梅氏定理和塞瓦定理
目录
- 一、说明
- 二、梅涅劳斯（Menelaus）定理
- [三、塞瓦(Giovanni Ceva）定理](#三、塞瓦(Giovanni Ceva）定理)
- 四、塞瓦点的推广
一、说明
在射影几何中，梅涅劳斯（Menelaus）定理和塞瓦定理是非常重要的基本定理。通过这两个定理，可以导出多项结论，如：极点-极线性质、德萨格定理、pascal定理等；本篇专门叙述这两个定理证明。及相关启发。
二、梅涅劳斯（Menelaus）定理
梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）最早出现在由古希腊数学家梅涅劳斯的著作《球面学》（Sphaerica）中。
定理定义
当一条直线交 Δ A B C \Delta ABC ΔABC三边所在的直线 B C , A C , A B BC,AC,AB BC,AC,AB分别于点 D , E , F D,E,F D,E,F时，则有
A F F B B D D C C E E A = 1 \frac{AF}{FB} \frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}=1 FBAFDCBDEACE=1
分析：显然， D , E , F D,E,F D,E,F分别为线段 B C , A C , A B BC,AC,AB BC,AC,AB的定比分点。因此：
A F F B = λ 1 ; B D D C = λ 2 ; C E E A = λ 3 \frac{AF}{FB}=\lambda_1 ; \; \frac{BD}{DC} =\lambda_2;\frac{CE}{EA}=\lambda_3 FBAF=λ1;DCBD=λ2;EACE=λ3
因此，等价说法是：
λ 1 λ 2 λ 3 = 1 \lambda_1 \lambda_2\lambda_3=1 λ1λ2λ3=1
定理证明
过点A作 A G ∥ D B AG\parallel DB AG∥DB交 B C BC BC的延长线于G点, 则:
A F F B = λ 1 = D G B D \frac{AF}{FB}=\lambda_1=\frac{DG}{BD} FBAF=λ1=BDDG
C E E A = λ 3 = C D D G \frac{CE}{EA}=\lambda_3=\frac{CD}{DG} EACE=λ3=DGCD
∴ A F F B B D D C C E E A = λ 1 λ 2 λ 3 = D G B D B D D C C D D G = 1 \therefore \frac{AF}{FB} \frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}= \lambda_1 \lambda_2\lambda_3=\frac{DG}{BD} \frac{BD}{DC}\frac{CD}{DG}=1 ∴FBAFDCBDEACE=λ1λ2λ3=BDDGDCBDDGCD=1
证毕
三、塞瓦(Giovanni Ceva）定理
塞瓦(Giovanni Ceva，1648~1734)意大利水利工程师，数学家。塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》一书，也有书中说塞瓦定理是塞瓦重大发现。
【定理说明】
塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。
分析：
四、塞瓦点的推广
当塞瓦点在三角形外部，如下图：🔺ABC的三条线段的交点O位于三角形ABC的外部：
A F F B B D D C C E E A = 1 \frac{AF}{FB} \frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}=1 FBAFDCBDEACE=1
【证明】
B D D C = S Δ A B D S Δ A D C = S Δ O B D S Δ O D C \frac{BD}{DC} = \frac{S_{\Delta ABD}}{S_{\Delta ADC}} =\frac{S_{\Delta OBD}}{S_{\Delta ODC}} DCBD=SΔADCSΔABD=SΔODCSΔOBD
更比定理：
B D D C = S Δ A B D − S Δ O B D S Δ A D C − S Δ O B D = S Δ O B A S Δ C A O \frac{BD}{DC} = \frac{S_{\Delta ABD}-S_{\Delta OBD}}{S_{\Delta ADC}-S_{\Delta OBD}} =\frac{S_{\Delta OBA}}{S_{\Delta CAO}} DCBD=SΔADC−SΔOBDSΔABD−SΔOBD=SΔCAOSΔOBA
C E E A = S Δ B C O S Δ A B O \frac{CE}{EA} = \frac{S_{\Delta BCO}}{S_{\Delta ABO}} EACE=SΔABOSΔBCO
A F F B = S Δ C A O S Δ B C O \frac{AF}{FB} = \frac{S_{\Delta CAO}}{S_{\Delta BCO}} FBAF=SΔBCOSΔCAO
A F F B B D D C C E E A = S Δ C A O S Δ B C O S Δ O B A S Δ C A O S Δ B C O S Δ A B O = 1 \frac{AF}{FB} \frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}= \frac{S_{\Delta CAO}}{S_{\Delta BCO}}\frac{S_{\Delta OBA}}{S_{\Delta CAO}}\frac{S_{\Delta BCO}}{S_{\Delta ABO}} = 1 FBAFDCBDEACE=SΔBCOSΔCAOSΔCAOSΔOBASΔABOSΔBCO=1
【证毕】