[0];
        }
        
        // 先物品
        for(int i = 1; i < M; i++) {
            // 后背包
            for(int j = 0; j <= N; j++) {
                if(weights[i] > j) {
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weights[i]] + values[i]);
                }
            }
        }
        System.out.println(dp[M-1][N]);
    }
}