分治算法（Divide and Conquer）是一种经典的算法设计思想，核心是 "分而治之"------ 将复杂问题拆解为更小的子问题，通过解决子问题并合并结果，最终得到原问题的解。
核心思想
将一个规模为 n 的复杂问题，分解为 k 个规模较小且结构与原问题相似的子问题（通常 \(k=2\)）；递归解决这些子问题（若子问题足够小，则直接求解）；最后将子问题的解合并，得到原问题的解。
基本步骤
分治算法的执行过程可归纳为三步：
-
分解（Divide） 将原问题拆分为若干个规模更小、结构相同的子问题（例如，将长度为 n 的数组分为两个长度为 \(n/2\) 的子数组）。
-
解决（Conquer） 若子问题规模足够小（如仅含 1 个元素），直接求解；否则，递归分解子问题并求解。
-
合并（Combine） 将子问题的解合并为原问题的解（例如，将两个有序子数组合并为一个有序数组）。
适用条件
并非所有问题都适合分治，需满足以下条件：
- 问题可分解为若干个规模较小的子问题，且子问题与原问题结构相似；
- 子问题相互独立（无重叠），否则合并时可能需要处理重复计算（此时更适合动态规划）；
- 子问题的解可有效合并为原问题的解；
- 最小子问题可直接求解（无需再分解）
分治与其他算法的区别
- 与递归：分治是思想，递归是实现方式（分治常通过递归实现，但也可迭代）；
- 与动态规划：分治适用于子问题独立的场景，动态规划适用于子问题重叠（需避免重复计算）的场景；
- 与贪心算法：分治强调 "分解 - 合并"，贪心强调 "局部最优→全局最优"，适用场景不同。
经典案例
归并分治、
算法讲解022【必备】归并分治_哔哩哔哩_bilibili
https://www.bilibili.com/video/BV1L14y1B7ef/?spm_id_from=333.1387.collection.video_card.click&vd_source=cdc2a34485eb016f95eae1a314b1a620计算数组的小和_牛客题霸_牛客网https://www.nowcoder.com/practice/edfe05a1d45c4ea89101d936cac32469
cpp
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const int MAXN = 100001;
int arr[MAXN];
int help[MAXN];
int n;
// 返回跨左右产生的小和累加和，合并左右两个有序数组
long long merge(int l, int m, int r) {
// 统计跨左右的小和
long long ans = 0;
//1 3 5 2 4 6
// m
// i
// j
//sum=1+3+5
for (int j = m + 1, i = l, sum = 0; j <= r; j++) {
//一轮while循环结束后，回到for循环，i会重新赋值
//每一轮for循环j是固定的，可能对应多轮while循环，每一轮是i指针在动
while (i <= m && arr[i] <= arr[j]) {
sum += arr[i++];
// cout<<i-1<<"\n"<<j<<'\n';
// cout<<"sum="<<sum<<'\n';
}
ans += sum;
// cout<<"ans="<<ans<<'\n'<<"--------"<<'\n';
}
// 归并排序合并两个有序数组
int i = l;
int a = l;
int b = m + 1;
while (a <= m && b <= r) {
help[i++] = arr[a] <= arr[b] ? arr[a++] : arr[b++];
}
while (a <= m) {
help[i++] = arr[a++];
}
while (b <= r) {
help[i++] = arr[b++];
}
// 将合并结果复制回原数组
for (i = l; i <= r; i++) {
arr[i] = help[i];
}
return ans;
}
// 返回arr[l...r]范围上的小和累加和，同时将arr[l..r]排序，这里用到了分治思想，递归来实现
long long smallSum(int l, int r) {
if (l == r) {//基本情况/终止条件/
return 0;
}
int m = (l + r) / 2;//二分
return smallSum(l, m) + smallSum(m + 1, r) + merge(l, m, r);//自我调用
}
int main() {
while (cin >> n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> arr[i];
}
cout << smallSum(0, n - 1) << endl;
}
return 0;
}归并排序模板
杂项 | 算竞常用 C++ 代码片段 - 颢天笔记https://io.zouht.com/174.html#cl-35先用其他人的
cpp
const int MAXN = 100;
int tmp[MAXN];
void merge_sort(int arr[], int l, int r)
{
if (l >= r)
return;
int mid = (l + r) / 2;
merge_sort(arr, l, mid);
merge_sort(arr, mid + 1, r);
int i = l, j = mid + 1, k = 0;
while (i <= mid && j <= r)
{
if (arr[i] <= arr[j])
tmp[k++] = arr[i++];
else
tmp[k++] = arr[j++];
}
while (i <= mid)
tmp[k++] = arr[i++];
while (j <= r)
tmp[k++] = arr[j++];
for (int m = l, n = 0; m <= r; m++, n++)
arr[m] = tmp[n];
}