平面光波导_三层均匀平面光波导_射线分析法

平面光波导_三层均匀平面光波导_射线分析法

三层均匀平面光波导：

• 折射率沿 x x x 方向有变化，沿 y y y、 z z z 方向没有变化
• 三层：芯区( n 1 n_1 n1) > > > 衬底( n 2 n_2 n2) ≥ \geq ≥ 包层( n 3 n_3 n3)
• 包层通常为空气，即 n 3 = 1 n_3=1 n3=1；芯区与衬底折射率之差通常为 1 0 − 3 ∼ 1 0 − 1 10^{-3}\sim 10^{-1} 10−3∼10−1；芯区一般几微米厚

一、三层均匀平面波导的射线分析法

三层均匀平面波导的传输路线（也是叠加模型）如上图所示：

• 它可以看作由斜着向上界面行进的平面波（以 B B ′ BB^\prime BB′ 为等相位面的平面波），与反射2次后再次斜向上运动的平面波（以 C C ′ CC^\prime CC′ 为等相位面的平面波）相互叠加而成
• 入射光满足全反射条件仅仅能使光被约束在波导中，是形成导波的必要条件（还有是否可以传输）
• 因为导波由2个平面波相叠加，所以当两平面波到达同一地点时，只有满足相位相同的条件，才会相干相长，维持光在波导中传播。否则会相互抵消，导致无法传播

传输条件------相干叠加条件的推导：

约束条件： A B − A ′ B ′ AB-A^\prime B^\prime AB−A′B′ 平面波（以 B B ′ BB^\prime BB′ 为等相位面的平面电磁波）向前传播，第一个发生第二次反射的点（ C C C 点）其发生全反射相移后仍应与前一入射平面波保持同相。

记全反射在两界面带来的相移分别为： − 2 ϕ 12 -2\phi_{12} −2ϕ12、 − 2 ϕ 13 -2\phi_{13} −2ϕ13

因为 B B ′ BB^\prime BB′、 C C ′ CC^\prime CC′ 是等相位面，需要 A B A ′ B ′ ABA^\prime B^\prime ABA′B′ 平面波与 C D C ′ D ′ CDC^\prime D^\prime CDC′D′ 平面波相干相长，因此计算 B ′ C ′ B^\prime C^\prime B′C′ 和 B C BC BC 分别带来的光程，且两光程差应为 2 π 2\pi 2π 的整数倍

其中入射光的初始状况、三层均匀平面波导的各层折射率、波导芯区厚度是易于获取的参数，各表达式最终应当尽可能使用这三类参数表达

• B ′ → C ′ B^\prime\to C^\prime B′→C′ 的光程： n 1 B ′ C ′ ‾ = n 1 B C ′ ‾ sin ⁡ θ = n 1 ( P C ‾ − P Q ‾ ) sin ⁡ θ = n 1 ( d tan ⁡ θ − d / tan ⁡ θ ) sin ⁡ θ n_1\overline{B^\prime C^\prime}=n_1\overline{BC^\prime}\sin\theta=n_1(\overline{PC}-\overline{PQ})\sin\theta=n_1\left( d\tan\theta-d/\tan\theta \right)\sin\theta n1B′C′=n1BC′sinθ=n1(PC−PQ)sinθ=n1(dtanθ−d/tanθ)sinθ

  其总相移为： k 0 n 1 ( d tan ⁡ θ − d / tan ⁡ θ ) sin ⁡ θ k_0n_1\left( d\tan\theta-d/\tan\theta \right)\sin\theta k0n1(dtanθ−d/tanθ)sinθ

• B → C B\to C B→C 的光程： n 1 B C ‾ = n 1 ⋅ d / cos ⁡ θ n_1\overline{BC}=n_1\cdot d/\cos\theta n1BC=n1⋅d/cosθ

  其在界面 1,2 和界面 1,3 分别发生了一次全反射，带来的相移为 − 2 ϕ 12 − 2 ϕ 13 -2\phi_{12}-2\phi_{13} −2ϕ12−2ϕ13

  其总相移为： k 0 n 1 ⋅ d / cos ⁡ θ − 2 ϕ 12 − 2 ϕ 13 k_0n_1\cdot d/\cos\theta-2\phi_{12}-2\phi_{13} k0n1⋅d/cosθ−2ϕ12−2ϕ13

此时两平面波相干相长即要求：
k 0 n 1 ⋅ d / cos ⁡ θ − 2 ϕ 12 − 2 ϕ 13 − k 0 n 1 ( d tan ⁡ θ − d / tan ⁡ θ ) sin ⁡ θ = 2 m π m = 0 , 1 , 2 , ⋯ k_0n_1\cdot d/\cos\theta-2\phi_{12}-2\phi_{13}-k_0n_1\left( d\tan\theta-d/\tan\theta \right)\sin\theta=2m\pi\quad m=0,1,2,\cdots k0n1⋅d/cosθ−2ϕ12−2ϕ13−k0n1(dtanθ−d/tanθ)sinθ=2mπm=0,1,2,⋯

此式只与三层平面均匀波导的厚度、折射率，入射光的入射角、波数有关；其分立的解对应导波的不同模式

将上式简记为：
κ d = m π + ϕ 12 + ϕ 13 (模式的本征方程/特征方程) \kappa d=m\pi+\phi_{12}+\phi_{13} \tag{模式的本征方程/特征方程} κd=mπ+ϕ12+ϕ13(模式的本征方程/特征方程)

