第九部分 图论

目录

例

相关概念

握手定理

例1

图的度数列

例

无向图的连通性

无向图的连通度

例2

例3

[有向图D如图所示，求 A, A2, A3, A4，并回答诸问题：](#有向图D如图所示，求 A, A2, A3, A4，并回答诸问题：)

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中间有几章这里没有写，感兴趣可以自己去学，组合数学跟高中差不多，这里也没写了，绝不是因为作者懒！
定义9 .1 无向图 G = < V , E >, 其中
(1) V ≠ ∅ 为顶点集，元素称为 顶点
(2) E 为 V & V 的多重集，其元素称为无向边，简称 边

例

G**= <V,E>**为无向图

V = { v 1*,v2****, v3,v4,v5****}***
E = {( v 1 , v 1 ), ( v 1 , v 2 ), ( v 2 , v 3 ), ( v 2 , v 3 ), ( v 2 , v 5 ), ( v 1 , v 5 ), ( v 4 , v 5 )}

定义9 .2 有向图 D =< V , E >, 只需注意 E 是 V × V 的多重子集

相关概念

1. 图
① 可用 G 泛指图（无向的或有向的）
② V ( G ), E ( G ), V ( D ), E ( D )
③ n 阶图
2. 有限图
3. n 阶零图与平凡图
4. 空图 ------ ∅
5. 用 e k 表示无向边或有向边
6. 顶点与边的关联关系
① 关联、关联次数
② 环
③ 孤立点
7. 顶点之间的相邻与邻接关系
8. 邻域与关联集
① v ∈ V ( G ) ( G 为无向图 )
v的邻域 N(v)={u|u∈V(G)∧(u,v)∈E(G)∧u≠v}
v的闭邻域 (v)=N(v)∪{v}
v的关联集 I(v)={e|e∈E ( G ) ∧ e 与 v 关联 }
② v ∈ V ( D ) ( D 为有向图 )
v的后继元集 (v)={u|u∈V(D) ∧<v,u>∈E(D) ∧u≠v}
v的先驱元集 (v)= {u|u∈V(D) ∧<u,v>∈E(D) ∧u≠v}
v的邻域 (v)=(v)∪(v)
v的闭邻域 (v)=(v)∪{v}
9. 标定图与非标定图
10. 基图
定义9 .3
(1) 无向图中的平行边及重数
(2) 有向图中的平行边及重数 注意方向性
(3) 多重图
(4) 简单图
定义9 .4
(1) 设 G =< V , E > 为无向图 , ∀ v ∈ V , d ( v )------ v 的度数 , 简称度
(2) 设 D =< V , E > 为有向图
∀ v ∈ V
d + ( v )------ v 的出度
d − ( v )------ v 的入度
d ( v )------ v 的度或度数
(3)
∆ ( G )最大度
δ ( G )最小度
(4)
∆ + ( D )最大出度
δ + ( D )最小出度
∆ − ( D )最大入度
δ − ( D )最小入度
(5) 奇顶点度与偶度顶点

握手定理

定理9**.1设G=<V,E>为任意无向图，V={v1,v2,...,vn****}, |E|=m,**则

G 中每条边 ( 包括环 ) 均有两个端点，所以在计算 G 中各顶点 度数之和时，每条边均提供 2 度， m 条边共提供 2 m 度
定理9**.2设D=<V,E>为任意有向图，V={v1,v2,...,vn****}, |E|=m,**则

总度数为边数的两倍，入度和出度都等于边数

例****1

无向图 G 有 16 条边， 3 个 4 度顶点， 4 个 3 度顶点，其余 顶点度数均小于 3 ，问 G 的阶数 n 为几？
解
本题的关键是应用握手定理
设
除 3 度与 4 度顶点外
还有 x 个顶点 v 1 , v 2 , ..., v x
则
d ( v i ) ≤ 2 ， i =1, 2, ..., x
于是得不等式
32 ≤ 24+2 x
得 x ≥ 4
阶数 n ≥ 4+4+3=11

图的度数列

V ={ v 1 , v 2 , ..., v n } 为无向图 G 的顶点集，称 d ( v 1 ), d ( v 2 ), ..., d ( v n ) 为 G 的 度数列
V ={ v 1 , v 2 , ..., v n } 为有向图 D 的顶点集
D 的 度数列 ： d ( v 1 ), d ( v 2 ), ..., d ( v n )
D 的 出度列 ： d + ( v 1 ), d + ( v 2 ), ..., d + ( v n )
D 的 入度列 ： d − ( v 1 ), d − ( v 2 ), ..., d − ( v n )
非负整数列 d =( d 1 , d 2 , ..., d n ) 是 可图化的 ，是 可简单图化 的
度数列=入度列+出度列，对应元素

