逆矩阵计算

目录

一、逆矩阵的定义

[核心:AB = BA = E](#核心:AB = BA = E)

1)定义

2)注意

[3)逆矩阵存在的条件|A| != 0](#3)逆矩阵存在的条件|A| != 0)

二、核心公式:

三、求逆矩阵(核心考点)

1、伴随矩阵法

2、初等变换法(重点掌握!!)

3、如何理解?

4、什么是初等矩阵?

5、三个基本的初等变换


一、逆矩阵的定义

核心:AB = BA = E

1)定义

A、B为同阶矩阵,如果存在**AB = BA = E,**即称B为A的逆矩阵,同理,A也是B的逆矩阵。

记作

2)注意

1)不是所有的矩阵都存在逆矩阵

2)只有方阵才存在逆矩阵

3)如果逆矩阵存在,逆矩阵唯一

3)逆矩阵存在的条件|A| != 0

二、核心公式:

三、求逆矩阵(核心考点)

1、伴随矩阵法

这个方法很操蛋,但凡正常理智的人都不会这样去算,因为这是根据公式来计算的,需要计算出|A|和伴随,计算量可想而知,因此事实上伴随阵就是属于所谓鸡肋,食之无味,弃之可惜。

2、初等变换法(重点掌握!!)

例题:求A的逆矩阵

1)写出(A,E)

2)利用初等变换,行列均可,将A化成单位阵;同时,右边的单位阵E也进行与A相同的初等变换。通俗来说,就是A怎么变,E也怎么变。举个例子,A中的第1行和第3行交换,E也第1行和第3行交换。最后,当A化为单位阵,E就是

3、如何理解?

其实非常简单,对于两个矩阵(A,E),

带进去后:(A,E),

你会发现:

A = E

E =

这个括号内的东西,就是我们要求的逆矩阵。

为什么可以这样呢?

因为我们做的一系列的变换,

事实上,本质上,就是对A和E都乘以一个,对不对?

而,要理解这个计算的关键点在于:一个可逆矩阵可以写成一系列初等矩阵的乘积

所以,事实上,我们是将化成了一系列的初等矩阵。

4、什么是初等矩阵?

对单位阵进行一次初等变换所得到的矩阵叫做初等矩阵。

5、三个基本的初等变换

1、某两行(列)交换位置

2、某一行(列)乘某一个数

3、某一行(列)乘以某一个数加到另一行(列)

注意:A乘一个初等矩阵,相当于对A做相应的初等变换

A乘一个初等矩阵,相当于对A做相应的初等变换

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