1. 基本问题
收敛阶
lim k → ∞ ∣ e k + 1 ∣ ∣ e k ∣ r = C > 0 , r 为收敛阶 \lim_{k\to\infty} \frac{|e_{k+1}|}{|e_k|}^r=C>0 \,\,,\,\, r为收敛阶 k→∞lim∣ek∣∣ek+1∣r=C>0,r为收敛阶
2. 二分法
二分法是线性收敛的，如果指定精度 ϵ { \epsilon } ϵ ，则最多需要迭代步数
k = ⌈ log 2 ( b − a ϵ ) ⌉ k= \lceil \log_2(\frac{b-a}{\epsilon }) \rceil k=⌈log2(ϵb−a)⌉
matlab实现
matlab
%% 二分法例子
f = @(x) x^3-x-1;
format long
[x,i] = bisect(f,1,2,1e-5,1000)
%% 二分法求非线性方程的根
% 输入函数，范围，精度,最大迭代次数
% 输出根,迭代次数
function [x,i] = bisect(f,a,b,eps,max_iter)
if sign(f(a))~=sign(f(b))
for i = 1:max_iter
c = a/2+b/2;
if (b-a)<eps || abs(f(c))<eps
x = c;
break
end
if sign(f(a))==sign(f(c))
a = c;
else
b = c;
end
end
end
end3. 不动点迭代加速
不动点 x = x ∗ {x=x ^{*} } x=x∗
x k + 1 = ϕ ( x k ) x_{k+1}=\phi(x_k) xk+1=ϕ(xk)
x k + 1 − x ∗ = ϕ ( x k ) − ϕ ( x ∗ ) = ϕ ′ ( ξ k ) ( x k − x ∗ ) , ξ k ∈ ( x k , x ∗ ) x_{k+1}-x ^{*} =\phi(x_k)-\phi(x ^{*} )=\phi'(\xi_k)(x_k-x ^{*} ) \,\,,\,\, \xi_k\in(x_k,x ^{*} ) xk+1−x∗=ϕ(xk)−ϕ(x∗)=ϕ′(ξk)(xk−x∗),ξk∈(xk,x∗)
let ϕ ′ ( ξ k ) = L \text{let} \,\,\, \phi'(\xi_k) =L letϕ′(ξk)=L
x ∗ ≈ x k + 1 − L x k 1 − L = ϕ ˉ ( x ) x ^{*} \approx \frac{x_{k+1}-Lx_k}{1-L}=\bar\phi(x) x∗≈1−Lxk+1−Lxk=ϕˉ(x)
为加速后的不动点迭代格式。
6. 割线法
割线法比起牛顿迭代法不需要计算导数。
双点割线法
需要知道两个的函数初始值，不需要函数值异号 。迭代公式如下：
x k + 1 = x k − f ( x k ) x k − x k − 1 f ( x k ) − f ( x k − 1 ) x_{k+1}=x_k-f(x_k) \frac{x_k-x_{k-1}}{f(x_k)-f(x_{k-1})} xk+1=xk−f(xk)f(xk)−f(xk−1)xk−xk−1
收敛阶：
r = 5 + 1 2 ≈ 1.618 r= \frac{\sqrt{5}+1}{2} \approx 1.618 r=25 +1≈1.618
matlab编程实现
matlab
%% 割线法例子
f = @(x) x-sin(x)-0.5;
[x,e,i] = cutSolve(f,1.4, 1.6, 0.01, 100)
%% 双点割线法
% 输入函数，根所在的区间下限上限，精度，最大迭代次数
% 输出根，根的值，迭代次数
function [x,e,i] = cutSolve(f,a,b,eps,max_iter)
x0 = a;
x1 = b;
for i = 1:max_iter
x = -f(x0)*(x1-x0)/(f(x1)-f(x0))+x0
if abs(x-x1)<=eps
e = abs(f(x));
break;
end
x0=x1;
x1=x;
end
end单点割线法
固定初始点，有
x k + 1 = x k − f ( x k ) x k − x 0 f ( x k ) − f ( x 0 ) x_{k+1}=x_k-f(x_k) \frac{x_k-x_{0}}{f(x_k)-f(x_{0})} xk+1=xk−f(xk)f(xk)−f(x0)xk−x0
算是一种不动点迭代。