算法03 归并分治

分治算法（Divide and Conquer）是一种经典的算法设计思想，核心是 "分而治之"------ 将复杂问题拆解为更小的子问题，通过解决子问题并合并结果，最终得到原问题的解。

核心思想

将一个规模为 n 的复杂问题，分解为 k 个规模较小且结构与原问题相似的子问题（通常 \(k=2\)）；递归解决这些子问题（若子问题足够小，则直接求解）；最后将子问题的解合并，得到原问题的解。

基本步骤

分治算法的执行过程可归纳为三步：

分解（Divide） 将原问题拆分为若干个规模更小、结构相同的子问题（例如，将长度为 n 的数组分为两个长度为 \(n/2\) 的子数组）。
解决（Conquer） 若子问题规模足够小（如仅含 1 个元素），直接求解；否则，递归分解子问题并求解。
合并（Combine） 将子问题的解合并为原问题的解（例如，将两个有序子数组合并为一个有序数组）。

适用条件

并非所有问题都适合分治，需满足以下条件：

问题可分解为若干个规模较小的子问题，且子问题与原问题结构相似；
子问题相互独立（无重叠），否则合并时可能需要处理重复计算（此时更适合动态规划）；
子问题的解可有效合并为原问题的解；
最小子问题可直接求解（无需再分解）

分治与其他算法的区别

与递归：分治是思想，递归是实现方式（分治常通过递归实现，但也可迭代）；
与动态规划：分治适用于子问题独立的场景，动态规划适用于子问题重叠（需避免重复计算）的场景；
与贪心算法：分治强调 "分解 - 合并"，贪心强调 "局部最优→全局最优"，适用场景不同。

经典案例

归并分治、

算法讲解022【必备】归并分治_哔哩哔哩_bilibilihttps://www.bilibili.com/video/BV1L14y1B7ef/?spm_id_from=333.1387.collection.video_card.click&vd_source=cdc2a34485eb016f95eae1a314b1a620 计算数组的小和_牛客题霸_牛客网https://www.nowcoder.com/practice/edfe05a1d45c4ea89101d936cac32469

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

const int MAXN = 100001;
int arr[MAXN];
int help[MAXN];
int n;

// 返回跨左右产生的小和累加和，合并左右两个有序数组
long long merge(int l, int m, int r) {
    // 统计跨左右的小和
    long long ans = 0;

    //1      3     5     2    4    6
    //             m
    //       i           
    //                        j
    //sum=1+3+5
    for (int j = m + 1, i = l, sum = 0; j <= r; j++) {
        //一轮while循环结束后，回到for循环，i会重新赋值
        //每一轮for循环j是固定的，可能对应多轮while循环，每一轮是i指针在动
        while (i <= m && arr[i] <= arr[j]) {
            sum += arr[i++];
            // cout<<i-1<<"\n"<<j<<'\n';
            // cout<<"sum="<<sum<<'\n';
        }
        ans += sum;
        // cout<<"ans="<<ans<<'\n'<<"--------"<<'\n';
    }
    
    // 归并排序合并两个有序数组
    int i = l;
    int a = l;
    int b = m + 1;
    while (a <= m && b <= r) {
        help[i++] = arr[a] <= arr[b] ? arr[a++] : arr[b++];
    }
    while (a <= m) {
        help[i++] = arr[a++];
    }
    while (b <= r) {
        help[i++] = arr[b++];
    }
    
    // 将合并结果复制回原数组
    for (i = l; i <= r; i++) {
        arr[i] = help[i];
    }
    
    return ans;
}

// 返回arr[l...r]范围上的小和累加和，同时将arr[l..r]排序，这里用到了分治思想，递归来实现
long long smallSum(int l, int r) {
    if (l == r) {//基本情况/终止条件/
        return 0;
    }
    int m = (l + r) / 2;//二分
    return smallSum(l, m) + smallSum(m + 1, r) + merge(l, m, r);//自我调用
}



int main() {
    while (cin >> n) {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            cin >> arr[i];
        }
        cout << smallSum(0, n - 1) << endl;
    }
    return 0;
}

归并排序模板

杂项 | 算竞常用 C++ 代码片段 - 颢天笔记https://io.zouht.com/174.html#cl-35先用其他人的

cpp 复制代码

const int MAXN = 100;
int tmp[MAXN];
void merge_sort(int arr[], int l, int r)
{
    if (l >= r)
        return;
    int mid = (l + r) / 2;
    merge_sort(arr, l, mid);
    merge_sort(arr, mid + 1, r);
    int i = l, j = mid + 1, k = 0;
    while (i <= mid && j <= r)
    {
        if (arr[i] <= arr[j])
            tmp[k++] = arr[i++];
        else
            tmp[k++] = arr[j++];
    }
    while (i <= mid)
        tmp[k++] = arr[i++];
    while (j <= r)
        tmp[k++] = arr[j++];
    for (int m = l, n = 0; m <= r; m++, n++)
        arr[m] = tmp[n];
}