SVM（带软间隔的支持向量机）
谨以此博客作为复习期间的记录。
软间隔思想的由来
在上一篇博客中，回顾了线性可分的支持向量机,但在实际情况中，很少有完全线性可分的情况，大部分线性可分的情况都是整体线性可分，个别样本点无法线性分割开。因此就要避免这极个别样本点对分割平面产生的影响。
线性可分支持向量机
软间隔的引入
在分类过程中，允许极个别数据点"越界"，如何在目标函数中体现这一点呢？
软间隔支持向量机（Soft Margin Support Vector Machine）的数学形式可以通过修改支持向量机（SVM）的优化目标函数和约束条件来实现。软间隔允许一些数据点越界，引入了松弛变量来处理这些点。
首先，我们考虑软间隔的目标函数和约束条件：
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目标函数：
最小化目标函数，同时考虑间隔的最大化和误分类点的惩罚，即：
min w , b , ξ 1 2 ∥ w ∥ 2 + C ∑ i = 1 N ξ i \min_{\mathbf{w}, b, \boldsymbol{\xi}} \frac{1}{2}\|\mathbf{w}\|^2 + C \sum_{i=1}^{N} \xi_i w,b,ξmin21∥w∥2+Ci=1∑Nξi这里 w \mathbf{w} w 是超平面的法向量， b b b 是截距， ξ \boldsymbol{\xi} ξ 是松弛变量， C > 0 C > 0 C>0 是一个超参数，用于控制对误分类点的惩罚程度。
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约束条件：
考虑函数间隔大于等于 1 的约束条件，以及松弛变量 ξ \boldsymbol{\xi} ξ 的非负性约束：
y i ( w ⋅ x i + b ) ≥ 1 − ξ i , i = 1 , 2 , ... , N ξ i ≥ 0 , i = 1 , 2 , ... , N \begin{align*} & y_i(\mathbf{w} \cdot \mathbf{x}_i + b) \geq 1 - \xi_i, \quad i = 1, 2, \dots, N \\ & \xi_i \geq 0, \quad i = 1, 2, \dots, N \end{align*} yi(w⋅xi+b)≥1−ξi,i=1,2,...,Nξi≥0,i=1,2,...,N
线性支持向量机学习算法
输入: 训练数据集 T = { ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ⋯ , ( x N , y N ) } T=\left\{\left(x_1, y_1\right),\left(x_2, y_2\right), \cdots,\left(x_N, y_N\right)\right\} T={(x1,y1),(x2,y2),⋯,(xN,yN)}, 其中, x i ∈ X = R n , y i ∈ x_i \in \mathcal{X}=\mathbf{R}^n, y_i \in xi∈X=Rn,yi∈ Y = { − 1 , + 1 } , i = 1 , 2 , ⋯ , N \mathcal{Y}=\{-1,+1\}, \quad i=1,2, \cdots, N Y={−1,+1},i=1,2,⋯,N;
输出: 分离超平面和分类决策函数.
(1) 选择惩罚参数 C > 0 C>0 C>0, 构造并求解凸二次规划问题
min α 1 2 ∑ i = 1 N ∑ j = 1 N α i α j y i y j ( x i ⋅ x j ) − ∑ i = 1 N α i s.t. ∑ i = 1 N α i y i = 0 0 ⩽ α i ⩽ C , i = 1 , 2 , ⋯ , N \begin{aligned} \min \alpha & \frac{1}{2} \sum{i=1}^N \sum_{j=1}^N \alpha_i \alpha_j y_i y_j\left(x_i \cdot x_j\right)-\sum_{i=1}^N \alpha_i \\ \text { s.t. } & \sum_{i=1}^N \alpha_i y_i=0 \\ & 0 \leqslant \alpha_i \leqslant C, \quad i=1,2, \cdots, N \end{aligned} αmin s.t. 21i=1∑Nj=1∑Nαiαjyiyj(xi⋅xj)−i=1∑Nαii=1∑Nαiyi=00⩽αi⩽C,i=1,2,⋯,N
求得最优解 α ∗ = ( α 1 ∗ , α 2 ∗ , ⋯ , α N ∗ ) T \alpha^*=\left(\alpha_1{ }^*, \alpha_2{ }^*, \cdots, \alpha_N{ }^*\right)^{\mathrm{T}} α∗=(α1∗,α2∗,⋯,αN∗)T.
(2) 计算 w ∗ = ∑ i = 1 N α i ∗ y i x i w^*=\sum_{i=1}^N \alpha_i^* y_i x_i w∗=∑i=1Nαi∗yixi
选择 α ∗ \alpha^* α∗ 的一个分量 α j ∗ \alpha_j{ }^* αj∗ 适合条件 0 < α j ∗ < C 0<\alpha_j^*<C 0<αj∗<C, 计算
b ∗ = y j − ∑ i = 1 N y i α i ∗ ( x i ⋅ x j ) b^*=y_j-\sum_{i=1}^N y_i \alpha_i^*\left(x_i \cdot x_j\right) b∗=yj−i=1∑Nyiαi∗(xi⋅xj)
(3) 求得分离超平面
w ∗ ⋅ x + b ∗ = 0 w^* \cdot x+b^*=0 w∗⋅x+b∗=0
分类决策函数:
f ( x ) = sign ( w ∗ ⋅ x + b ∗ ) f(x)=\operatorname{sign}\left(w^* \cdot x+b^*\right) f(x)=sign(w∗⋅x+b∗)