什么是FFT？
FFT（Fast Fourier Transformation） 是离散傅氏变换（DFT）的快速算法，即快速傅氏变换。FFT使计算机计算离散傅里叶变换所需要的乘法次数大为减少，特别是被变换的抽样点数N越多，FFT算法计算量的节省就越显著。FFT可以将多项式乘法的复杂度从 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)降到 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)。
下图是FFT的整体计算流程，FFT变换的复杂度为 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)，FFT域上的pointwise乘法的复杂度为 O ( n ) O(n) O(n)，逆FFT变换的复杂度为 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)，总体复杂度为 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)。
多项式的表示方法
方法1：系数表示
从多项式函数的定义，将所有系数视为系数向量，而由全部系数组成的向量 a a a叫做该多项式的系数表达:
f ( x ) = ∑ i = 0 n − 1 a i x i f(x)=\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i f(x)=i=0∑n−1aixi
a = ( a 0 , a 2 , ... , a n − 1 ) a=(a_0 ,a_2, \dots, a_{n-1}) a=(a0,a2,...,an−1)
举个简单的例子： f ( x ) = 5 x 0 + 6 x 1 + 7 x 2 f(x)=5x^0+6x^1+7x^2 f(x)=5x0+6x1+7x2的系数表示为 { 5 , 6 , 7 } \{5, 6, 7\} {5,6,7}。反之， { 5 , 6 , 7 } \{5, 6, 7\} {5,6,7}的系数编码结果为 f ( x ) = 5 x 0 + 6 x 1 + 7 x 2 f(x)=5x^0+6x^1+7x^2 f(x)=5x0+6x1+7x2。
系数表示特点是对多项式加法友好，时间复杂度是 O ( n ) O(n) O(n)。但是对多项式乘法不友好，采用多项式逐项相乘，时间复杂度仍为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。
注：系数表示的乘法表示卷积操作。
方法2：点值表示
任意选取 n n n个不同的自变量 x x x带入多项式函数 f ( x ) f(x) f(x)进行求值运算，将得到 n n n个不同的结果。于是，多项式的点值表达就是由这 n n n个数值点组成的集合：
{ ( x 0 , f ( x 0 ) ) , ( x 1 , f ( x 1 ) ) , ... , ( x n − 1 , f ( x n − 1 ) ) } \{(x_0, f(x_0)), (x_1, f(x_1)), \dots, (x_{n-1}, f(x_{n-1}))\} {(x0,f(x0)),(x1,f(x1)),...,(xn−1,f(xn−1))}
举个简单的例子： f ( x ) = 5 x 0 + 6 x 1 + 7 x 2 f(x)=5x^0+6x^1+7x^2 f(x)=5x0+6x1+7x2的点值表示为 { ( 0 , f ( 0 ) ) , ( 1 , f ( 1 ) ) , ( 2 , f ( 2 ) ) } \{(0, f(0)), (1, f(1)), (2, f(2))\} {(0,f(0)),(1,f(1)),(2,f(2))}。反之， { 5 , 6 , 7 } \{5, 6, 7\} {5,6,7}的点值编码应该满足 f ( 0 ) = 5 , f ( 1 ) = 6 , f ( 2 ) = 7 f(0)=5, f(1)=6, f(2)=7 f(0)=5,f(1)=6,f(2)=7
点值表示的特点是对多项式乘法友好，时间复杂度是 O ( n ) O(n) O(n)【因为可以做element-wise乘法（EWMM）】，但是多项式加法不友好。
复数
复数的定义：设 a , b a, b a,b为实数，则 z = a + b i z = a + bi z=a+bi的数称为复数，其中 a a a称为实部， b b b称为虚部。
复数的模为： ∣ z ∣ = a 2 + b 2 |z|=\sqrt{a^2+b^2} ∣z∣=a2+b2 。一个复数的共轭复数为： z ‾ = a − b i \overline{z}=a-bi z=a−bi，即改变虚部的符号。
单位复数根
对于任意一个复数 ω \omega ω，其 n n n次幂的结果为1，就称复数 ω \omega ω是 n n n次单位复数根，即