例

度数列={3,2,3,2}

出度列={2,1,2,1}

则求入读列

{1,1,1,1}
定义9 .5 设 G 1 =< V 1 , E 1 >, G 2 =< V 2 , E 2 > 为两个无向图 ( 两个有向 图 ) ，若存在双射函数 f : V 1 → V 2 , 对于 v i , v j ∈ V 1 , ( v i , v j ) ∈ E 1 当且仅当 ( f ( v i ), f ( v j )) ∈ E 2 （ < v i , v j > ∈ E 1 当且仅当 < f ( v i ), f ( v j )> ∈ E 2 ) 并且 , ( v i , v j ) （ < v i , v j > ）与 ( f ( v i ), f ( v j )) （ < f ( v i ), f ( v j )> ）的重数相 同，则称 G 1 与 G 2 是 同构 的，记作 G 1 ≅ G 2
图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性
能找到多条同构的必要条件，但它们全不是充分条件：
① 边数相同，顶点数相同
② 度数列相同
③ 对应顶点的关联集及邻域的元素个数相同 等
若破坏必要条件，则两图不同构
判断两个图同构是个难题
定义9**.6**
(1) n ( n ≥ 1) 阶无向完全图 ------ 每个顶点与其余顶点均相邻的 无向简单图，记作 K n
简单性质：
边数
m = n ( n − 1) /2
∆ = δ = n − 1
(2) n ( n ≥ 1) 阶 有向完全图 ------ 每对顶点之间均有两条方向相 反的有向边的有向简单图
简单性质：
m = n ( n − 1)
∆ = δ = 2( n − 1)
∆ + = δ + = n − 1
(3) n ( n ≥ 1) 阶 竞赛图 ------ 基图为 K n 的有向简单图
简单性质：
边数
m = n ( n 2 − 1)
∆ = δ = n − 1
定义9**.7n阶k正则图****------∆=δ=k的无向简单图**

简单性质：边数（由握手定理得）

m=nk/2
定义9 .8 G =< V , E >, G ′ =< V ′ , E ′ >
(1) G ′⊆ G ------ G ′ 为 G 的 子图 ， G 为 G ′ 的 母图
(2) 若 G ′⊆ G 且 V ′ = V ，则称 G ′ 为 G 的 生成子图
(3) 若 V ′⊂ V 或 E ′⊂ E ，称 G ′ 为 G 的 真子图
(4) V ′ （ V ′⊂ V 且 V ′≠∅ ）的 导出子图 ，记作 G [ V ′ ]
(5) E ′ （ E ′⊂ E 且 E ′≠∅ ）的 导出子图 ，记作 G [ E ′ ]
定义9 .9 设 G =< V , E > 为 n 阶无向简单图，以 V 为顶点集，以 所有使 G 成为完全图 K n 的添加边组成的集合为边集的图， 称为 G 的 补图 ，记作 G
若G≅ G, 则称G是自补图.
定义9 .10 给定图 G =< V , E > （无向或有向的）， G 中 顶点与 边的交替序列 Γ = v 0 e 1 v 1 e 2 ... e l v l ， v i − 1 , v i 是 e i 的端点
(1) 通路与回路： Γ 为 通路 ；若 v 0 = v l ， Γ 为 回路 ， l 为 回路长 度
(2) 简单通路与回路：所有边各异， Γ 为 简单通路 ，又若 v 0 = v l ， Γ 为 简单回路
(3) 初级通路 ( 路径 ) 与初级回路 ( 圈 ) ： Γ 中所有顶点各异，则 称 Γ 为 初级通路 ( 路径 ) ，又若除 v 0 = v l ，所有的顶点各不相 同且所有的边各异，则称 Γ 为 初级回路 ( 圈 )
(4) 复杂通路与回路：有边重复出现
定理9 .3 在 n 阶图 G 中，若从顶点 v i 到 v j （ v i ≠ v j ）存在通路， 则从 v i 到 v j 存在长度小于或等于 n − 1 的通路
定理9 .4 在一个 n 阶图 G 中，若存在 v i 到自身的回路，则一 定存在 v i 到自身长度小于或等于 n 的回路

无向图的连通性

(1) 顶点之间的连通关系： G =< V , E > 为无向图
① 若 v i 与 v j 之间有通路，则 v i ∼ v j
② ∼ 是 V 上的等价关系 R ={< u , v >| u , v ∈ V 且 u ∼ v }
(2) G 的连通性与连通分支
① 若 ∀ u , v ∈ V ， u ∼ v ，则称 G 连通
② V / R ={ V 1 , V 2 ,..., V k } ，称 G [ V 1 ], G [ V 2 ], ..., G [ V k ] 为 连通分 支 ，其个数 p ( G )= k ( k ≥ 1)
k =1 ， G 连通
(3) 短程线与距离
① u 与 v 之间的 短程线 ： u ∼ v ， u 与 v 之间长度最短的通路
② u 与 v 之间的 距离 ： d ( u , v )------ 短程线的长度
③ d ( u , v ) 的性质：
d ( u , v ) ≥ 0, u ≁ v 时 d ( u , v )= ∞
d ( u , v )= d ( v , u )
d ( u , v )+ d ( v , w ) ≥ d ( u , w )

