概述
正规矩阵（Normal matrix）是在线性代数中的一个概念，指的是一个与其共轭转置矩阵可交换的复数方阵。具体来说，设 A A A是一个 n × n n \times n n×n的复数方阵， A A A被称为是正规的，如果它满足以下条件：
A A ∗ = A ∗ A AA^* = A^*A AA∗=A∗A
这里的 A ∗ A^* A∗表示 A A A 的共轭转置矩阵，也就是 A A A的转置矩阵中的每个元素取共轭。
正规矩阵的一些性质包括：
- 谱定理 ：一个方阵是正规的当且仅当它可以被一个酉矩阵对角化。这意味着存在一个酉矩阵 U U U 和一个对角矩阵 D D D，使得 A = U D U ∗ A = UDU^* A=UDU∗。这里的 D D D 的对角线元素是 A A A 的特征值。
- 特征向量正交：正规矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的。
- 子类别：正规矩阵包括几个重要的子类，如：
- 酉矩阵（Unitary matrix） ：满足 U ∗ U = U U ∗ = I U^*U = UU^* = I U∗U=UU∗=I，其中 I I I 是单位矩阵。
- Hermite矩阵（Hermitian matrix） ：满足 A = A ∗ A = A^* A=A∗，即矩阵等于其共轭转置。
- 斜Hermite矩阵（Skew-Hermitian matrix） ：满足 A = − A ∗ A = -A^* A=−A∗。
- 正定矩阵和半正定矩阵（Positive definite and semi-definite matrix）：Hermite矩阵的子类，特征值为正或非负。
- 实对称矩阵（Real symmetric matrix） ：实数矩阵且满足 A = A T A = A^T A=AT，其中 A T A^T AT 是 A A A的转置。
- 斜对称矩阵（Skew-symmetric matrices） ：实数矩阵且满足 − A = A T -A = A^T −A=AT，其中 A T A^T AT 是 A A A的转置。
- 相似矩阵 ：如果 A A A 是正规的，那么任何与 A A A相似的矩阵也是正规的。
正规矩阵的概念在物理学、工程学和数学的许多领域中都非常重要，尤其在量子力学和数值分析中。在量子力学中，系统的哈密顿量（Hamiltonian）是一个正规矩阵，这个性质保证了它的特征函数是正交的，对应于可以观测到的物理状态。在数值分析中，正规矩阵的性质常被用来设计和分析算法，尤其是涉及矩阵对角化和特征值计算的算法。
酉矩阵（Unitary matrix）
酉矩阵（Unitary matrix）是复数方阵中一个非常重要的类别，它在数学的许多领域，包括量子力学、线性代数和信号处理等都有广泛的应用。酉矩阵的定义是：
一个 n × n n \times n n×n 的复数方阵 U U U被称为酉矩阵，如果它满足以下条件：
U ∗ U = U U ∗ = I U^*U = UU^* = I U∗U=UU∗=I
其中， U ∗ U^* U∗ 是 U U U的共轭转置（即，矩阵的转置并将每个元素替换为其复共轭）， I I I 是 n × n n \times n n×n 的单位矩阵。
这个定义说明了酉矩阵的行向量和列向量均构成复数域上的标准正交基。标准正交基意味着基向量是单位长度（内积自身为1），并且互相正交（不同基向量间的内积为0）。
酉矩阵具有以下性质：
- 逆矩阵 ：酉矩阵的逆矩阵就是它的共轭转置，即 U − 1 = U ∗ U^{-1} = U^* U−1=U∗。
- 行列式的模 ：酉矩阵的行列式模为1，即 ∣ det ( U ) ∣ = 1 |\det(U)| = 1 ∣det(U)∣=1。
- 特征值：酉矩阵的所有特征值的模都是1，因为酉矩阵保持了向量的长度不变。
- 保持内积：酉矩阵在变换后保持向量间的内积不变，因此它是一种保距映射。
- 谱定理：像正规矩阵一样，酉矩阵可以对角化为由它的特征值构成的对角矩阵，其中的变换矩阵是酉的。
- 正交性：实数域上的酉矩阵等同于正交矩阵。正交矩阵也是一个特殊的酉矩阵，但它的元素和特征值都是实数。
在物理学中，酉矩阵尤其在量子力学中扮演重要角色，因为它们用于描述系统的时间演化，其中系统的动态必须保持物理状态的标准化（即量子态的总概率为1），这正是酉变换所做的。此外，在量子计算中，所有的量子逻辑门都可以表示为酉矩阵。
在信号处理中，傅里叶变换的矩阵形式是酉矩阵的一个例子，它将信号从时间（或空间）域变换到频率域，而且在变换过程中保留了信号的能量。
Hermite矩阵（Hermitian matrix)
