【递归】：原理、应用与案例解析 ，助你深入理解递归核心思想

花开十里落叶无情2024-02-23 18:31

递归

1.基础简介

递归在计算机科学中，递归是一种解决计算问题的方法，其中解决方案取决于同一类问题的更小子集

例如 递归遍历环形链表

  • 基本情况（Base Case）：基本情况是递归函数中最简单的情况，它们通常是递归终止的条件。在基本情况下，递归函数会返回一个明确的值，而不再进行递归调用。
  • 递归情况（Recursive Case）：递归情况是递归函数中描述问题规模较大的情况。在递归情况下，函数会调用自身来解决规模更小的子问题，直到达到基本情况。

优点

  1. 简洁清晰：递归能够将复杂的问题简化成更小的子问题，使得代码更加清晰易懂。
  2. 问题建模：递归能够自然地将问题建模成递归结构，使得问题的解决变得更加直观。
  3. 提高代码复用性：通过递归，可以在不同的情景中复用相同的解决方案。

缺点

  1. 性能损耗：递归调用涉及函数的重复调用和堆栈的频繁使用，可能会导致性能下降。
  2. 内存消耗：每次递归调用都需要在堆栈中存储函数的调用信息，可能会导致堆栈溢出的问题。
  3. 难以理解和调试：复杂的递归调用可能会导致代码的难以理解和调试，特别是递归函数中存在多个递归调用时。

常用场景

  1. 树和图的遍历：树和图的结构天然适合递归的处理方式，如深度优先搜索（DFS）。
  2. 分治算法：许多分治算法，如归并排序和快速排序，都是通过递归实现的。
  3. 动态规划：动态规划问题中，递归可以帮助描述问题的递归结构，但通常需要使用记忆化搜索或者自底向上的迭代方式来提高性能。
  4. 排列组合问题：许多排列组合问题，如子集、组合、排列等，可以通过递归实现。
java 复制代码 
/**
 * 递归进行遍历
 * @param node   下一个节点
 * @param before 遍历前执行的方法
 * @param after  遍历后执行的方法
 * @deprecated  递归遍历,不建议使用,递归深度过大会导致栈溢出。建议使用迭代器,或者循环遍历,或者使用尾递归,或者使用栈
 * @see #loop(Consumer, Consumer)
 */
public void recursion(Node node, Consumer<Integer> before, Consumer<Integer> after){
    // 表示链表没有节点了，那么就退出(注意 环形链表的 末尾 不是null 而是头节点)
    if (node == sentinel){
        return;
    }
    // 反转位置就是逆序了
    before.accept(node.value);
    recursion(node.next, before, after);
    after.accept(node.value);
}
  1. 自己调用自己，说明每一个函数对应着一种解决方案，自己调用自己意味着解决方案是一样的或者说是有规律的
  2. 每次调用，函数处理的数据相对于上一次会缩减，而且最后会缩减至无需继续递归
  3. 内层函数调用（子集处理完成），外层函数才能调用完成

1.1.思路

首先需要确定自己的问题，能不能用递归的思路去解决

然后需要推导出递归的关系，父问题和子问题之间的关系， 以及递归的中止条件

f ( n ) = { 停止 , n = n u l l f ( n , n e x t ) , n ≠ n u l l f(n) = \begin{cases} 停止&, n = null \\ f(n,next)&, n \neq null \\ \end{cases} f(n)={停止f(n,next),n=null,n=null

  1. 深入到最里层的 叫做递
  2. 从最里层出来的叫做归
  3. 在递过程中，外层函数内的局部变量（以及参数方法）并未消失，归的时刻还会用到。

2.案例

2.1.案例1-求阶乘

java 复制代码 
@Test
@DisplayName("测试-递归-阶乘")
public void test1(){
    int factorial = factorial(5);
    logger.error("factorial :{}",factorial);
}


/**
 * 阶乘
 * @param value 阶乘的值
 * @return 阶乘的结果
 */
public int factorial(int value){
    // 递归的终止条件
    if(value ==1){
        return 1;
    }
    // 递归的公式 f(n) = n * f(n-1)
    return value * factorial(value-1);
}