无向图的连通度

删除顶点及删除边
G − v ------ 从 G 中将 v 及关联的边去掉
G − V ′ ------ 从 G 中删除 V ′ 中所有的顶点
G − e ------ 将 e 从 G 中去掉
G − E ′ ------ 删除 E ′ 中所有边
点割集与边割集
点割集与割点
定义9**.11G=<V,E>,V′⊂**V
V ′ 为 点割集 ------ p ( G − V ′ )> p ( G ) 且有极小性
v 为 割点 ------{ v } 为点割集
定义9 .12 G =< V , E >, E ′⊆ E
E ′ 是 边割集 ------ p ( G − E ′ )> p ( G ) 且有极小性
e 是 割边 （桥） ------{ e } 为边割集
点割集和边割集的两个要求

删去集合里的所有边或点，会增加连通分支

删去集合中的子集不会增加连通分支

例2

点割集 {v5},{v6},{v1,v4}

割点 v5,v6

边割集 {e7},{e8},{e1,e2},{e1,e4,e6},{e2,e3,e9},{e1,e3,e9},{e2,e4,e6},{e3,e4,e5},{e1,e3,e5,e6},{e2,e4,e5,e9},{e1,e4,e5,e9},{e2,e3,e5,e9}

割边(桥) e7,e8
定义9 .13 D =< V , E > 为有向图
v i → v j （ v i 可达 v j ） ------ v i 到 v j 有通路
v i ↔ v j （ v i 与 v j 相互可达）
性质
→ 具有自反性 ( v i → v i ) 、传递性
↔ 具有自反性、对称性、传递性
v i 到 v j 的短程线与距离
类似于无向图中，只需注意距离表示法的不同
( 无向图中 d ( v i , v j ) ，有向图中 d < v i , v j >) 及 d < v i , v j > 无对称性
定义9**.14D=<V,E>为有向图
D 弱连通 ( 连通 )------ 基图为无向连通图
D 单向连通 ------ ∀ v i , v j ∈ V ， v i → v j 或 v j → v i
D 强连通 ------ ∀ v i , v j ∈ V ， v i ↔ v j
易知，强连通 ⇒ 单向连通 ⇒ 弱连通
判别法
定理9 .4 D 强连通当且仅当 D 中存在经过每个顶点至少一次 的回路
定理9 .5 D 单向连通当且仅当 D 中存在经过每个顶点至少一 次的通路
定义9.15 设 G =< V , E > 为一个无向图，若能将 V 分成 V 1 和 V 2 ( V 1 ∪ V 2 = V ， V 1 ∩ V 2 = ∅ ) ，使得 G 中的每条边的两个端点都是 一个属于 V 1 ，另一个属于 V 2 ，则称 G 为 二部图 ( 或称 二分
图 、 偶图 等 ) ，称 V 1 和 V 2 为 互补顶点子集 ，常将二部图 G 记为 < V 1 , V 2 , E > 又若 G 是简单二部图， V 1 中每个顶点均与 V 2 中所有的顶点相 邻 则称 G 为 完全二部图 ，记为 K r , s ，其中 r =| V 1 | ， s =| V 2 |
注意， n 阶零图为二部图
完全二部图V1集合每个点都与V2集合中每个点相连
定理9.6无向图G=<V,E>是二部图当且仅当G中无奇圈**
定义9 .16 无向图 G =< V , E > ， | V |= n ， | E |= m ，令 m ij 为 v i 与 e j 的关联次数，称 ( m ij ) n × m 为 G 的 关联矩阵 ，记为 M ( G )
定义9 .17 有向图 D =< V , E > ，令 则称 ( m ij ) n × m 为 D 的 关联矩阵 ，记为 M ( D )

定义9 .18 设有向图 D =< V , E >, V ={ v 1 , v 2 , ..., v n }, E ={ e 1 , e 2 , ..., e m }, 令为顶点 v i 邻接到顶点 v j 边的条数，称为 D 的 邻接矩 阵 ，记作 A ( D ) ，或简记为 A
定理9**.7设A为有向图D的邻接矩阵，V={v1,v2****, ...,vn****}为顶点集，则A的l次幂Al****（l≥1）中元素**

为D中v**i到v**j长度为 l 的通路数，其中为v**i 到自身长度为 l的回路数，而为D 中长度为 l的通路总数，为D中长度为l的回路总数

例3

有向图D如图所示，求A**,A2****,A3****,A4****，并回答诸问题：**

(1) D 中长度为 1, 2, 3, 4 的通路各有多少条？其中回路分别为多 少条？
(2) D 中长度小于或等于 4 的通路为多少条？其中有多少条回路？

(1)
D 中长度为 1 的通路为 8 条，其中有 1 条是回路
D 中长度为 2 的通路为 11 条，其中有 3 条是回路
D 中长度为 3 和 4 的通路分别为 14 和 17 条，回路分别 为 1 与 3 条
(2)
D 中长度小于等于 4 的通路为 50 条，其中有 8 条是回路
下标(i,i)的数的和为回路总数，(i,j)的数的和为通路总数
定义9.19****设D**=<V,E>为有向图.V={v1****,v2****, ...,vn****},**令

称**(pij****)n×n为D的可达矩阵，记作P(D)，简记为由于****∀vi****∈V，vi****↔vi****，所以P(D)主对角线上的元素全为1**

由定义不难看出**,D强连通当且仅当P(D)为全1****矩阵**

下图所示有向图D的可达矩阵为