蓝桥杯之即约分数

求1~N的所有即约分数

公约数求法：可以使用欧几里得除法求得公约数

算法原理：

a,b为两个整数，a>b

a除以b的商q1和余数r1

如果r1为0，则最大公约数就为b

如果不为0，则继续使用b除以r取商为q2,余r2

如果r2为0，则最大公约数是r1，

如果不为0，则继续使用r2除以r1

递归思想，始终是上一次的除数除以上一次的余数，然后判断是否本次余数为0否，为0，则返回除数

复制代码

gcd(a,b)
return gcd(b,a%b);
当然，递归要加终止条件

完整版
int gcd(int a,int b )
{
if (b==0) return a;
	return gcd(b,a%b);
}

最终代码：

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int gcd(int a,int b);
signed main()
{
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=2020;i++)	
	{
        for(int j=1;j<=i;j++)
		//if(__gcd(i,j)==1) ans++;
			if(gcd(i,j)==1) ans++;
	}
	cout<<2*ans-1<<endl;
	return 0;
	
	
	
}
int gcd(int a,int b )
{
if (b==0) return a;
	return gcd(b,a%b);
}

这里，最小公倍数就也很好计算了，
两个数相乘，除以最大公约数就是最小公倍数

改进算法

求即约分数，即要求分子与分母互质，互为质数。根据数论知识，1~n中与n互质的数的个数称为欧拉函数，记作phi[n]。
唯一分解定理 ，任何一个数，要么本身是质数，要么可以分解为有限个质数的乘积。

根据欧拉公式和唯一分解定理，可得算法如下：

复制代码

唯一分解定理

```cpp
//唯一分解定理，能够把任意一个数分解成有限个质数的相乘
int getPrime(int p[],int n)
{
	int k=0;//记录质数的个数
	for(int i=2;i*i<=n;i++)
	{
		if(n%i==0) p[++k]=i;//如果能够被除掉，说明i就是其一个质数
		while(n%i==0) n/=i;//等同于n=n/i,出去其重复因子
		
	}
	if(n>1) p[++k]=n;//前面没有一个数满足要求，则这个数质数因子只有是n本身了
	return k;	
}
```

求Euler函数

复制代码

```cpp
//求解欧拉函数
int getEuler(int n)
{
   int phi=n;
   int k=getPrime(P,n);
	for(int i=1;i<=k;i++)
	{
		phi=phi-phi/P[i];
	}
	return phi;
}
```

全部代码如下：

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int P[2020]={0};
//唯一分解定理，能够把任意一个数分解成有限个质数的相乘
int getPrime(int p[],int n)
{
	int k=0;//记录质数的个数
	for(int i=2;i*i<=n;i++)
	{
		if(n%i==0) p[++k]=i;//如果能够被除掉，说明i就是其一个质数
		while(n%i==0) n/=i;//等同于n=n/i,出去其重复因子
		
	}
	if(n>1) p[++k]=n;//前面没有一个数满足要求，则这个数质数因子只有是n本身了
	return k;	
}
//求解欧拉函数
int getEuler(int n)
{
   int phi=n;
   int k=getPrime(P,n);
	for(int i=1;i<=k;i++)
	{
		phi=phi-phi/P[i];
	}
	return phi;
}

int main()
{
	int ans=0;
	int ans1=0;
	ans=getPrime(P,2020);	
	for(int i=1;i<=2020;i++)
		ans1+=getEuler(i);
	cout<<2*ans1-1<<endl;
	return 0;
}