2024初三年后集训模拟测试4

前言

普及模拟赛,但是分拿的不高,主要想 \(T1\) 想时间太长了,别的没时间做了,时间分配有问题。

  • \(T1~100pts:\)

    模拟+打表,立体的骰子不太容易想,规律也不好找,但发现规律后超级简单,我敢说我发现的规律是全机房最简便的。

    但是想的时间用太长了,已经做出来了还验证半天。

    题解写的详细写吧,好不容易想的。

  • \(T2~10pts:\)

    贪心打假了。

  • \(T3~0pts:\)

    赛时没时间了,赛后后悔死了,异常简单,所有数的欧拉函数乘起来就完事了。

  • \(T4~50pts:\)

    背包 \(DP\) 会炸,\(10pts\) ,改成暴力 \(dfs\) \(O(2^n)\) ,也会超时 \(50pts\) 。

    但是隔壁新任 剪枝教教主 @minecraft666 超级剪枝暴搜 \(100pts\) 。

    数据有多水?超时的点全是 \(=m\) ,赛后加个 \(=m\) 直接输出的剪枝就 \(100pts\) 了 \(QWQ\) 。

T1 打赌

  • 题意:

    直接看吧:

    注意这 \(4\) 个操作是循环进行的,直到最后一个点。

  • 解法:

    一眼大模拟,但是全交给电脑会 \(TLE\) ,\(n,m\leq 100000\) 。

    考虑打表(找规律):

    • \(O(n)\) 解法:

      显然在左右方向滚的时候,是 \(4\) 个一循环的,那么现在就是求对于每一行他的循环状态,设这个循环为 \(a_{1\sim 4}\)

      每 \(4\) 个为一循环,每个循环的和为 \(14\) ,这是显然的。

      不管如何,第一行肯定是 \(1,4,6,3,1,4......\) 循环的,要做的就是从当前行状态求出下一行状态。

      • 先说结论,请看图:

        当前行最后处于上面的节点,也就是 \(a_{m\bmod 4}\) (视 \(0\) 作 \(4\) )这个点在当前循环的状态,在每一行的循环中,他的上下是固定的,也就是 \(5,2\) 这两个点。

        以 \(1\) 这个点为例,若最后处于这个点,则下一行的循环状态为其 上,左,下,右 循环;当前点为下一循环的 ,其 为 \(7\) 减去当前点(相对两点相加为 \(7\) ) 。

        设当前节点状态为 \(a_{now},c_1,c_2\) ,分别表示其循环、上和下;设下一层循环状态为 \(b_{1\sim 4},d_1,d_2\) 。

        则有 \(b_1=c_1,b_2=a_{now-1},b_3=c_2,b_4=a_{now+1},c_2=a_{now},c_1=7-a_{now}\) 。

        实际上就是该状态轮一圈,就是下一行的状态。

      • 解析其正确性:

        读题会发现在第 \(i\) 行时,若 \(i\) 为奇数是向右滚,反之向左滚,而前面却没有分类讨论。

        在仔细思考题面发现,当 \(i\) 为奇数时,他的循环状态排列和正常平面图左右是相反的,如下图:

        因为他是向右滚的,所以上一个滚到的显然是他的右侧,下一个滚到的为其左侧。

        那么真实的情况就是:

        想象一下这个立体情景,那么他下一层的状态就应该是:

        这次他要向左滚了,下一个点是他右边的点,那么他的循环就是 \(5,3,2,4\) 。

        发现就成了我们上面的结论。

        这是处理完了 \(i\) 为奇数的,\(i\) 为偶数同理的,只是将左右反过来,这次左右不反了,也是上面的结论。

      • 最后实现:

        直接按照结论来即可,注意 \(4\bmod 4=0\) 的问题,可以将 \(a\) 开成 \(0\sim 4\) ,\(a_0=a_4\) 。

      点击查看代码

      cpp 复制代码
      #include<bits/stdc++.h>
      #define int long long 
      #define endl '\n'
      using namespace std;
      const int N=2e5+10;
      template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
      {
          x=0;register bool z=1;
          register char c=getchar();
          for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') z=0;
          for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
          x=(z?x:~x+1);
      }
      int n,m,a[5]={3,1,4,6,3},b[5],c[3]={0,5,2},x,ans;
      signed main()
      {
          // #ifndef ONLINE_JUDGE
          // freopen("in.txt","r",stdin);
          // freopen("out.txt","w",stdout);
          // #endif
          freopen("pogodak.in","r",stdin);
          freopen("pogodak.out","w",stdout);
          read(n),read(m);
          if(m%4==0) cout<<n*m/4*14,exit(0);
          int s=m/4,t=m%4;
          for(int i=1;i<=n;i++)
          {
              ans+=s*14;
              for(int j=1;j<=t;j++) ans+=a[j];
              if(t==0) x=4;
              else x=t;
              b[1]=c[1],b[3]=c[2];
              b[2]=a[x-1],b[0]=b[4]=a[(x+1)%4];
              c[2]=a[x],c[1]=7-a[x];
              for(int j=0;j<=4;j++) a[j]=b[j];
          }
          cout<<ans;
      }
    • \(O(1)\) 解法:

      打表

      他总共只有 \(m\bmod 4={0,1,2,3}\) 四种情况,为 \(0\) 时直接输出 \(n\times \dfrac{m}{4}\times 14\) 即可,就剩下三种。

      直接用三种情况把上面三种情况在本地搞出来,把这个表交上去就可以了。

      然后发现没什么意义,没比 \(O(n)\) 快多少甚至没有 \(O(n)\) 快,因为多处模运算常数巨大。

      极其简单的,主函数里有用部分就 \(1\) 行。
      点击查看代码

      cpp 复制代码
      #include<bits/stdc++.h>
      #define int long long 
      #define endl '\n'
      using namespace std;
      const int N=2e5+10;
      template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
      {
          x=0;register bool z=1;
          register char c=getchar();
          for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') z=0;
          for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
          x=(z?x:~x+1);
      }
      int n,m;
      const signed c[4]={1,4,6,2},
      cas[4][6]=
      {0,0,0,0,0,0,
      14,1,6,12,0,0,
      42,5,11,19,28,36,
      22,11,0,0,0,0};
      signed main()
      {
          #ifndef ONLINE_JUDGE
          freopen("in.txt","r",stdin);
          freopen("out.txt","w",stdout);
          #endif
          std::ios::sync_with_stdio(false);
          std::cin.tie(0);std::cout.tie(0);
          freopen("pogodak.in","r",stdin);
          freopen("pogodak.out","w",stdout);
          read(n),read(m);
          const signed ans=m%4;
          cout<<n*(m/4)*14+cas[ans][0]*(n/c[ans])+((n%c[ans]==0)?0:cas[ans][n%c[ans]]);
      }

T2 舞会

  • 题意:

    直接看吧:

  • 部分分都是打假了的,没人尝试 \(O(n^2)\) ,没有整理的必要。

  • 正解:

    贪心

    分成四个数组,分别为 低(想要)男,高男,低女,高女 的身高。设为 \(a_1,a_2,b_1,b_2\) 。

    全部从小到大排序,\(a_1→b_2,a_2→b_1\) 分组。

    双指针贪心即可,尽可能选择离自己身高最接近的舞伴。

    时间复杂度 \(O(n)\) 。

    直接看代码理解吧,有注释:
    点击查看代码

    cpp 复制代码
    #include<bits/stdc++.h>
    #define int long long 
    #define endl '\n'
    using namespace std;
    const int N=1e5+10;
    template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
    {
        x=0;register bool z=1;
        register char c=getchar();
        for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') z=0;
        for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
        x=(z?x:~x+1);
    }
    int n,ans,girl1[N],girl2[N],boy1[N],boy2[N],cnt1,cnt2,tot1,tot2;
    bool v[N];
    signed main()
    {
        #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("in.txt","r",stdin);
        freopen("out.txt","w",stdout);
        #endif
        freopen("party.in","r",stdin);
        freopen("party.out","w",stdout);
        read(n);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int x;
            read(x);
            if(x<0) boy1[++tot1]=abs(x);
            else boy2[++tot2]=abs(x);
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int x;
            read(x);
            if(x<0) girl1[++cnt1]=abs(x);
            else girl2[++cnt2]=abs(x);
        }
        stable_sort(boy1+1,boy1+1+tot1);
        stable_sort(boy2+1,boy2+1+tot2);
        stable_sort(girl1+1,girl1+1+cnt1);
        stable_sort(girl2+1,girl2+1+cnt2);
        for(int i=1,j=1;i<=tot1,j<=cnt2;i++,j++)//这里 i 也要 ++,上一个选他了这个就不能选他了。
        {
            while(i<=tot1&&boy1[i]<=girl2[j])
                i++;
            ans+=(i<=tot1);//从上面循环中跳出来的,一定是第一个(最近的一个)能配对的,如果一直到最后一个都不符合,那么跳出来的就是 tot1+1。
        }
        for(int i=1,j=1;i<=tot2,j<=cnt1;i++,j++)
        {
            while(j<=cnt1&&boy2[i]>=girl1[j]) //同理,男女调换而已。
                j++;
            ans+=(j<=cnt1);
        }
        cout<<ans;
    }

T3 最小生成树

  • 题意:

    \(n\) 个点构成完全图,每两点 \(i,j\) 间有且仅有一条边,边权为 \(\gcd(i,j)\) 。

    现将其转换为最小生成树,要求父亲节点编号小于子节点,求方案数。

  • 部分解:

    \(40pts:\) 不开 \(long~long\) 。

  • 正解:

    欧拉函数

    首先,\(1\) 与任何数 \(\gcd\) 均为 \(1\) ,所以将所有其他点都连到 \(1\) 就构成了最小生成树的一种情况。

    那么由此,最小生成树要求所有边权为 \(1\) ,同时要求父亲节点小于子节点,恰好符合欧拉函数的定义。

    求 \(\prod\limits_{i=1}^n\varphi(i)\) 即可。

    可以线性筛出 \(1\sim n\) 的欧拉函数,时间复杂度 \(O(n)\) 。
    点击查看代码

    cpp 复制代码
    #include<bits/stdc++.h>
    #define int long long 
    #define endl '\n'
    using namespace std;
    const int N=2e4+10,P=1e8+7;
    template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
    {
        x=0;register bool z=1;
        register char c=getchar();
        for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') z=0;
        for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
        x=(z?x:~x+1);
    }
    int n,phi[N],ans,len,prime[N];
    bool vis[N];
    void euler(int n)
    {
        phi[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            if(!vis[i])
                len++,
                prime[len]=i,
                phi[i]=i-1;
            for(int j=1;j<=len&&i*prime[j]<=n;j++)
            {
                vis[i*prime[j]]=1;
                if(!(i%prime[j]))
                {
                    phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                    break;
                }
                else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
            }
        }
    }
    signed main()
    {
        // #ifndef ONLINE_JUDGE
        // freopen("in.txt","r",stdin);
        // freopen("out.txt","w",stdout);
        // #endif
        freopen("mst.in","r",stdin);
        freopen("mst.out","w",stdout);
        ans=1;
        read(n);
        euler(n);
        for(int i=1;i<=n;i++) ans=ans*phi[i]%P;
        cout<<ans;
    }

T4 买汽水

  • 题意:

    已知 \(a_{1\sim n}\) 和 \(m\) ,选取若干个相加使其和不大于 \(m\) 的情况下最大,求最大和。

  • 部分分:

    • \(10pts:\)

      背包 \(DP\) ,但是会炸空间和时间,题面数据范围给的不对差评。

    • \(50pts/60pts/70pts:\)

      暴力 \(dfs\) 加剪枝,复杂度 \(O(2^n)\) ,正常是 \(50pts\) ,至于怎么超级剪枝请询问 @剪枝教教主

    • \(60pts:\)

      输出 \(m\) ,对你没看错。

    • \(100pts:\)

      歪解。

      暴力 \(dfs\) 加剪枝加 \(sum=m\) 时直接输出 \(m\) 。

      对,数据就是这么抽象。

  • 正解:

    双向搜索 ,又叫 折半搜索 ,官方名为 meet in middle

    顾名思义拆成 \(1\sim \dfrac{n}{2},\dfrac{n}{2}+1\sim n\) 两部分进行搜索,在让他们两个相遇。

    将第一遍搜索得到价值存到一个 set 里,第二遍搜索得到的价值在 set 里面找满足 \(\leq m-sum\) (当前数量)的最大价值,进行转移即可。

    这样就将复杂度优化为 \(O(2^{\frac{n}{2}}\log(n))\) 。
    点击查看代码

    cpp 复制代码
    #include<bits/stdc++.h>
    #define int long long 
    #define endl '\n'
    using namespace std;
    const int N=50;
    template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
    {
        x=0;register bool z=1;
        register char c=getchar();
        for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') z=0;
        for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
        x=(z?x:~x+1);
    }
    int n,m,sum,a[N],ans,f[N][2];
    set<int>vis;
    void dfs(int x,int sum)
    {
        if(x>n/2)
        {
            if(sum<=m) vis.insert(sum);
            return ;
        }
        if(sum==m) cout<<m,exit(0);
        if(sum>m) return ;
        ans=max(ans,sum);
        if(sum+a[x]<=m) dfs(x+1,sum+a[x]);
        dfs(x+1,sum);
    }
    void dfsr(int x,int sum)
    {
        if(x>n)
        {
            if(sum<=m) 
                ans=max(ans,sum+(*(--vis.upper_bound(m-sum))));
            return ;
        }
        if(sum==m) cout<<m,exit(0);
        if(sum>m) return ;
        ans=max(ans,sum);
        if(sum+a[x]<=m) dfsr(x+1,sum+a[x]);
        dfsr(x+1,sum);
    }
    signed main()
    {
        #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("in.txt","r",stdin);
        freopen("out.txt","w",stdout);
        #endif
        freopen("drink.in","r",stdin);
        freopen("drink.out","w",stdout);
        read(n),read(m);
        for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]),sum+=a[i];
        if(sum<=m) cout<<sum,exit(0);
        dfs(1,0);
        dfsr(n/2+1,0);
        cout<<ans;
    }

总结:

了解新知识------双向搜索。

教训:合理分配时间。

开题顺序不一定要挨着来,本次 \(T4→T2→T3→T1\) 最好。

要学会深入分析题面,如 \(T3\) 。

继续增强了大模拟和打表的能力,立体空间想象能力。

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