Hermite矩阵（Hermitian matrix）是一类特殊的复数方阵，在物理学（特别是量子力学）、数学和工程学等领域中都有着重要的应用。Hermite矩阵的特点是它的共轭转置等于它本身。形式上，一个 n × n n \times n n×n的复数方阵 A A A如果满足：
A ∗ = A A^* = A A∗=A
那么它就是一个Hermite矩阵。这里的 A ∗ A^* A∗ 是 A A A的共轭转置，也就是将 A A A转置后再取每个元素的复共轭。
Hermite矩阵的性质包括：
- 实对角线 ：Hermite矩阵的对角元素都是实数，因为对于任意 i i i，有 a i i = a i i ‾ a_{ii} = \overline{a_{ii}} aii=aii。
- 共轭对称 ：Hermite矩阵的非对角元素满足 a i j = a j i ‾ a_{ij} = \overline{a_{ji}} aij=aji，即矩阵的 ( i , j ) (i, j) (i,j) 元素是 ( j , i ) (j, i) (j,i)元素的复共轭。
- 特征值实数 ：Hermite矩阵的所有特征值都是实数。这是因为如果向量 v v v是 A A A 的一个对应于特征值 λ \lambda λ 的特征向量，那么 λ \lambda λ必须是实数，因为 λ ⟨ v , v ⟩ = ⟨ A v , v ⟩ = ⟨ v , A v ⟩ = λ ‾ ⟨ v , v ⟩ \lambda \langle v, v \rangle = \langle Av, v \rangle = \langle v, Av \rangle = \overline{\lambda} \langle v, v \rangle λ⟨v,v⟩=⟨Av,v⟩=⟨v,Av⟩=λ⟨v,v⟩，其中 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ \langle \cdot, \cdot \rangle ⟨⋅,⋅⟩表示内积。
- 特征向量正交：对应于不同特征值的特征向量是正交的。
- 可对角化 ：任何Hermite矩阵都可以被对角化。更具体地说，对于任何Hermite矩阵 A A A，都存在一个酉矩阵 U U U 和一个实对角矩阵 D D D，使得 A = U D U ∗ A = UDU^* A=UDU∗。这里的 D D D对角线上的元素是 A A A的特征值。
- 保持内积：由于Hermite矩阵的特征向量可构成一组正交基，因此在这组基下的线性变换保持了向量间的内积不变。
Hermite矩阵在量子力学中尤为重要，因为它们用来表示物理系统的可观测量，其中可观测量的特征值对应于实验结果的可能值，并且系统的状态由特征向量表示。此外，Hermite运算符的性质保证了量子测量的概率解释是一致的。在数值分析中，Hermite矩阵的性质也广泛用于稳定性分析和优化算法。
斜Hermite矩阵（Skew-Hermitian matrix）
斜Hermite矩阵（Skew-Hermitian matrix），也称为反Hermite矩阵，是复数方阵中的一种，它的共轭转置矩阵等于其自身的负数。换句话说，一个 n × n n \times n n×n 的复数方阵 A A A 是斜Hermite的，如果对所有的 i i i 和 j j j，都有：
A ∗ = − A A^* = -A A∗=−A
这里 A ∗ A^* A∗ 表示矩阵 A A A 的共轭转置，即 A A A 的转置矩阵中的每个元素取复共轭。
斜Hermite矩阵有以下性质：
- 纯虚对角线 ：斜Hermite矩阵的对角元素是纯虚数或0。这是因为对于对角元素 a i i a_{ii} aii_，必须满足 _ a i i = − a i i ‾ a_{ii} = -\overline{a_{ii}} aii=−aii，这意味着实部必须为0。
- 共轭反对称 ：斜Hermite矩阵的非对角元素满足 a i j = − a j i ‾ a_{ij} = -\overline{a_{ji}} aij=−aji，即矩阵的 ( i , j ) (i, j) (i,j)元素是 ( j , i ) (j, i) (j,i)元素的复共轭的负数。
- 特征值纯虚数 ：斜Hermite矩阵的所有特征值都是纯虚数或0。这是因为和Hermite矩阵类似，如果 v v v 是 A A A的特征向量，那么对应的特征值 λ \lambda λ 必须满足 λ ⟨ v , v ⟩ = ⟨ A v , v ⟩ = − ⟨ v , A v ⟩ = − λ ‾ ⟨ v , v ⟩ \lambda \langle v, v \rangle = \langle Av, v \rangle = -\langle v, Av \rangle = -\overline{\lambda} \langle v, v \rangle λ⟨v,v⟩=⟨Av,v⟩=−⟨v,Av⟩=−λ⟨v,v⟩，这意味着 λ \lambda λ 是纯虚数。