ω n = 1 \omega^n=1 ωn=1
可以看到， n n n次单位复数根有 n n n个，其几何意义为： n n n个单位复数根均匀地分布在以复平面原点为圆心的单位圆上。
在几何意义的单位圆中，我们将圆周角 2 π 2\pi 2π均分成 n n n份，则 2 π n \frac{2\pi}{n} n2π叫做单位根的幅角。
由欧拉公式：
e i 2 π n = c o s 2 π n + i s i n 2 π n e^{i\frac{2\pi}{n}} = cos \frac{2\pi}{n} + i sin \frac{2\pi}{n} ein2π=cosn2π+isinn2π
定义 ω n \omega_n ωn表示一个 n n n次单位根：
ω n = e i 2 π n \omega_n = e^{i\frac{2\pi}{n}} ωn=ein2π
ω n \omega_n ωn也是主 n n n次单位根，其余 w n 1 、 w n 2 w_{n}^{1}、w_{n}^{2} wn1、wn2等叫做 n n n次单位根的幂次，记为：
ω n k = e i 2 k π n , k = 0 , 1 , ... , n − 1 \omega_{n}^{k} = e^{i\frac{2k\pi}{n}}, k=0,1,\dots,n-1 ωnk=ein2kπ,k=0,1,...,n−1
于是，很容易知道：
ω n 0 = ω n n = 1 , ω n n 2 = − 1 \omega_n^0=\omega_n^n=1, \omega_n^{\frac{n}{2}}=-1 ωn0=ωnn=1,ωn2n=−1
单位复数根的性质1：消去引理
ω d n d k = e i 2 d k π d n = e i 2 k π n = w n k \omega_{dn}^{dk} = e^{i\frac{2dk\pi}{dn}}=e^{i\frac{2k\pi}{n}}=w_{n}^{k} ωdndk=eidn2dkπ=ein2kπ=wnk
单位复数根的性质1：折半引理
ω n k + n 2 = ω n k ω n n 2 = − ω n k \omega_{n}^{k+\frac{n}{2}} = \omega_{n}^{k}\omega_{n}^{\frac{n}{2}}=-\omega_{n}^{k} ωnk+2n=ωnkωn2n=−ωnk
于是也可以得到：
( ω n k + n 2 ) 2 = ( − ω n k ) 2 = ( ω n k ) 2 = ω n 2 k = ω n 2 k (\omega_{n}^{k+\frac{n}{2}})^2=(-\omega_{n}^{k})^2=(\omega_{n}^{k})^2=\omega_{n}^{2k}=\omega_{\frac{n}{2}}^{k} (ωnk+2n)2=(−ωnk)2=(ωnk)2=ωn2k=ω2nk
好处是将 n n n降到了原来的一半。
DFT：离散傅立叶变换
假设多项式：
A ( x ) = ∑ i = 0 n − 1 a i x i A(x)=\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i A(x)=i=0∑n−1aixi
把 n n n次单位根的幂次 x = ω n k x=\omega_n^k x=ωnk分别代入多项式：
y k = A ( ω n k ) = ∑ i = 0 n − 1 a i ω n k i , k = 0 , 1 , ... , n − 1 y_k = A(\omega_n^k)=\sum_{i=0}^{n-1}a_i\omega_n^{ki}, k=0,1,\dots,n-1 yk=A(ωnk)=i=0∑n−1aiωnki,k=0,1,...,n−1
记 y = ( y 0 , y 1 , ... , y n − 1 ) y=(y_0, y_1, \dots, y_{n-1}) y=(y0,y1,...,yn−1)是系数向量 a = ( a 0 , a 1 , ... , a n − 1 ) a=(a_0, a_1,\dots,a_{n-1}) a=(a0,a1,...,an−1)的离散傅立叶变换，即DFT。
IDFT：离散傅立叶逆变换
a j = 1 n ∑ k = 0 n − 1 y k ω n − k i a_j = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}y_k\omega_n^{-ki} aj=n1k=0∑n−1ykωn−ki
DFT对应多项式求值
IDFT对应插值，求多项式系数
值得注意的是，DFT的复杂度仍然是 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。
FFT和蝶形计算
FFT的原理是将多项式分解成奇偶两部分，并用分治的思想依次计算下去。
