蓝桥杯--九大背包dp

01背包

特点：n件物品，每件物品只有一个，要么选要么不选

二维朴素版本

状态：前i件物品在总价值不超过j的前提下构成的最大价值

状态转移方程：if（j>w[i]）dp[i][j]=dp[i-1][j]--放不下，不放

else dp[i][j]=max(dp[i-1][j]--放,dp[i-1][j-w[i]]+v[i]--不放)--可以放

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#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 3e1 + 10, M = 2e2 + 10;
int m, n, w[N], v[N],dp[N][M];
int main()
{
    int n, m; cin >> m >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> w[i] >> v[i];
    //时间复杂度O（n^2）
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            for (int j = 1; j <= m; j++)
                {
                    if (j < w[i])dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                    else dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
                }
        }
    cout << dp[n][m] << endl;
    return 0;
}

01背包的滚动数组优化

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//01背包的滚动数组优化
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
	//01背包滚动数组优化的时候，注意j要逆推
	for (int j = m; j>=w[i]; j--)
	{
			dp[j]= max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
    }
}

完全背包

特点：n种物品，每件物品有无限件（但其实是有限 m/w[i]件）

朴素版本

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for (int i = 1; i <= n; i++)
	for (int j = m; j >= 1; j--)
		for (int k = 1; k <= m / w[i]; k++)
			if(j>=k*w[i]) 
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * w[i]] + k * v[i]);

正推叠加优化

dp[j-w[i]]+v[i]=max{

dp[j-1*w[i]]+1*v[i],

dp[j-2*w[i]]+2*v[i],

dp[j-3*w[i]]+3*v[i],

dp[j-4*w[i]]+4*v[i],

...

dp[j-m/w[i]*w[i]]+m/w[i]*v[i]

}

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//完全背包正推叠加优化
	for (int i = 1; i <= n; i++) 
        //注意：完全背包j循环是正推（因为是一个一个拿）
		for (int j = w[i]; j <= m; j++) 
			dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);

混合背包

多种背包组合，把01背包和完全背包统一处理成多重背包

cpp 复制代码

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 40, M = 210;
int m, n, w[N], v[N], s[N], dp[M];
int main() {
	//混合背包问题统计处理成多重背包
	cin >> m >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> w[i] >> v[i] >> s[i];
		if (s[i] == 0) {//完全背包
			s[i] = m / w[i];
		}
		if (s[i] != 0 && s[i] != 1) {//多重背包
			s[i] = min(s[i], m / w[i]);
		}
	}
	//滚动数组优化
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = m; j >= 1;j--) {//逆推
			for (int k = 1; k <= s[i]; k++) {
				if (j >= k * w[i]) dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * w[i]] + k * v[i]);
			}
		}
	}
	cout << dp[m] << endl;
	return 0;
}

多重背包

特点：n种物品，每件物品有指定数量s[i]（真实数量上限：min(m/w[i],s[i])）

01和完全都是多重背包的一种特殊情况

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//多重背包朴素版本
for (int i = 1; i <= n; i++)
	for (int j = m; j >= 1; j--)
         //针对第i种物品，得到选k件的最优解
		for (int k = 1; k <= min(m / w[i], s[i]); k++)
			if (j >= k * w[i]) dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * w[i]] + k * v[i]);

二进制分解多重背包

cpp 复制代码

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 5e3+10, M = 6e3+10;
int m, n, w[N], v[N],s[N], dp[M];
int main() {
	cin >> n >> m; int ww, vv, ss;
	int id = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> ww >> vv >> ss;//输入每种物品的容量、价值、数量
		//针对ss进行二进制分解
		for (int j = 1; j <= ss; j <<= 1) {
			w[++id] = j * ww;
			v[id] = j * vv;
			ss -= j;
		}
		//如果二进制分解后的ss有剩余，则按剩余ss倍的物品存储
		if (ss) {
			w[++id] = ss * ww;
			v[id] = ss * vv;
			ss = 0;
		}
	}
	//二进制优化多重背包时间复杂度O（nm） 其中n是二进制分解后的物品种类
	//注意，二进制分解后的物品种类不再是n，是id
	for (int i = 1; i <= id; i++) {
		for (int j = m; j >= w[i]; j--) {
			dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
		}
	}
	cout << dp[m] << endl;
	return 0;
}

二维费用背包

**特点：**二维费用背包(基础就是01背包)

状态：dp[j][k] 前i种物品在背包1容量不超过j的情况且背包2容量不超过k的情况下构成的最小价值

状态转移方程： dp[j][k]=min(dp[j][k],dp[j-w1[i]][k-w2[i]]+v[i]);

【注】需要处理负下标

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#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1e3 + 10, M = 1e2 + 10;
int n, m1, m2;
int w1[N], w2[N], v[N], dp[M][M];
int main() {
	
	cin >> m1 >> m2 >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> w1[i] >> w2[i] >> v[i];
	
