【应用多元统计分析】--数据矩阵及R语言表示

在多元分析中，数据通常以矩阵的形式出现，下面结合R语言介绍基本的矩阵运算。主要包括：创建矩阵向量，矩阵加减、乘积，矩阵的逆，行列式的值，特征值与特征向量，QR分解，奇异值分解，取矩阵的上下三角元素，向量化算子等。

1.创建一个向量（随机变量、一维数组）

用函数c()来创建一个向量

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#创建向量
x1=c(171,175,159,155,152,158,154,164,168,166,159,164)
x2=c(57,64,41,38,35,44,41,51,57,49,47,46)

length(x1)#返回向量长度
length(x2)

mode(x1)#返回向量的数据类型

2.创建一个矩阵（二维数组）

1）合并命令

可以用rbind()、cbind()将两个或两个以上的向量或矩阵合并起来，rbind()表示按行合并，cbind()按列合并。

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#创建矩阵
rbind(x1,x2)#按行合并
cbind(x1,x2)#按列合并

2）生成矩阵

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matrix(data=NA,nrow=1,ncol=1,byrow=FALSE,dimnames=NULL)
#data为必要的矩阵元素，nrow为行数，ncol为列数，这俩乘积应为矩阵元素个数
#byrow控制排列元素是否按行进行
#dimnames给定行和列的名称

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matrix(x1,nrow=3,ncol=4)#生成矩阵，

matrix(x1,nrow=4,ncol=3)

3.矩阵转置

A为m*n矩阵，A'为其转置矩阵，求A'在R中可用函数t()或transpose()

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#矩阵转置
A=matrix(1:12,nrow=3,ncol=4)
t(A)#用函数t()或transpose()转置

4.矩阵相加减

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#矩阵相加减
A=B=matrix(1:12,nrow=3,ncol=4)
A+B

5.矩阵相乘

A为m*n矩阵，B为n*k矩阵，在R 中求AB可用符号"%*%"

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#矩阵相乘
A=matrix(1:12,nrow=3,ncol=4)
B=matrix(1:12,nrow=4,ncol=3)
A%*%B

6.矩阵对角元素相关运算

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#矩阵对角元素相关运算
A=matrix(1:16,nrow=4,ncol = 4)
diag(A)#产生以这个向量为对角元素的对角矩阵
#对一个正整数k应用diag()函数将产生k维单位矩阵
diag(diag(A))
diag(3)

7.矩阵求逆

矩阵求逆可用函数solve(),应用solve(A,b)运算结果可解线性方程组Ax=b，

若b缺省，则系统默认为单位矩阵，因此可用其进行矩阵求逆

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#矩阵求逆
A=matrix(rnorm(16),4,4);A
solve(A)
#矩阵求逆可用函数solve(),应用solve(A,b)运算结果可解线性方程组Ax=b，
#若b缺省，则系统默认为单位矩阵，因此可用其进行矩阵求逆

8.矩阵的特征值与特征向量

矩阵A的谱分解为A=U^U'，其中^是由A的特征值组成的对角矩阵，

U的列为A的特征值对应的特征向量，可以用函数eigen()得到U和A

eigen(x,symmetric,only.values=FALSE,EISPACK = FALSE)

其中x为矩阵，symmetric项指定矩阵x是否为对称矩阵，不指定则系统自动检测

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#矩阵特征值与特征向量
A=diag(4)+1
A
A.e=eigen(A,symmetric = T)
A.e
#矩阵A的谱分解为A=U^U'，其中^是由A的特征值组成的对角矩阵，
#U的列为A的特征值对应的特征向量，可以用函数eigen()得到U和A
#eigen(x,symmetric,only.values=FALSE,EISPACK = FALSE)
#其中x为矩阵，symmetric项指定矩阵x是否为对称矩阵，不指定则系统自动检测
A.e$vectors%*%diag(A.e$values)%*%t(A.e$vectors)

9.矩阵的Choleskey分解

对于正定矩阵A，可对其进行Choleskey分解，A=P'P，P为上三角矩阵

在R中可以用chol()函数进行Choleskey分解

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#矩阵的Choleskey分解
#对于正定矩阵A，可对其进行Choleskey分解，A=P'P，P为上三角矩阵
#在R中可以用chol()函数进行Choleskey分解
A.e=chol(A)
A.e
t(A.e)%*%A.e

10.矩阵奇异值分解

A为m*n矩阵，rank(A)=r,可以分解为A=UDV'，其中U'U=V'V=I

在R中可以用函数svd()进行奇异值分解

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#矩阵奇异值分解
#A为m*n矩阵，rank(A)=r,可以分解为A=UDV'，其中U'U=V'V=I
#在R中可以用函数svd()进行奇异值分解
A=matrix(1:18,3,6)
A
A.s=svd(A)
A.s
A.s$u%*%diag(A.s$d)%*%t(A.s$v)

11.矩阵QR分解

A为m*n矩阵时可以进行QR分解，A=QR

其中Q'Q=I，在R中可以用函数qr()进行QR分解

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#矩阵QR分解
#A为m*n矩阵时可以进行QR分解，A=QR
#其中Q'Q=I，在R中可以用函数qr()进行QR分解
A=matrix(1:16,4,4)
qr(A)

12.矩阵kronecker积

n*m矩阵A与h*k矩阵B的kronecker积为一个nh*mk维矩阵

在R中，kronecker积可以用函数kronecker()来计算

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#矩阵kronecker积
#n*m矩阵A与h*k矩阵B的kronecker积为一个nh*mk维矩阵
#在R中，kronecker积可以用函数kronecker()来计算
A=matrix(1:4,2,2)
A
B=matrix(rep(1,4),2,2)
B
kronecker(A,B)

13.矩阵的维数

函数dim()将返回一个矩阵的维数

nrow()返回行数，ncol()返回列数

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#矩阵的维数
#函数dim()将返回一个矩阵的维数
#nrow()返回行数，ncol()返回列数
A=matrix(1:12,3,4)
A
dim(A)
nrow(A)
ncol(A)

14.矩阵的行和、列和、行平均数与列平均

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#矩阵的行和、列和、行平均数与列平均
rowSums(A)
rowMeans(A)
colSums(A)
colMeans(A)
#还可以用apply()函数实现：apply(X,MARGIN,FUN,......)
#x为矩阵，MARGIN指定对行还是对列操作，1表示行运算，2为对列运算
#FUN用来指定运算函数，"..."用来指定FUN中需要的其他参数
apply(A,1,sum)
apply(A,1,mean)
apply(A,2,sum)
apply(A,2,mean)

A=matrix(rnorm(100),20,5)
apply(A,2,var)#计算每一列的方差
apply(A,2,function(x,a)x*a,a=2)