A ( x ) = a 0 + a 1 x 1 + ⋯ + a n − 1 x n − 1 A(x)=a_0+a_1x^1+\dots+a_{n-1}x^{n-1} A(x)=a0+a1x1+⋯+an−1xn−1
A 0 ( x ) = a 0 + a 2 x 1 + ⋯ + a n − 2 x n − 2 2 A_0(x)=a_0+a_2x^1+\dots+a_{n-2}x^{\frac{n-2}{2}} A0(x)=a0+a2x1+⋯+an−2x2n−2
A 1 ( x ) = a 1 + a 3 x 1 + ⋯ + a n − 1 x n − 2 2 A_1(x)=a_1+a_3x^1+\dots+a_{n-1}x^{\frac{n-2}{2}} A1(x)=a1+a3x1+⋯+an−1x2n−2
A ( x ) = A 0 ( x 2 ) + x A 1 ( x 2 ) A(x)=A_0(x^2)+xA_1(x^2) A(x)=A0(x2)+xA1(x2)
证明：
A ( x ) = A 0 ( x 2 ) + x A 1 ( x 2 ) = a 0 + a 2 x 2 + a 4 x 4 + ⋯ + a n − 2 x n − 2 + a 1 x 1 + a 3 x 3 + a 5 x 5 + ⋯ + a n − 1 x n − 1 A(x)=A_0(x^2)+xA_1(x^2)=a_0+a_2x^2+a_4x^4+\dots+a_{n-2}x^{n-2}+\\a_1x^1+a_3x^3+a_5x^5+\dots+a_{n-1}x^{n-1} A(x)=A0(x2)+xA1(x2)=a0+a2x2+a4x4+⋯+an−2xn−2+a1x1+a3x3+a5x5+⋯+an−1xn−1
得证！
将 x = ω n k x=\omega_n^k x=ωnk代入 A ( x ) = A 0 ( x 2 ) + x A 1 ( x 2 ) A(x)=A_0(x^2)+xA_1(x^2) A(x)=A0(x2)+xA1(x2)中，得到：
A ( ω n k ) = A 0 ( ω n 2 k ) + ω n k A 1 ( ω n 2 k ) = A 0 ( ω n 2 k ) + ω n k A 1 ( ω n 2 k ) A(\omega_n^k)=A_0(\omega_n^{2k})+\omega_n^kA_1(\omega_n^{2k})=A_0(\omega_{\frac{n}{2}}^{k})+\omega_n^kA_1(\omega_{\frac{n}{2}}^{k}) A(ωnk)=A0(ωn2k)+ωnkA1(ωn2k)=A0(ω2nk)+ωnkA1(ω2nk)
将 x = ω n k + n 2 x=\omega_n^{k+\frac{n}{2}} x=ωnk+2n代入 A ( x ) = A 0 ( x 2 ) + x A 1 ( x 2 ) A(x)=A_0(x^2)+xA_1(x^2) A(x)=A0(x2)+xA1(x2)中，得到：
A ( ω n k + n 2 ) = A 0 ( ω n 2 k + n ) + ω n k + n 2 A 1 ( ω n 2 k + n ) = A 0 ( ω n 2 k ) − ω n k A 1 ( w n 2 k ) = A 0 ( ω n 2 k ) − ω n k A 1 ( w n 2 k ) A(\omega_n^{k+\frac{n}{2}})=A_0(\omega_n^{2k+n}) + \omega_n^{k+\frac{n}{2}}A_1(\omega_n^{2k+n})=A_0(\omega_n^{2k})-\omega_n^kA_1(w_n^{2k})=A_0(\omega_{\frac{n}{2}}^{k})-\omega_n^kA_1(w_{\frac{n}{2}}^{k}) A(ωnk+2n)=A0(ωn2k+n)+ωnk+2nA1(ωn2k+n)=A0(ωn2k)−ωnkA1(wn2k)=A0(ω2nk)−ωnkA1(w2nk)
我们发现， A ( ω n k ) A(\omega_n^k) A(ωnk)和 A ( ω n k + n 2 ) A(\omega_n^{k+\frac{n}{2}}) A(ωnk+2n)的第一项完全相同，仅第二项为相反数。因此，如果知道 A 0 ( ω n 2 k ) A_0(\omega^k_{\frac{n}{2}}) A0(ω2nk)和 A 1 ( ω n 2 k ) A_1(\omega^k_{\frac{n}{2}}) A1(ω2nk)的值，我们就可以同时知道 A ( ω n k ) A(\omega^k_n) A(ωnk)和 A ( ω n k + n 2 ) A(\omega^{k+{n\over 2}}_n) A(ωnk+2n)，所以可以用分治思想计算FFT，原问题的规模缩减了一半。
总结一下，FFT的计算如下：
