Logistic回归与梯度上升算法
Logistic回归是众多分类算法中的一员。通常，Logistic回归用于二分类问题，例如预测明天是否会下雨。当然它也可以用于多分类问题，不过为了简单起见，本文暂先讨论二分类问题。首先，让我们来了解一下，什么是Logistic回归。
1.Logistic回归
假设现在有一些数据点，我们利用一条直线对这些点进行拟合(该线称为最佳拟合直线)，这个拟合过程就称作为回归，如下图所示：
Logistic回归是分类方法，它利用的是Sigmoid函数阈值在[0,1]这个特性。**Logistic回归进行分类的主要思想是：根据现有数据对分类边界线建立回归公式，以此进行分类。**其实，Logistic本质上是一个基于条件概率的判别模型(Discriminative Model)。
所以要想了解Logistic回归，我们必须先看一看Sigmoid函数 ，我们也可以称它为Logistic函数。它的公式如下：
其中，
z是一个矩阵，θ是参数列向量(要求解的)，x是样本列向量(给定的数据集)。θ^T表示θ的转置。g(z)函数实现了任意实数到[0,1]的映射，这样我们的数据集([x0,x1,...,xn])，不管是大于1或者小于0，都可以映射到[0,1]区间进行分类。hθ(x)给出了输出为1的概率。比如当hθ(x)=0.7，那么说明有70%的概率输出为1。输出为0的概率是输出为1的补集，也就是30%。
如果我们有合适的参数列向量θ([θ0,θ1,...θn]^T)，以及样本列向量x([x0,x1,...,xn])，那么我们对样本x分类就可以通过上述公式计算出一个概率，如果这个概率大于0.5，我们就可以说样本是正样本，否则样本是负样本。
举个例子，对于"垃圾邮件判别问题"，对于给定的邮件(样本)，我们定义非垃圾邮件为正类，垃圾邮件为负类。我们通过计算出的概率值即可判定邮件是否是垃圾邮件。
现在，最关键的问题是如何得到合适的参数向量θ?假定样本与样本之间相互独立，那么整个样本集生成的概率即为所有样本生成概率的乘积，便可得到如下公式：
其中，m为样本的总数，y(i)表示第i个样本的类别，x(i)表示第i个样本，需要注意的是θ是多维向量，x(i)也是多维向量。
综上所述，满足J(θ)的最大的θ值即是我们需要求解的模型。
怎么求解使J(θ)最大的θ值呢？因为是求最大值，所以我们需要使用梯度上升算法。如果面对的问题是求解使J(θ)最小的θ值，那么我们就需要使用梯度下降算法。面对我们这个问题，如果使J(θ) := -J(θ)，那么问题就从求极大值转换成求极小值了，使用的算法就从梯度上升算法变成了梯度下降算法，它们的思想都是相同的，学会其一，就也会了另一个。
2.梯度上升算法
先看个简单的求极大值的例子。一个看了就会想到高中生活的函数：
这个函数的极值怎么求？显然这个函数开口向下，存在极大值，它的函数图像为：
求极值，先求函数的导数：
令导数为0，可求出x=2即取得函数f(x)的极大值。极大值等于f(2)=4
但是真实环境中的函数不会像上面这么简单，就算求出了函数的导数，也很难精确计算出函数的极值。此时我们就可以用迭代的方法来做。就像爬坡一样，一点一点逼近极值。这种寻找最佳拟合参数的方法，就是最优化算法。爬坡这个动作用数学公式表达即为：
其中，α为步长，也就是学习速率，控制更新的幅度。效果如下图所示：
比如从(0,0)开始，迭代路径就是1->2->3->4->...->n，直到求出的x为函数极大值的近似值，停止迭代。
def Gradient_Ascent_test():
def f_prime(x_old): #f(x)的导数
return -2 * x_old + 4
x_old = -1 #初始值，给一个小于x_new的值
x_new = 0 #梯度上升算法初始值，即从(0,0)开始
alpha = 0.01 #步长，也就是学习速率，控制更新的幅度
presision = 0.00000001 #精度，也就是更新阈值
while abs(x_new - x_old) > presision:
x_old = x_new
x_new = x_old + alpha * f_prime(x_old) #上面提到的公式
print(x_new) #打印最终求解的极值近似值
if __name__ == '__main__':
Gradient_Ascent_test()
结果很显然，已经非常接近我们的真实极值2了。这一过程，就是梯度上升算法。那么同理，J(θ)这个函数的极值，也可以这么求解。公式可以这么写：
因此，梯度上升迭代公式为：
理解了梯度上升迭代公式，编写代码。
Python实战
数据准备
数据集地址：https://github.com/Jack-Cherish/Machine-Learning/blob/master/Logistic/testSet.txt
一个简单的数据集，没什么实际意义。让我们先从这个简单的数据集开始学习。先看下数据集有哪些数据：