• κ = k x = n 1 k 0 cos ⁡ θ = n 1 2 k 0 2 − β 2 = k 0 n 1 2 − N 2 \kappa=k_x=n_1k_0\cos\theta=\sqrt{n_1^2k_0^2-\beta^2}=k_0\sqrt{n_1^2-N^2} κ=kx=n1k0cosθ=n12k02−β2 =k0n12−N2

• 模折射率/有效折射率： N = β / k 0 N=\beta/k_0 N=β/k0

• β \beta β 为传播常数。通过模式的本征方程/特征方程可以求出不同模式的传播常数

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对于 TE、TM，其全反射相移公式为：
r T E = E ⃗ 0 ′ E ⃗ 0 = n 1 cos ⁡ θ 1 − n 2 2 − n 1 2 s i n 2 θ 1 n 1 cos ⁡ θ 1 + n 2 2 − n 1 2 s i n 2 θ 1 = e x p [ − j 2 arctan ⁡ ( n 1 2 sin ⁡ 2 θ 1 − n 2 2 n 1 cos ⁡ θ 1 ) ] = e − j 2 ϕ T E r_{TE}=\frac{\vec E_0^\prime}{\vec E_0}=\frac {n_1\cos\theta_1-\sqrt{n_2^2-n_1^2sin^2\theta_1}} {n_1\cos\theta_1+\sqrt{n_2^2-n_1^2sin^2\theta_1}} =exp\left[ {-j2\arctan\left( \frac{\sqrt{n_1^2\sin^2\theta_1-n_2^2}}{n_1\cos\theta_1} \right)} \right] =e^{-j2\phi_{TE}} rTE=E 0E 0′=n1cosθ1+n22−n12sin2θ1 n1cosθ1−n22−n12sin2θ1 =exp −j2arctan n1cosθ1n12sin2θ1−n22 =e−j2ϕTE

r T M = H ⃗ 0 ′ H ⃗ 0 = n 2 2 cos ⁡ θ 1 − n 1 n 2 2 − n 1 2 s i n 2 θ 1 n 2 2 cos ⁡ θ 1 + n 1 n 2 2 − n 1 2 s i n 2 θ 1 = e x p [ − j 2 arctan ⁡ ( n 1 2 n 2 2 n 1 2 sin ⁡ 2 θ 1 − n 2 2 n 1 cos ⁡ θ 1 ) ] = e − j 2 ϕ T M r_{TM}=\frac{\vec H_0^\prime}{\vec H_0}=\frac {n_2^2\cos\theta_1-n_1\sqrt{n_2^2-n_1^2sin^2\theta_1}} {n_2^2\cos\theta_1+n_1\sqrt{n_2^2-n_1^2sin^2\theta_1}} =exp\left[ {-j2\arctan\left( \frac{n_1^2}{n_2^2}\frac{\sqrt{n_1^2\sin^2\theta_1-n_2^2}}{n_1\cos\theta_1} \right)} \right] =e^{-j2\phi_{TM}} rTM=H 0H 0′=n22cosθ1+n1n22−n12sin2θ1 n22cosθ1−n1n22−n12sin2θ1 =exp −j2arctan n22n12n1cosθ1n12sin2θ1−n22 =e−j2ϕTM

可以简记为：
T E m o d e { ϕ 12 = arctan ⁡ ( P κ ) ϕ 13 = arctan ⁡ ( q κ ) T M m o d e { ϕ 12 = arctan ⁡ ( n 1 2 n 2 2 P κ ) ϕ 13 = arctan ⁡ ( n 1 2 n 3 2 q κ ) TE\ mode \begin{cases} \phi_{12}=\arctan\left( \frac P\kappa \right) \\\\ \phi_{13}=\arctan\left( \frac q\kappa \right) \\ \end{cases} \\\\ TM\ mode \begin{cases} \phi_{12}=\arctan\left( \frac{n_1^2}{n_2^2} \frac P\kappa \right) \\\\ \phi_{13}=\arctan\left( \frac{n_1^2}{n_3^2} \frac q\kappa \right) \\ \end{cases} \\ TE mode⎩ ⎨ ⎧ϕ12=arctan(κP)ϕ13=arctan(κq)TM mode⎩ ⎨ ⎧ϕ12=arctan(n22n12κP)ϕ13=arctan(n32n12κq)

其本征方程为：
T E : κ d = m π + arctan ⁡ ( P κ ) + arctan ⁡ ( q κ ) T M : κ d = m π + arctan ⁡ ( n 1 2 n 2 2 P κ ) + arctan ⁡ ( n 1 2 n 3 2 q κ ) TE:\kappa d=m\pi+\arctan\left( \frac P\kappa \right)+\arctan\left( \frac q\kappa \right) \\\\ TM:\kappa d=m\pi+\arctan\left( \frac{n_1^2}{n_2^2} \frac P\kappa \right)+\arctan\left( \frac{n_1^2}{n_3^2} \frac q\kappa \right) TE:κd=mπ+arctan(κP)+arctan(κq)TM:κd=mπ+arctan(n22n12κP)+arctan(n32n12κq)