A ( ω n k ) = A 0 ( ω n 2 k ) + ω n k A 1 ( ω n 2 k ) A(\omega_n^k)=A_0(\omega_{\frac{n}{2}}^{k})+\omega_n^kA_1(\omega_{\frac{n}{2}}^{k}) A(ωnk)=A0(ω2nk)+ωnkA1(ω2nk)
A ( ω n k + n 2 ) = A 0 ( ω n 2 k ) − ω n k A 1 ( w n 2 k ) A(\omega_n^{k+\frac{n}{2}})=A_0(\omega_{\frac{n}{2}}^{k})-\omega_n^kA_1(w_{\frac{n}{2}}^{k}) A(ωnk+2n)=A0(ω2nk)−ωnkA1(w2nk)
可以通过这样的方式将一个多项式一直分解下去，如下图是对16点输入的分解：
在计算FFT时，需要成对的点做蝶形运算，这里成对的点就是0和8、4和12等，这个分组的过程可以用bit reverse实现。
8点FFT计算图示：
每一对数的蝶形运算：
Bit Reverse确定蝶形运算对
从下面这个8点FFT可以很清楚地看到，FFT蝶形运算时打乱了输入的顺序（倒位序），倒位序是由bit reverse操作得到的。
FFT的输入为倒位序，输出为自然顺序。
Bit reverse的原理其实并不复杂，从上文中16点输入的奇偶分解那个图就很容易看出来。
RFFT和FFT
RFFT中的R是实数的意思，RFFT是FFT的特殊版本，为实数输入设计。RFFT利用了实数的傅立叶变换为共轭对称这个事实，因此RFFT只需要计算一半的傅立叶变换系数。所以RFFT效率明显高于FFT，并且也只有一半的存储开销。
因此，当我们的输入为实数时（比如图像卷积任务），我们就可以利用实数的傅立叶变换为共轭对称这个特性，用RFFT替换FFT来提高计算效率。
实数的FFT为什么是共轭对称？
我们直接看DFT的计算公式（把上文中的索引i改成了t，方便和复数i区分开）：
A ( ω n k ) = ∑ t = 0 n − 1 a t ω n k t A(\omega_n^k)=\sum_{t=0}^{n-1}a_t\omega_n^{kt} A(ωnk)=t=0∑n−1atωnkt
其中,
ω n k = e i 2 k π n \omega_{n}^{k} = e^{i\frac{2k\pi}{n}} ωnk=ein2kπ
于是，代入得到：
A ( ω n k ) = ∑ t = 0 n − 1 a t e i 2 k t π n ( 1 ) A(\omega_n^k)=\sum_{t=0}^{n-1}a_t e^{i\frac{2kt\pi}{n}}~~~~(1) A(ωnk)=t=0∑n−1atein2ktπ (1)
同时，我们可以计算出与上面点对称的点：
ω n n − k = e i 2 ( n − k ) π n \omega_n^{n-k}=e^{i\frac{2(n-k)\pi}{n}} ωnn−k=ein2(n−k)π
同样，代入得到：
A ( ω n n − k ) = ∑ t = 0 n − 1 a t ω n ( n − k ) t A(\omega_n^{n-k})=\sum_{t=0}^{n-1}a_t \omega_n^{(n-k)t} A(ωnn−k)=t=0∑n−1atωn(n−k)t
其中，
ω n ( n − k ) t = ω n n t − k t = ω n n t / ω n k t = ω n − k t \omega_n^{(n-k)t}=\omega_n^{nt-kt}=\omega_n^{nt}/\omega_n^{kt}=\omega_n^{-kt} ωn(n−k)t=ωnnt−kt=ωnnt/ωnkt=ωn−kt
于是，
A ( ω n n − k ) = ∑ t = 0 n − 1 a t ω n − k t = ∑ t = 0 n − 1 a t e − i 2 k t π n ( 2 ) A(\omega_n^{n-k})=\sum_{t=0}^{n-1}a_t \omega_n^{-kt}=\sum_{t=0}^{n-1}a_t e^{-i\frac{2kt\pi}{n}}~~~~(2) A(ωnn−k)=t=0∑n−1atωn−kt=t=0∑n−1ate−in2ktπ (2)
容易发现，式（1）和（2）只是在 e e e的指数上为相反数关系！
根据欧拉公式，对于（1）：
e i 2 k t π n = c o s 2 k t π n + i s i n 2 k t π n e^{i\frac{2kt\pi}{n}}=cos\frac{2kt\pi}{n}+isin\frac{2kt\pi}{n} ein2ktπ=cosn2ktπ+isinn2ktπ
对于（2）：
e − i 2 k t π n = c o s 2 k t π n − i s i n 2 k t π n e^{-i\frac{2kt\pi}{n}}=cos\frac{2kt\pi}{n}-isin\frac{2kt\pi}{n} e−in2ktπ=cosn2ktπ−isinn2ktπ
证毕！