- 可对角化：虽然对于斜Hermite矩阵来说并不总是存在实数域上的正交基可以对角化它，但它们可以被酉矩阵对角化，对角矩阵将包含斜Hermite矩阵的特征值，即纯虚数。
- 应用：斜Hermite矩阵在数学的某些领域中出现，例如在描述旋转或表示某些特殊类型的线性变换时。在物理学中，斜Hermite矩阵在描述具有某些对称性的量子态变换中也会出现。
斜Hermite矩阵和Hermite矩阵一样，在构成特殊线性空间中的线性变换时具有保持内积的性质，这使得它们在构造酉变换时非常有用。此外，在量子力学中，斜Hermite运算符通常与守恒量相关联，因为它们与时间演化算符对易。
实对称矩阵（Real symmetric matrix）
实对称矩阵是一类特殊的方阵，在数学和物理学的多个领域中都非常重要。一个实对称矩阵是指一个元素为实数的方阵，它等于自己的转置，即矩阵的上三角和下三角部分是关于主对角线对称的。形式上，一个 n × n n \times n n×n 的实数方阵 A A A 是实对称的，如果对所有的 i i i 和 j j j 都有：
A i j = A j i A_{ij} = A_{ji} Aij=Aji
实对称矩阵具有以下性质：
- 实特征值：实对称矩阵的所有特征值都是实数。
- 正交特征向量：实对称矩阵的特征向量可以选择为正交的。如果有两个不同特征值的特征向量，它们在实数域上必然正交。
- 可对角化 ：任何实对称矩阵都可以通过正交变换对角化。换句话说，存在一个正交矩阵 O O O 使得 A = O D O T A = ODO^T A=ODOT，其中 D D D 是对角矩阵，其对角线上的元素是 A A A的特征值， O O O 的列是 A A A 的特征向量，且 O T O^T OT 表示 O O O 的转置。
- 谱定理（Spectral Theorem）：实对称矩阵的谱定理表明，实对称矩阵可以被分解为一系列的外积形式，每个外积对应一个特征值和其相应的单位特征向量。
- 分解的唯一性：实对称矩阵的特征值分解是唯一的，如果特征值都是非重复的。即使存在重复的特征值，特征向量的集合也可以通过正交化过程唯一确定。
- 相似性 ：两个相似的实对称矩阵必定是正交相似的，即存在一个正交矩阵 Q Q Q 使得 Q T A Q Q^TAQ QTAQ是对角的。
在物理学中，实对称矩阵经常用于表示各种物理量，特别是那些满足时间反演对称性的系统。此外，它们在多个技术和科学领域中也很重要，例如在力学、光学、电子学和量子力学等。在统计学中，协方差矩阵是一个常见的实对称矩阵的例子，它描述了随机变量间的相互关系。在工程学的各个应用中，例如结构分析和信号处理，实对称矩阵也扮演着关键角色。
斜对称矩阵（Skew-symmetric matrix）
斜对称矩阵（Skew-symmetric matrix），又称反对称矩阵，是一种特殊的方阵。对于实数域上的斜对称矩阵 A A A，它等于自己的转置矩阵的相反数。换句话说，一个 n × n n \times n n×n的方阵 A A A 是斜对称的，如果对所有的 i i i和 j j j都有：
A i j = − A j i A_{ij} = -A_{ji} Aij=−Aji
这意味着矩阵的对角线元素必须全部为零（因为 A i i = − A i i A_{ii} = -A_{ii} Aii=−Aii只能成立于 A i i = 0 A_{ii} = 0 Aii=0），并且矩阵的上三角部分是下三角部分的相反数。
斜对称矩阵具有以下性质：
- 零对角线：斜对称矩阵的对角元素全为零。
- 实特征值 ：实数域上的斜对称矩阵的特征值要么是零，要么成对出现为正负纯虚数对 λ \lambda λ 和 − λ -\lambda −λ。
- 正交性：任何实斜对称矩阵都可以被分解为一系列对称实数轴的旋转和/或反射。此外，实斜对称矩阵的特征向量可以被选择成相互正交的。
- 可对角化问题：不是所有的斜对称矩阵都可以在实数域上对角化，但可以在复数域上对角化。
- 保体积变换：斜对称矩阵通常与保持向量空间体积的线性变换相关联。在三维空间中，一个向量与其斜对称矩阵的乘积可以表示该向量绕某轴的旋转。
在物理学中，斜对称矩阵经常用于描述旋转和角动量。例如，在三维空间中，任何向量的叉积都可以用斜对称矩阵来表示。此外，斜对称矩阵在描述流体动力学和刚体动力学中的某些特性时也很有用。
在数学的其他领域，如几何学和代数拓扑学，斜对称结构亦有其重要性。例如，外代数就是利用反对称性构建起来的代数结构，它在多项式理论和微分形式中有着重要应用。