过去我们一直在求单源最短路,今天让我们看一下多源最短路的求法。
我们介绍一下它的核心思想:即不断在原有基础上添加新的中转点并求出此时的最优状态,是一种动态规划思想的体现。
具体流程:
我们先列出无中转点(也就是相邻的点)间的dis;
然后枚举中转点k(有点类似区间dp),转移方程为f[i][j](从i到j)=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]).
正确性证明:
当我们先枚举a为中转时,我们就可以求得任意两点之间经过与不经过a的最短距离。
当我们先枚举b为中转时,我们就可以求得任意两点之间经过a与b的排列组合(不大准确,可以选一个,也可以都不选)(也就是ab与ba,a,b,0)
同理,当我们都枚举完时,我们相当于把所有情况都看了个遍。自然而然的求得任意两点之间的最短距离。
提供一下大体的框架(注意,k的循环应该在最外面,否则会损失一些情况导致结果错误)
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
for(int k=1;k<=n;k++){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
if(i!=j&&(j!=k)&&(i!=k)){
if(f[i][k]+f[k][j]<=f[i][j])
f[i][j]=f[i][k]+f[k][j];
}
}
}
}
}