初阶数据结构：排序（学习笔记）

执笔者5482024-03-06 9:44

目录

  • [1. 各种排序算法的分类](#1. 各种排序算法的分类)
  • [2. 插入排序](#2. 插入排序)
    • [2.1 直接插入排序](#2.1 直接插入排序)
    • [2.2 希尔排序](#2.2 希尔排序)
  • [3. 选择排序](#3. 选择排序)
    • [3.1 选择排序](#3.1 选择排序)
    • [3.2 堆排序](#3.2 堆排序)
    • [4. 交换排序](#4. 交换排序)
    • [4.1 冒泡排序](#4.1 冒泡排序)
    • [4.2 快速排序](#4.2 快速排序)
    • [4.2.1 霍尔法（hoare）](#4.2.1 霍尔法（hoare）)
    • [4.2.2 挖坑法（hole）](#4.2.2 挖坑法（hole）)
    • [4.4.3 前后指针法](#4.4.3 前后指针法)
    • [4.4.4 补充：非递归快排](#4.4.4 补充：非递归快排)
    • [4.5 快排优化](#4.5 快排优化)
  • [5. 归并排序](#5. 归并排序)
  • [6. 非比较排序：计数排序](#6. 非比较排序：计数排序)
  • [7. 排序算法的稳定性](#7. 排序算法的稳定性)

1. 各种排序算法的分类

按照排序逻辑的不同，排序大体可以分为四大类：

  1. 插入排序
  2. 选择排序
  3. 交换排序
  4. 归并排序

接下来，我们进行这些排序的学习
！注：本章内容中的动图并非原创

2. 插入排序

2.1 直接插入排序

  1. 将整个数组的元素，从起始遍历，一次向后移动一步，看作是将一个元素插入到数组中。
  2. 在"插入"的过程中，当新插入的元素小于其前面的元素时，交换两者，循环此步骤，直至前面的元素不小于新插入的元素，到此成功插入一个元素。

过程演示：

cpp 复制代码 
void InsertSort(int* a, int n)
{
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		for (int j = i; a[j - 1] > a[j]; j--)
		{
			swap(&a[j - 1], &a[j]);
		}
	}
}

2.2 希尔排序

  1. 根据给定组距，进行数据的分组，组内进行插入排序。
  2. 不断减小组距，直至组距为1。
  3. 注：在组距不为1时，都是预排序，让数据更接近有序。
cpp 复制代码 
//多趟排
void ShellSort1(int* a, int n)
{
	int gap = n / 2;
	while (gap > 0)
	{
		for (int i = 0; i < gap; i++)
		{
			for (int j = i; j + gap < n; j += gap)
			{
				if (a[j] > a[j + gap])
				{
					swap(&a[j], &a[j + gap]);
				}
			}
		}

		gap /= 2;
	}
}

//一趟排
void ShellSort2(int* a, int n)
{
	int gap = n / 2;
	while (gap > 0)
	{
		for (int i = 0; i + gap < n; i++)
		{
			if (a[i] > a[i + gap])
			{
				swap(&a[i], &a[i + gap]);
			}
		}

		gap /= 2;
	}
}

3. 选择排序

3.1 选择排序

  1. 遍历一次，从数据中选出最小（或最大）的数据放至数据首部。
  2. 多次遍历选择，直至将最后一个数据选走。

过程演示：

cpp 复制代码 
void SelectSort(int* a, int n)
{
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		int min = i;
		for (int j = i; j < n; j++)
		{
			if (a[j] < a[min])
			{
				min = j;
			}
		}

		swap(&a[i], &a[min]);
	}
}

选择排序优化：

一次遍历选出最大值与最小值

cpp 复制代码 
void SelectSort2(int* a, int n)
{
	for (int i = 0; i < n / 2; i++)
	{
		int max = i;
		int min = i;
		for (int j = i; j < n - i; j++)
		{
			if (a[j] > a[max])
			{
				max = j;
			}

			if (a[j] < a[min])
			{
				min = j;
			}
		}
		swap(&a[max], &a[n - i - 1]);
		swap(&a[min], &a[i]);
	}
}