2.2.案例2-字符串反转

  • 递：n从0开始，每次都从都头部对字符串进行分割，每次拼接的字符串只取第一位
  • 归：从 str.length() == 1开始归，从归开始拼接，自然是逆序的
markdown 复制代码 
# 思路
	递归的终止条件是字符串的长度为1, 递归的公式是 f(n) = f(n-1) + str.charAt(0) 从后往前拼接字符串
java 复制代码 
/**
 * 反向打印字符串序列
 * @param str 字符串
 * @return 反向打印的字符串
 */
public String reverse(String str){
    if(str.length() == 1){
        return str;
    }
    logger.error("str.substring(1) = {} , str.CharArt(0) = {}",str.substring(1),str.charAt(0));
    // substring(1) 从下标为1的位置开始截取字符串, chatAt(0) 获取下标为0的字符
    return reverse(str.substring(1)) + str.charAt(0);
}


@Test
@DisplayName("测试-递归-反向打印字符串序列")
public void test2(){
    String str = "abcdefg";

    String reverse = reverse(str);
    logger.error("reverse :{}",reverse);
}

2.3.案例3-递归二分查找

java 复制代码 
	/**
	 * 二分查找
	 * @param source 原始数组
	 * @param target 目标值
	 * @param left 左边界
	 * @param right 右边界
	 * @return 目标值的索引位置
	 */
	public int binaryFind(int source[],int target,int left,int right){
		// 先找到中间值
		int mid = (left + right) >>> 1;
		if (left > right){
			// 如果left > right 直接返回-1
			return -1;
		}
		if (source[mid] < target){
			// 如果中间值小于目标值，则在右边进行寻找
			return binaryFind(source,target,mid+1,right);
		} else if(source[mid] > target){
			// 如果中间值大于目标值 则在左边进行寻找
			return binaryFind(source,target,left,mid-1);
		} else {
			// 如果中间值等于目标值,则返回索引位置
			return mid;
		}
	}


	/**
	 * 二分查找
	 * @param source 原始数组
	 * @param target 目标值
	 * @return 目标值的索引位置
	 */
	public int search(int[] source,int target){
		// 二分查找 递归的终止条件是 left > right
		return binaryFind(source,target,0,source.length-1);
	}


	@Test
	@DisplayName("测试-递归-二分查找")
	public void test3(){
		int[] source = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};
		int target = 3;
		int index = search(source,target);
		logger.error("index :{}",index);
	}

2.4.案例4-递归冒泡排序

递归冒泡排序原理：

递归冒泡排序是一种排序算法，它将数组分成已排序和未排序两部分。通过递归地比较相邻元素并交换它们的位置，每次递归都将未排序部分的最大元素移到已排序部分的末尾，直到整个数组有序。

实现思路：

  1. 初始化：将整个数组视为未排序部分。
  2. 递归调用 ：递归地调用 bubble_sort() 函数来处理未排序部分，直到未排序部分长度为0或1，排序结束。
  3. 比较与交换：在每次递归中，从数组开始处向后遍历，比较相邻元素。如果前一个元素大于后一个元素，则交换它们的位置。
  4. 更新未排序部分：记录每次交换的位置，即最后一次交换的索引，作为下一次递归的边界，确保下一次递归只需处理未排序部分的子数组。
  5. 终止条件：递归终止条件是未排序部分长度为0或1，表示数组已排序完成。

可优化的地方及优势：

  • 优化点：递归冒泡排序在每次递归中，对未排序部分进行了全遍历，可能导致效率较低，尤其是对于大型数组。
  • 优势：递归冒泡排序的主要优势在于其简洁易懂的实现方式，易于理解和实现。