这个数据有两维特征，因此可以将数据在一个二维平面上展示出来。我们可以将第一列数据(X1)看作x轴上的值，第二列数据(X2)看作y轴上的值。而最后一列数据即为分类标签。根据标签的不同，对这些点进行分类。
编写代码，查看数据集分布情况
python
# -*- coding:UTF-8 -*-
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
def loadDataSet():
dataMat = [] #创建数据列表
labelMat = [] #创建标签列表
fr = open('testSet.txt') #打开文件
for line in fr.readlines(): #逐行读取
lineArr = line.strip().split() #去回车，放入列表
dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])]) #添加数据
labelMat.append(int(lineArr[2])) #添加标签
fr.close() #关闭文件
return dataMat, labelMat #返回
def plotDataSet():
dataMat, labelMat = loadDataSet() #加载数据集
dataArr = np.array(dataMat) #转换成numpy的array数组
n = np.shape(dataMat)[0] #数据个数
xcord1 = []; ycord1 = [] #正样本
xcord2 = []; ycord2 = [] #负样本
for i in range(n): #根据数据集标签进行分类
if int(labelMat[i]) == 1:
xcord1.append(dataArr[i,1]); ycord1.append(dataArr[i,2]) #1为正样本
else:
xcord2.append(dataArr[i,1]); ycord2.append(dataArr[i,2]) #0为负样本
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111) #添加subplot
ax.scatter(xcord1, ycord1, s = 20, c = 'red', marker = 's',alpha=.5)#绘制正样本
ax.scatter(xcord2, ycord2, s = 20, c = 'green',alpha=.5) #绘制负样本
plt.title('DataSet') #绘制title
plt.xlabel('x'); plt.ylabel('y') #绘制label
plt.show() #显示
if __name__ == '__main__':
plotDataSet()
从上图可以看出数据的分布情况。假设Sigmoid函数的输入记为z，那么z=w0x0 + w1x1 + w2x2，即可将数据分割开。其中，x0为全是1的向量，x1为数据集的第一列数据，x2为数据集的第二列数据。另z=0，则0=w0 + w1x1 + w2x2。横坐标为x1，纵坐标为x2。这个方程未知的参数为w0，w1，w2，也就是我们需要求的回归系数(最优参数)。
训练算法
将梯度上升公式矢量化：
根据矢量化的公式，编写代码：
python
# -*- coding:UTF-8 -*-
import numpy as np
def loadDataSet():
dataMat = [] #创建数据列表
labelMat = [] #创建标签列表
fr = open('testSet.txt') #打开文件
for line in fr.readlines(): #逐行读取
lineArr = line.strip().split() #去回车，放入列表
dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])]) #添加数据
labelMat.append(int(lineArr[2])) #添加标签
fr.close() #关闭文件
return dataMat, labelMat #返回
def sigmoid(inX):
return 1.0 / (1 + np.exp(-inX))
def gradAscent(dataMatIn, classLabels):
dataMatrix = np.mat(dataMatIn) #转换成numpy的mat
labelMat = np.mat(classLabels).transpose() #转换成numpy的mat,并进行转置
m, n = np.shape(dataMatrix) #返回dataMatrix的大小。m为行数,n为列数。
alpha = 0.001 #移动步长,也就是学习速率,控制更新的幅度。
maxCycles = 500 #最大迭代次数
weights = np.ones((n,1))
for k in range(maxCycles):