3.2 堆排序

  1. 建大堆
  2. 交换首尾，size--，向下调整，直到size为0
cpp 复制代码 
void AdjustDown(int* a, int n, int root)
{
	int child = root * 2 + 1;
	while (child < n)
	{
		if (child + 1 < n && a[child] < a[child + 1])
		{
			child++;
		}

		if (a[root] < a[child])
		{
			swap(&a[root], &a[child]);
		}

		root = child;
		child = root * 2 + 1;
	}
}

void HeapSort(int* a, int n)
{
	//建大堆
	for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(a, n, i);
	}

	//交换首尾，调整
	int size = n;
	while (size > 0)
	{
		swap(&a[0], &a[size - 1]);
		size--;
		AdjustDown(a, size, 0);
	}
}

4. 交换排序

4.1 冒泡排序

  1. 建立两个一前一后的指针，用这两个指针遍历整个数组
  2. 若后指针指向的数据大于前指针指向的数据，交换前后指针所指向的元素，之后两指针++，直至遍历完数据，得出一个最大数，需遍历的数据长度减1，此为遍历一趟。
  3. 多次遍历，当长度为0时，排序结束

过程演示：

cpp 复制代码 
void BubbleSort(int* arr, int n)
{
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		int flag = 1;
		for (int j = 0; j + 1 < n - i; j++)
		{
			if (arr[j] > arr[j + 1])
			{
				swap(&arr[j], &arr[j + 1]);
				flag = 0;
			}
		}

		if (flag)
		{
			break;
		}
	}
}

4.2 快速排序

4.2.1 霍尔法（hoare）

  1. 将数据的首位确定为对照key，定义两个指针left（数据首部），right（数据尾部）。
  2. 右侧指针反向遍历数组，寻找小于key的值，当找到后停止，左侧指针正向遍历数组，寻找大于key的值，找到后将两指针指向的数据交换。
  3. 重复上述步骤2，直至左右指针相遇，交换key元素与左右指针同时指向的元素，此为一趟排序。
  4. 将数据分割为[0，key - 1]与[key + 1，n]，在这两个区间内再进行上述步骤2，3。直至所有元素的位置都被确认。

过程演示：

cpp 复制代码 
// 快速排序hoare版本
int PartSort1(int* a, int left, int right)
{
	int key = left;
	int keyi = a[key];

	while (left < right)
	{
		while (left < right && a[right] >= keyi)
		{
			right--;
		}

		while (left < right && a[left] <= keyi)
		{
			left++;
		}

		swap(&a[left], &a[right]);
	}

	if (a[left] < keyi)
	{
		swap(&a[left], &a[key]);
		key = left;
	}

	return key;
}

4.2.2 挖坑法（hole）

  1. 选择首位数据为key，然后将数据的首位标记为hole，创建两个指针left（首位 ），right（数据尾部）。
  2. 右侧指针找寻找小于key元素的值，找到后，将所找到的元素填充至挖好的"洞"里，此元素原位置标记为新的洞，然后，移动左侧指针寻找大于key元素的值，找到后，将找到的元素填入洞中。重复上述步骤，直至左右指针相遇，将key值填入左右指针相遇的位置，此时即确定好了key的位置。
  3. 在[left，key - 1]与[key + 1, right]的区间中，重复步骤2，直至所有位置都被确定。

过程演示：

cpp 复制代码 
int PartSort2(int* a, int left, int right)
{
	int hole = left;
	int keyi = a[hole];
	
	while (left < right)
	{
		//额外检查，越界可能
		while (left < right && a[right] >= keyi)
		{
			right--;
		}

		if (a[right] < keyi)
		{
			a[hole] = a[right];
			hole = right;
		}

		while (left < right && a[left] <= keyi)
		{
			left++;
		}

		if (a[left] > keyi)
		{
			a[hole] = a[left];
			hole = left;
		}
	}

	a[hole] = keyi;

	return hole;
}

void QuickSort(int* a, int left, int right)
{
	if (left >= right)
	{
		return;
	}

	int key = PartSort2(a, left, right);
	QuickSort(a, left, key - 1);
	QuickSort(a, key + 1, right);
}

4.4.3 前后指针法

思路1：

  1. 将数据首位设置为key，创建两个指针pre（首部），cur（首部 + 1）。
  2. cur开始遍历整个数组，如果cur指针指向的值小于key，那么pre指针一同++，否则pre指针不动，直至cur再次寻找到小于key的值，此时，pre++，然后将两指针指向的值交换。如此，反复直至cur遍历完整个数组，最后，将key与pre指针指向的值交换。
  3. 在[left，key - 1]与[key + 1, right]的区间中，重复步骤2，直至所有位置都被确定。

