代码随想录算法训练营第四十一天 | 343.整数拆分、66.不同的二叉搜索树

343.整数拆分

题目链接：343.整数拆分

给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。

返回 你可以获得的最大乘积 。

文章讲解/视频讲解：https://programmercarl.com/0343.整数拆分.html

思路

首先设置dp数组，dp数组中的每一位代表着当前下标所代表的整数，可以得到的乘积最大值。

初始化时，dp[0] = 0, dp[1] = 1;其余下标均初始化为零。

动态规划的递推公式：

C++ 复制代码

int value1 = max(j, dp[j]), value2 = max(i - j, dp[i - j]);
dp[i] = max(dp[i], value1 * value2);

其中j的范围为 $0, i/2$ 。

注意，因为这里dp下标的每一个值为k个正整数乘积的最大值，而k大于等于2，因此存在一种可能，j > dp $j$ ，比如当j = 3时，dp $j$ = 2。

C++实现

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, 0);
        dp[0] = 0, dp[1] = 1;

        for(int i = 2;i<=n;i++){
            for(int j = 0;j<=i / 2;j++){
                int value1 = max(j, dp[j]), value2 = max(i - j, dp[i - j]);
                dp[i] = max(dp[i], value1 * value2);
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

66.不同的二叉搜索树

题目链接：66.不同的二叉搜索树

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

文章讲解/视频讲解：https://programmercarl.com/0096.不同的二叉搜索树.html

思路

这道题的递推式挺不好想的。

首先确定一下dp数组以及下标的含义。dp $i$ 为i个不同元素节点组成的二叉搜索树的个数。

递推公式：dp $i$ += dp $以j为头结点左子树节点数量$ * dp $以j为头结点右子树节点数量$ ，所以递推公式为：dp $i$ += dp $j - 1$ * dp $i - j$ ，j-1 为j为头结点左子树节点数量，i-j 为以j为头结点右子树节点数量。

初始化时，dp $0$ = 1。在遍历时，采用两层循环，外层循环遍历i，即代表当前二叉搜索树的个数，内存循环遍历j。

C++实现

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for(int i = 1;i<=n;i++){
            for(int j = 1;j<=i;j++){
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};