h = sigmoid(dataMatrix * weights) #梯度上升矢量化公式
error = labelMat - h
weights = weights + alpha * dataMatrix.transpose() * error
return weights.getA() #将矩阵转换为数组，返回权重数组
if __name__ == '__main__':
dataMat, labelMat = loadDataSet()
print(gradAscent(dataMat, labelMat))
可以看出，我们已经求解出回归系数[w0,w1,w2]。
通过求解出的参数，我们就可以确定不同类别数据之间的分隔线，画出决策边界。
已经解出了一组回归系数，它确定了不同类别数据之间的分隔线。现在开始绘制这个分隔线，编写代码如下：
python
# -*- coding:UTF-8 -*-
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
def loadDataSet():
dataMat = [] #创建数据列表
labelMat = [] #创建标签列表
fr = open('testSet.txt') #打开文件
for line in fr.readlines(): #逐行读取
lineArr = line.strip().split() #去回车，放入列表
dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])]) #添加数据
labelMat.append(int(lineArr[2])) #添加标签
fr.close() #关闭文件
return dataMat, labelMat #返回
def sigmoid(inX):
return 1.0 / (1 + np.exp(-inX))
def gradAscent(dataMatIn, classLabels):
dataMatrix = np.mat(dataMatIn) #转换成numpy的mat
labelMat = np.mat(classLabels).transpose() #转换成numpy的mat,并进行转置
m, n = np.shape(dataMatrix) #返回dataMatrix的大小。m为行数,n为列数。
alpha = 0.001 #移动步长,也就是学习速率,控制更新的幅度。
maxCycles = 500 #最大迭代次数
weights = np.ones((n,1))
for k in range(maxCycles):
h = sigmoid(dataMatrix * weights) #梯度上升矢量化公式
error = labelMat - h
weights = weights + alpha * dataMatrix.transpose() * error
return weights.getA() #将矩阵转换为数组，返回权重数组
def plotBestFit(weights):
dataMat, labelMat = loadDataSet() #加载数据集
dataArr = np.array(dataMat) #转换成numpy的array数组
n = np.shape(dataMat)[0] #数据个数
xcord1 = []; ycord1 = [] #正样本
xcord2 = []; ycord2 = [] #负样本
for i in range(n): #根据数据集标签进行分类
if int(labelMat[i]) == 1:
xcord1.append(dataArr[i,1]); ycord1.append(dataArr[i,2]) #1为正样本
else:
xcord2.append(dataArr[i,1]); ycord2.append(dataArr[i,2]) #0为负样本
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111) #添加subplot
ax.scatter(xcord1, ycord1, s = 20, c = 'red', marker = 's',alpha=.5)#绘制正样本
ax.scatter(xcord2, ycord2, s = 20, c = 'green',alpha=.5) #绘制负样本
x = np.arange(-3.0, 3.0, 0.1)
y = (-weights[0] - weights[1] * x) / weights[2]
ax.plot(x, y)
plt.title('BestFit') #绘制title
plt.xlabel('X1'); plt.ylabel('X2') #绘制label
plt.show()
if __name__ == '__main__':
dataMat, labelMat = loadDataSet()
weights = gradAscent(dataMat, labelMat)
