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旋转的表示
三维空间内的旋转可以由三维旋转向量 n θ \bm n \theta nθ 表示。其中，单位向量 n \bm n n 表示旋转轴， θ \theta θ 表示旋转角度。旋转向量由一个轴和一个角表示，因此又称轴角，它是李代数 s o ( 3 ) \frak {so}(3) so(3) 空间中的向量。
1.旋转轴的性质
我们使用 n ∧ \bm n^ \land n∧ 表示向量 n \bm n n 的反对称矩阵，则它的平方
n ∧ 2 = [ 0 − n 3 n 2 n 3 0 − n 1 − n 2 n 1 0 ] [ 0 − n 3 n 2 n 3 0 − n 1 − n 2 n 1 0 ] = [ − n 2 2 − n 3 2 n 1 n 2 n 1 n 3 n 1 n 2 − n 1 2 − n 3 2 n 2 n 3 n 1 n 3 n 2 n 3 − n 1 2 − n 2 2 ] \bm n^ {\land 2} = \begin{bmatrix} 0 & -n_3 & n_2 \\ n_3 & 0 & -n_1 \\ -n_2 & n_1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -n_3 & n_2 \\ n_3 & 0 & -n_1 \\ -n_2 & n_1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -n_2^2 - n_3^2 & n_1n_2 & n_1n_3 \\ n_1n_2 & -n_1^2 - n_3^2 & n_2n_3 \\ n_1n_3 & n_2n_3 & -n_1^2 - n_2^2 \end{bmatrix} n∧2= 0n3−n2−n30n1n2−n10 0n3−n2−n30n1n2−n10 = −n22−n32n1n2n1n3n1n2−n12−n32n2n3n1n3n2n3−n12−n22
于是
I + n ∧ 2 = n n T (1) \bm I + \bm n^ {\land 2} = \bm n \bm n^{\rm T} \tag{1} I+n∧2=nnT(1)
2.罗德里格斯公式
罗德里格斯公式用于根据旋转向量（即，轴角， s o ( 3 ) \frak {so}(3) so(3) 空间中的向量）求旋转矩阵。它有两种等价的表示形式：
R = { I + n ∧ 2 ( 1 − c o s θ ) + n ∧ s i n θ I c o s θ + n n T ( 1 − c o s θ ) + n ∧ s i n θ \bm R = \left\{\begin{aligned} & \bm I + \bm n^ {\land 2}(1 - cos\theta) + \bm n^ \land sin\theta \\ & \bm I cos\theta + \bm n \bm n^{\rm T} (1 - cos\theta) + \bm n^ \land sin\theta \end{aligned}\right. R={I+n∧2(1−cosθ)+n∧sinθIcosθ+nnT(1−cosθ)+n∧sinθ
使用公式 (1) 可以证明这两种形式等价。
3.右雅可比矩阵
右雅可比矩阵也有两种等价的形式：
J r = { I + n ∧ 2 ( 1 − s i n θ θ ) − n ∧ 1 − c o s θ θ I s i n θ θ + n n T ( 1 − s i n θ θ ) − n ∧ 1 − c o s θ θ \bm J_r = \left\{\begin{aligned} & \bm I + \bm n^ {\land 2} (1 - \frac{sin\theta}{\theta}) - \bm n^ \land \frac{1 - cos\theta}{\theta} \\ & \bm I \frac{sin\theta}{\theta} + \bm n \bm n^{\rm T} (1 - \frac{sin\theta}{\theta}) - \bm n^ \land \frac{1 - cos\theta}{\theta} \end{aligned}\right. Jr=⎩ ⎨ ⎧I+n∧2(1−θsinθ)−n∧θ1−cosθIθsinθ+nnT(1−θsinθ)−n∧θ1−cosθ
使用公式 (1) 可以证明这两种形式等价。以 − θ -\theta −θ 替换 θ \theta θ 即可得到左雅可比矩阵。