	//注意，本题求最小价值，dp一定初始化为最大
	memset(dp, 0x3f, sizeof dp);
	dp[0][0] = 0;
 
	for (int i = 1; i <= n; i++) 
		for (int j = m1; j >= 0; j--) 
			for (int k = m2; k >= 0; k--) 
				dp[j][k] = min(dp[j][k], dp[max(0,j - w1[i])][max(0,k - w2[i])] + v[i]);
		
	cout << dp[m1][m2] << endl;
	return 0;
}

分组背包

特点：n种物品，每种物品只有一件，分到不同的组中，每组最多选一件

状态和状态转移方程同01背包一样

cpp 复制代码

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
/*
分组背包
特点：n种物品，每种物品只有一件，分到不同的组中，每组最多选一件
状态和状态转移方程同01背包一样
*/
const int N = 40, M = 210;
int m, n,t,p, w[N], v[N], dp[M];
int main() {
	
	cin >> m >> n >> t;
	vector<int> group[N];
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> w[i] >> v[i] >> p;
		group[p].push_back(i);//根据组号p完成分组
	}
	//01背包可以看成特殊的分组背包，即每种物品都是单独的一组
	for (int i = 1; i <= t; i++) {
		for (int j = m; j >= 1; j--) {
			//针对当前第i组的背包容量j，去枚举每件物品选/不选，找到其中的最优解dp[j]（保证组内最多选一件）
			for (int k = 0; k < group[i].size(); k++) {
				int id = group[i][k];
				if (j >= w[id]) dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[id]] + v[id]);
			}
		}
	}
	cout << dp[m] << endl;
	return 0;
}

有依赖背包

01背包就是特殊的有依赖背包

所有物品都是主件，并且每种物品只有一件，要么选，要么不选

有依赖背包

特点：有主件，还有附件，每种物品只有一件

不选主件

选主件（选0件附件）

选主件-选第一件附件

选主件-选第二件附件

选主件-选第一个和第二个附件

在以上五种情况中取最大值

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#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int m, n, main_w[N], main_v[N], sec_w[N][3], sec_v[N][3], dp[N], cnt[N];
int main() {
	cin >> m >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		int v, p, q; cin >> v >> p >> q;
		if (q == 0) {//主件处理
			main_w[i] = v;
			main_v[i] = v*p;
		}
		else {//附件处理  此时q对应的是主件的编号
			cnt[q]++;//主件q的第几个附件
			sec_w[q][cnt[q]] = v;//sec_w[q][cnt[q]]统计第q个主件的第cnt[q]件附件的容量
			sec_v[q][cnt[q]] = v*p;//sec_cv[q][cnt[q]]统计第q个主件的第cnt[q]件附件的价值
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = m; j >= 0; j--) {
			//选主件，不选附件
			if (j >= main_w[i]) dp[j] = max(dp[j], dp[j - main_w[i]] + main_v[i]);
			//选主件-选第一件附件
			if (j >= (main_w[i] + sec_w[i][1])) dp[j] = max(dp[j], dp[j - (main_w[i] + sec_w[i][1])] + main_v[i] + sec_v[i][1]);
			//选主件-选第二件附件
			if (j >= (main_w[i] + sec_w[i][2])) dp[j] = max(dp[j], dp[j - (main_w[i] + sec_w[i][2])] + main_v[i] + sec_v[i][2]);
			//选主件-选第一个和第二个附件
			if(j >= (main_w[i] + sec_w[i][1]+ sec_w[i][2]))  dp[j] = max(dp[j], dp[j - (main_w[i] + sec_w[i][1]+sec_w[i][2])] + main_v[i] + sec_v[i][1]+sec_v[i][2]);
		}
	}
	cout << dp[m] << endl;
	return 0;
}

数字组合

cpp 复制代码

#include<iostream>
using namespace std;
//01背包求方案数
//状态 dp[j] 前i个数字组合出数字j的方案数
//状态转移方程 dp[j]+=dp[j-w[i]]
const int N = 1e5 + 10;
int m, n, w[N], dp[N];
int main() {
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> w[i];
	dp[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = m; j >= w[i]; j--) {
			dp[j] += dp[j - w[i]];
		}
	}
	cout << dp[m] << endl;
	return 0;
}

背包问题-背包求具体方案

cpp 复制代码

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 40, M = 2e2 + 10;
int m, n, w[N], v[N], dp[N][M];//注意求具体方案时，需要二维dp
//背包求具体方案
int main() {
	cin >> m >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> w[i] >> v[i];

	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= m; j++) {
			if (j < w[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];//放不下，不放
			//                      不选0             选1
			else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i-1][j - w[i]] + v[i]);
		}
	}
	//cout << dp[n][m] << endl;
	//打印具体方案
	int j = m;
	for (int i = n; i >= 1; i--) {
		if (dp[i][j] == dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]) {
			cout << i << " ";
			j -= w[i];
		}
	}
	return 0;
}