plotBestFit(weights)
这个分类结果相当不错，从上图可以看出，只分错了几个点而已。但是，尽管例子简单切数据集很小，但是这个方法却需要大量的计算(300次乘法)。
改进算法
梯度上升算法在每次更新回归系数(最优参数)时，都需要遍历整个数据集。可以看一下我们之前写的梯度上升算法：
python
def gradAscent(dataMatIn, classLabels):
dataMatrix = np.mat(dataMatIn) #转换成numpy的mat
labelMat = np.mat(classLabels).transpose() #转换成numpy的mat,并进行转置
m, n = np.shape(dataMatrix) #返回dataMatrix的大小。m为行数,n为列数。
alpha = 0.01 #移动步长,也就是学习速率,控制更新的幅度。
maxCycles = 500 #最大迭代次数
weights = np.ones((n,1))
for k in range(maxCycles):
h = sigmoid(dataMatrix * weights) #梯度上升矢量化公式
error = labelMat - h
weights = weights + alpha * dataMatrix.transpose() * error
return weights.getA(),weights_array #将矩阵转换为数组，返回权重数组假设，我们使用的数据集一共有100个样本。那么，dataMatrix就是一个100*3的矩阵。每次计算h的时候，都要计算dataMatrix*weights这个矩阵乘法运算，要进行100*3次乘法运算和100*2次加法运算。同理，更新回归系数(最优参数)weights时，也需要用到整个数据集，要进行矩阵乘法运算。总而言之，该方法处理100个左右的数据集时尚可，但如果有数十亿样本和成千上万的特征，那么该方法的计算复杂度就太高了。因此，需要对算法进行改进，我们每次更新回归系数(最优参数)的时候，能不能不用所有样本呢？一次只用一个样本点去更新回归系数(最优参数)？这样就可以有效减少计算量了，这种方法就叫做随机梯度上升算法。
随机梯度上升算法
python
def stocGradAscent1(dataMatrix, classLabels, numIter=150):
m,n = np.shape(dataMatrix) #返回dataMatrix的大小。m为行数,n为列数。
weights = np.ones(n) #参数初始化
for j in range(numIter):
dataIndex = list(range(m))
for i in range(m):
alpha = 4/(1.0+j+i)+0.01 #降低alpha的大小，每次减小1/(j+i)。
randIndex = int(random.uniform(0,len(dataIndex))) #随机选取样本
h = sigmoid(sum(dataMatrix[dataIndex[randIndex]]*weights)) #选择随机选取的一个样本，计算h
error = classLabels[dataIndex[randIndex]] - h #计算误差
weights = weights + alpha * error * dataMatrix[dataIndex[randIndex]] #更新回归系数
del(dataIndex[randIndex]) #删除已经使用的样本
return weights #返回该算法第一个改进之处在于，alpha在每次迭代的时候都会调整，并且，虽然alpha会随着迭代次数不断减小，但永远不会减小到0，因为这里还存在一个常数项。必须这样做的原因是为了保证在多次迭代之后新数据仍然具有一定的影响。如果需要处理的问题是动态变化的，那么可以适当加大上述常数项，来确保新的值获得更大的回归系数。另一点值得注意的是，在降低alpha的函数中，alpha每次减少1/(j+i)，其中j是迭代次数，i是样本点的下标。第二个改进的地方在于更新回归系数(最优参数)时，只使用一个样本点，并且选择的样本点是随机的，每次迭代不使用已经用过的样本点。这样的方法，就有效地减少了计算量，并保证了回归效果 。
编写代码，看效果
总结
Logistic回归的一般过程：
- 收集数据：采用任意方法收集数据。
- 准备数据：由于需要进行距离计算，因此要求数据类型为数值型。另外，结构化数据格式则最佳。
- 分析数据：采用任意方法对数据进行分析。
- 训练算法：大部分时间将用于训练，训练的目的是为了找到最佳的分类回归系数。
- 测试算法：一旦训练步骤完成，分类将会很快。
- 使用算法：首先，我们需要输入一些数据，并将其转换成对应的结构化数值；接着，基于训练好的回归系数，就可以对这些数值进行简单的回归计算，判定它们属于哪个类别；在这之后，我们就可以在输出的类别上做一些其他分析工作。