实现突出重点：

  • 递归调用 ：通过递归调用 bubble_sort() 函数，将排序过程分解为子问题，直到基本情况（未排序部分长度为0或1）得到解决。
  • 边界更新：每次递归后，更新未排序部分的边界，使下一次递归只需处理未排序部分的子数组。
  • 终止条件：设定递归终止条件，确保排序过程能够正确结束。
markdown 复制代码 
# 思路
	比较相邻的元素。如果第一个比第二个大，就交换他们两个。
	对每一对相邻元素作同样的工作，从开始第一对到结尾的最后一对。在这一点，最后的元素应该会是最大的数。
	针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后一个。
	持续每次对越来越少的元素重复上面的步骤，直到没有任何一对数字需要比较。
# 控制
	1（递归）每次重新划分排序的区间，负责把已经排序的区间进行过滤
	2（循环）负责两两比较交换。
java 复制代码 
	/**
	 * 递归冒泡排序
	 * <ul>
	 *     <li>将数组划分成两部分，[0,j] [j+1,length - 1]</li>
	 *     <li>[0,j] 左边是未排序的部分</li>
	 *     <li>[j+1,length - 1] 右边是已经排序的部分</li>
	 *     <li>在未排序的区间内，相邻的两个元素比较，如果前一个元素大于后一个元素，那么交换位置</li>
	 *
	 * </ul>
	 * @param source
	 */
	public void sort (int [] source){
		bubble_sort(source,source.length-1);

	}

	/**
	 * 递归冒泡排序
	 * @param source 待排序的数组
	 * @param j 未排序的区间的起始位置
	 */
	public void bubble_sort(int [] source,int j){
		// 递归的终止条件是数组的长度为1 或者数组的长度为0
		if (j == 0){
			return;
		}
		// x充 未排序 和已经排序的分界线
		int x = 0;
		// 每次都是从0开始
		for (int i = 0; i < j;i++){
			// 如果前一个元素比后一个元素大，那么交换位置
			if (source[i] > source[i+1]){
				int temp = source[i];
				source[i] = source[i+1];
				source[i + 1] = temp;
				x = i;
			}
		}
		// 递归调用(因为每次最大值都会移动到最后，所以每次的排序区间都往前进行移动)
		bubble_sort(source,x-1);
	}



	@Test
	@DisplayName("测试-递归-冒泡排序")
	public void test4(){
		int[] source = {4,3,2,1,5,6,7};
		sort(source);
		logger.error("source :{}",source);
	}

2.5.案例5-插入排序

插入排序原理：

插入排序是一种直观的排序算法，类似于整理扑克牌。它从未排序的部分选取元素，并将其插入到已排序的序列中，直到所有元素都排好序为止。

实现思路：

这段代码使用递归 来实现插入排序。在递归函数 insertion() 中，每次调用时，它从未排序的部分选择第一个元素 t = source[low]，然后将其插入到已排序的序列中的适当位置。

具体实现过程如下：

  1. 从右向左遍历已排序的部分，找到第一个比待插入元素小的位置。
  2. 将比待插入元素大的元素往后移一位，为待插入元素腾出空间。
  3. 插入待排序元素到找到的位置，插入位置为 i + 1，其中 i 是最后一个比待插入元素小的元素的下标。

递归终止条件：

递归的终止条件是当 low 等于数组长度时，表示所有元素都已处理完成，无需继续排序。

java 复制代码 
/**
 * 插入排序
 * @param source 原始数组
 */
public void insert_sort(int[]source){
    // 递归调用插入排序 low 从1开始
    insertion(source,1);
}

/**
 * 插入排序
 * @param source 原始数组
 * @param low 未排序数据的起始位置
 */
private void insertion(int[]source,int low){
    // 递归的终止条件是 low == source.length
    if(low == source.length){
        return;
    }
    // 存储临时变量 （存放low指向的数据）
    int t = source[low];
    // 已经排序区域的指针
    int i = low -1;

    // 从右往左找，只要找到第一个比t小的就能确认插入位置
    while (i >=0 && source[i] > t ){
        // 如果没有找到插入位置 一直循环
        // 空出插入位置
        source[i+1] = source[i];
        i--;
    }
    // 找到了插入位置
    // 将t赋值给i +1 的位置就行了
    source[i + 1]  = t;

    insertion(source,low + 1);

}


@Test
@DisplayName("测试-递归-插入排序")
public void test5(){
    int[] source = {2,4,5,10,7,1};
    insert_sort(source);
    logger.error("source :{}",source);
}

