大小顶堆：原理、实现与应用
堆（Heap）是一种基于完全二叉树的数据结构，核心特性是 "父节点与子节点的优先级关系固定"。根据优先级规则的不同，可分为大顶堆 和小顶堆，二者是实现 "Top K 问题""优先级队列" 等场景的核心工具。
一、核心定义：大顶堆 vs 小顶堆
堆的本质是 "完全二叉树"（除最后一层外，每一层节点数均满；最后一层节点从左到右排列），但需满足以下优先级规则：
| 类型 | 核心规则（父节点 vs 子节点） | 关键特性 |
|---|---|---|
| 大顶堆 | 父节点的值 大于等于 其左右子节点的值 | 根节点是整个堆的 最大值 |
| 小顶堆 | 父节点的值 小于等于 其左右子节点的值 | 根节点是整个堆的 最小值 |
示例（数组存储堆）
完全二叉树可通过数组高效存储（无需指针，通过索引计算父子关系），假设数组索引从 0 开始：
- 父节点索引 i 的左子节点：2*i + 1
- 父节点索引 i 的右子节点：2*i + 2
- 子节点索引 j 的父节点：(j - 1) // 2
以数组 [5,3,4,1,2] 为例：
- 对应大顶堆的完全二叉树：根为 5，左子树 3（子节点 1、2），右子树 4（无后代），满足 "父≥子"。
- 若数组为 [1,2,4,5,3]，则对应小顶堆，根为 1（最小值），满足 "父≤子"。
二、堆的核心操作（以大顶堆为例）
堆的关键操作需保证 "操作后仍满足堆的优先级规则"，核心包括插入 和删除堆顶 ，时间复杂度均为 O(log n) （n 为堆的大小，操作需沿树的高度调整）。
1. 插入操作（Heap Insert）
新元素先加入堆的末尾（数组最后一位），再通过 "向上调整（Heapify Up）" 恢复堆结构：
- 将新元素放到数组末尾（完全二叉树的最后一个位置）。
- 比较该元素与父节点：若为大顶堆且新元素 > 父节点，则交换二者。
- 重复步骤 2，直到该元素≤父节点（或成为根节点），堆结构恢复。
2. 删除堆顶操作（Extract Max/Min）
堆顶（根节点，最大 / 最小值）删除后，需用末尾元素补位，再通过 "向下调整（Heapify Down）" 恢复堆结构：
- 取出堆顶元素（根节点），将数组末尾元素移到根节点位置。
- 比较该元素与左右子节点：若为大顶堆，找出左右子节点中的最大值，若该元素 < 最大值，则交换二者。
- 重复步骤 2，直到该元素≥所有子节点（或成为叶子节点），堆结构恢复。
三、经典应用场景
大小顶堆的核心价值是 "快速获取极值"，因此广泛用于需优先处理 "最大 / 最小" 元素的场景：
| 场景 | 堆的选择 | 核心逻辑 |
|---|---|---|
| Top K 问题 | 小顶堆（求 Top K 大）大顶堆（求 Top K 小） | 求 "前 K 个最大元素"：用容量为 K 的小顶堆，遍历元素时，比堆顶大则替换堆顶，最终堆内即 Top K。 |
| 优先级队列 | 大顶堆 / 小顶堆 | 按优先级处理任务：如 "最高优先级任务先执行" 用大顶堆（优先级为键），"时间最早任务先执行" 用小顶堆（时间为键）。 |
| 中位数查找 | 大顶堆 + 小顶堆 | 大顶堆存 "左半部分较小元素"（堆顶为左半最大，即中位数候选），小顶堆存 "右半部分较大元素"，动态维持两堆大小平衡。 |
| 堆排序 | 大顶堆 | 1. 将数组构建为大顶堆；2. 反复删除堆顶（放到数组末尾）并调整堆，最终数组升序排列。 |
四、Python 实现（以小顶堆为例）
Python 标准库 heapq 仅提供小顶堆的实现，若需大顶堆，可通过 "存入负数" 间接实现（取元素时再转负）。
1. 小顶堆基础操作（heapq）
ini
import heapq
# 1. 初始化堆（将列表转化为小顶堆，in-place操作）
heap = [3, 1, 4, 2]
heapq.heapify(heap) # 转化后：[1, 2, 4, 3]（满足小顶堆规则）
# 2. 插入元素（自动向上调整）
heapq.heappush(heap, 0) # 插入后：[0, 1, 4, 3, 2]
# 3. 删除并返回堆顶（最小元素，自动向下调整）
min_val = heapq.heappop(heap) # 返回0，堆变为[1, 2, 4, 3]
# 4. 查看堆顶（不删除）
print(heap[0]) # 输出1（当前堆顶）2. 大顶堆实现（间接方式）
通过 "存储元素的负数"，利用小顶堆的逻辑实现大顶堆效果：
ini
import heapq
# 初始化大顶堆（存入负数）
max_heap = [-3, -1, -4, -2]
heapq.heapify(max_heap) # 转化后：[-4, -2, -3, -1]（小顶堆的"小"对应原数的"大"）
# 插入元素（存负数）
heapq.heappush(max_heap, -0) # 插入后：[-4, -2, -3, -1, 0]
# 删除并返回堆顶（原数的最大值，取负后返回）
max_val = -heapq.heappop(max_heap) # 返回4，堆变为[-3, -2, 0, -1]
# 查看堆顶（原数的最大值）
print(-max_heap[0]) # 输出3五、关键总结
- 结构本质：堆是 "完全二叉树" 的数组实现，核心是 "父节点与子节点的固定优先级关系"。
- 操作效率：插入、删除堆顶的时间复杂度均为 O (log n)，远优于 "直接排序后取极值" 的 O (n log n)。
- 场景适配：求极值、Top K、优先级队列用堆；Python 需注意 heapq 仅支持小顶堆，大顶堆需间接实现。
- 局限性：堆仅能高效获取 "堆顶极值"，若需查找任意元素，效率为 O (n)（需遍历数组），此时需结合哈希表等结构优化。