P2371 墨墨的等式
D e s c r i p t i o n \mathrm{Description} Description
求解有多少个 b ∈ [ l , r ] b\in [l,r] b∈[l,r] 满足 ∑ i = 1 n a i x i = b \sum\limits_{i=1}^n a_ix_i=b i=1∑naixi=b 存在非负整数解（ x i x_i xi 为变量， a a a 数组给定）。
S o l u t i o n \mathrm{Solution} Solution
b b b 一定可以表示为 q + k v q+kv q+kv 的形式，其中 q ∈ [ 0 , v ) q\in [0,v) q∈[0,v) 表示余数， k ∈ Z k\in \mathbb{Z} k∈Z。
故，思路可以转化为选择合适的 v v v，对于枚举余数 q ∈ 0 ∼ v − 1 q\in 0\sim v - 1 q∈0∼v−1，求解通过 ∑ i = 1 n a i x i = b \sum\limits_{i=1}^n a_ix_i=b i=1∑naixi=b，所能凑出的最小的 b b b，使得 b b b 模 v v v 为 q q q。
那么，为了能够不重不漏的计算出所有的 b b b， v v v 应取 min ( a i ) \min(a_i) min(ai)，即 a a a 数组中的最小值，这样只要能够由题目中的等式凑出的 b b b，就必定能由 q + k v q+kv q+kv 的形式。（可以感性理解）
下面就是如何能够求解最小的余数为 q q q 出的 b b b（ q ∈ [ 0 , v − 1 ] q\in[0,v-1] q∈[0,v−1]），这就运用到了 同余最短路。
将余数 i i i 连一条向 ( i + a j ) m o d v (i+a_j)\bmod v (i+aj)modv 长度为 a j a_j aj 的边，对于每一个 j ∈ [ 1 , n ] j\in [1,n] j∈[1,n]。这表示从 i i i 这个余数加入 a j a_j aj 后，将会变为的一个新的余数。在这个图中求从 0 0 0 号点到所有点的最短路后，对于 i i i 号点的含义就是凑出余数为 i i i 的最小的数。
最后，通过前缀和的思想可以得到 l ∼ r l\sim r l∼r 的 b b b 的个数为 0 ∼ r 0\sim r 0∼r 的 b b b 的个数减去 0 ∼ l − 1 0\sim l-1 0∼l−1 的 b b b 的个数。对于每一个 i i i，设凑数余数为 i i i 的最小的数为 b ′ b' b′，则若当前最高限制为 x x x，则 b b b 的个数为 ⌊ x − b ′ v ⌋ + 1 \lfloor\frac{x-b'}{v}\rfloor+1 ⌊vx−b′⌋+1。
C o d e Code Code
cpp
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
typedef long long LL;
const int SIZE = 5e6 + 10;
int N, L, R;
int A[20];
int h[SIZE], e[SIZE], ne[SIZE], w[SIZE], idx;
int Dist[SIZE], Vis[SIZE];
void add(int a, int b, int c)
{
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx ++;
}
void Dijkstra(int Start)
{
memset(Dist, 0x3f, sizeof Dist);
memset(Vis, 0, sizeof Vis);
priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> Heap;
Heap.push({0, Start}), Dist[Start] = 0;
while (Heap.size())
{
auto Tmp = Heap.top();
Heap.pop();
int u = Tmp.second;
if (Vis[u]) continue;
Vis[u] = 1;
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (Dist[j] > Dist[u] + w[i])
{
Dist[j] = Dist[u] + w[i];
Heap.push({Dist[j], j});
}
}
}
}
signed main()
{
cin.tie(0);
cout.tie(0);
ios::sync_with_stdio(0);
memset(h, -1, sizeof h);
cin >> N >> L >> R;
int Min = 1e18;
for (int i = 1; i <= N; i ++)
{
cin >> A[i];
if (A[i]) Min = min(Min, A[i]);
}
for (int i = 0; i < Min; i ++)
for (int j = 1; j <= N; j ++)
if (A[j] != Min && A[j])
add(i, (i + A[j]) % Min, A[j]);
Dijkstra(0);
int Tot1 = 0, Tot2 = 0;
for (int i = 0; i < Min; i ++)
if (Dist[i] <= R)
Tot1 += (R - Dist[i]) / Min + 1;
for (int i = 0; i < Min; i ++)
if (Dist[i] < L)
Tot2 += (L - 1 - Dist[i]) / Min + 1;
cout << Tot1 - Tot2 << endl;
return 0;
}