多路递归

2.案例1-斐波那契数列

  • 每个递归只包含一个自身的调用，称之为single recursion
  • 如果每个递归函数包含多个自身的调用称为multi recursion

f ( n ) = { 0 , n = 0 1 , n = 1 f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) , n > 1 f(n) = \begin{cases} 0&, n = 0 \\ 1&, n = 1 \\ f(n-1)+f(n-2)&, n > 1 \\ \end{cases} f(n)=⎩ ⎨ ⎧01f(n−1)+f(n−2),n=0,n=1,n>1

​

​

java 复制代码 
	@Test
	@DisplayName("测试-递归-斐波那契数列")
	public void test1(){
		int factorial = factorial(10);
		logger.info("factorial:{}",factorial);
	}


	/**
	 * 斐波那契数列
	 * @param n 传入的参数
	 * @return 返回的结果
	 */
	public int factorial(int n){
		// 递归的出口，当n为0时，返回0，当n为1或者2时，返回
		if (n == 0){
			return 0;
		}
		if (n == 1  || n == 2){
			return 1;
		}
		// 依次往下递归
		return factorial(n-1) + factorial(n -2);
	}

递归爆栈

1.分析

在Java中，递归爆栈是指递归调用导致调用栈溢出的情况。在解释递归爆栈时，我们可以涉及到Java的内存模型和变量存储位置的分析。

1.1 Java 内存模型：

Java程序在运行时，内存被划分为不同的区域，其中涉及到：

  • 堆（Heap）：用于存储对象实例，由Java垃圾回收器进行管理和清理。
  • 栈（Stack）：每个线程都有自己的栈，用于存储局部变量、方法调用和部分对象引用。
  • 方法区（Method Area）：存储类的结构信息、静态变量、常量等。
  • 程序计数器（Program Counter）：记录线程执行的当前位置。

1.2. 递归的内存分析：

在Java中，每次方法调用都会在栈上分配一定的空间，包括方法的参数、局部变量和返回地址。当一个方法被调用时，会将当前方法的上下文（包括参数、局部变量等）推入栈中，当方法执行结束时，栈顶的帧会被弹出。

1.3. 递归爆栈的原因：

递归函数在调用自身时，会持续地将新的调用帧推入栈中，如果递归调用的深度过大，栈空间会耗尽，导致栈溢出错误。

1.4. 变量存储位置分析：

  • 局部变量（Local Variables）：在方法执行时，局部变量存储在栈帧中，并且随着方法的结束而被销毁。
  • 实例变量（Instance Variables）：实例变量存储在对象的堆内存中，随着对象的创建和销毁而分配和释放。
  • 静态变量（Static Variables）：静态变量存储在方法区中，它们在类加载时被初始化，在程序结束时销毁。

2.代码

java 复制代码 
/**
 * 递归求和
 * @param n 传入的参数
 * @return 返回的结果
 */
public int add(int n){
    if (n == 1){
        return 1;
    }
    return add(n -1)  + n;
}


@Test
@DisplayName("测试-递归-递归求和")
public void test2(){
    int sum = add(11111110);
    logger.error("sum:{}",sum);
}

3.解决

markdown 复制代码 
# 目前只有C++ 和 scala 能针对尾递归优化，所以我们一般需要将递归转为循环来写
  • 尾调用
js 复制代码 
// 如果函数的最后一步，是调用一个函数，那么成为尾调用
function a(){
    return b();
}

// 下面这个 三段代码并不能称为尾调用
function a(){
    // 虽然调用了函数，但是又用到了外层函数的数值1
    return b() + 1;
}

function a(){
    // 最后异步并非调用函数
    const c = b() + 1
    return c;
}

function a(x){
  // 虽然调用了函数，但是又用到了外层函数的数值x
    return b() + x;
}

4.总结

递归爆栈的问题通常发生在递归调用的深度过大时，导致栈空间耗尽。通过合理控制递归调用深度、优化算法或者考虑使用迭代等方法可以避免这类问题，在Java中，局部变量和方法调用的栈帧管理是导致递归爆栈的关键因素之一。

递归是一种强大的问题解决工具，能够简化问题、提高代码的清晰度和可读性。然而，在使用递归时，需要注意避免潜在的性能问题和堆栈溢出问题。选择适当的场景和合适的算法，可以充分发挥递归的优势，提高程序的效率和可维护性。

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