思路2：

  1. [left + 1，pre]区间为小于key的值，[pre + 1，cur - 1]为大于key的值，[cur，right]为未遍历到的值。
  2. cur指针遍历寻找小于pre指针的数据，找到后pre++，交换两指针所指向的值。

过程演示：

cpp 复制代码 
int PartSort3(int* a, int left, int right)
{
	int pre = left;
	int cur = left + 1;
	int keyi = a[left];

	while (cur <= right)
	{
		if (a[cur] < keyi)
		{
			swap(&a[++pre], &a[cur]);
		}

		cur++;
	}

	swap(&a[left], &a[pre]);

	return pre;
}

void QuickSort(int* a, int left, int right)
{
	if (left >= right)
	{
		return;
	}

	int key = PartSort3(a, left, right);
	QuickSort(a, left, key - 1);
	QuickSort(a, key + 1, right);
}

4.4.4 补充：非递归快排

  1. 将原本递归传递的区间存储到栈中，用时从栈中取出
cpp 复制代码 
void QuickSortNonR(int* a, int left, int right)
{
	Stack stack;
	StackInit(&stack);

	//插入第一次遍历区间范围
	StackPush(&stack, left);
	StackPush(&stack, right);

	while (!StackEmpty(&stack))
	{
		//取出区间值进行运算
		right = StackTop(&stack);
		StackPop(&stack);
		left = StackTop(&stack);
		StackPop(&stack);

		int key = PartSort3(a, left, right);
		
		//区间遍历顺序：左区间，右区间
		if (key + 1 < right)
		{
			StackPush(&stack, key + 1);
			StackPush(&stack, right);
		}

		if (left < key - 1)
		{
			StackPush(&stack, left);
			StackPush(&stack, key - 1);
		}
	}
}

4.5 快排优化

  1. 三数取中（getmid）
  2. 当递归到小区间时，可以转而进行插入排序
cpp 复制代码 
//三数取中
int GetMidNum(int* a, int left, int right)
{
	int mid = (left + right) / 2;
	
	if(a[mid] > a[left])
	{
		if(a[mid] < a[right])
		{
			return mid;
		}
		else
		{
			if(a[right] > a[left])
			{
				return right;
			}
			else
			{
				return left;
			}
		}
	}
	else
	{
		if(a[mid] > a[right])
		{
			return mid;
		}
		else
		{
			if(a[left] < a[right])
			{
				return left;
			}
			else
			{
				return right;
			}
		}
	}
}

5. 归并排序

思路1：

归并逻辑：二叉树的遍历（深度优先：左右根）

  1. 将需要进行归并的区间范围视作结点，根结点的区间为整个数组
  2. 左右孩子结点为将区间范围一分为2，左孩子为前半区间，右孩子为后半区间
  3. 对每次得到的新区间都进行上述处理，直至区间中的元素数（<=2），即视为叶子结点。
  4. 按照后序遍历二叉树的顺序，对结点区间内的数据进行插入排序。

过程演示：

递归法：

cpp 复制代码 
void _mergesort(int* a, int* tmp, int left, int right)
{
	//深度优先
	if (left >= right)
	{
		return;
	}

	int mid = (right + left) / 2;
	_mergesort(a, tmp, left, mid);
	_mergesort(a, tmp, mid + 1, right);

	//插入
	int i = left;
	int j = mid + 1;
	int k = left;
	while (i <= mid && j <= right)
	{
		//当存在相同的数时
		if (a[i] <= a[j])
		{
			tmp[k++] = a[i++];
		}
		else
		{
			tmp[k++] = a[j++];
		}
	}

	while (i <= mid)
	{
		tmp[k++] = a[i++];
	}

	while (j <= right)
	{
		tmp[k++] = a[j++];
	}

	memcpy(a + left, tmp + left, (right - left + 1) * sizeof(int));
}

void MergeSort(int* a, int n)
{
	int* tmp = (int*)malloc(n * sizeof(int));

	_mergesort(a, tmp, 0, n - 1);

	free(tmp);
}

思路2：

  1. 将数组的元素分为两个两个一组，将每一组都使用插入排序调整为有序，遍历一遍数组
  2. 将一组中的元素数翻倍，重复步骤1，遍历完成再次翻倍，直至一组中的元素数包含整个数组，排序完成
  3. 当剩余元素不足一组时，将剩余元素也算作一组

非递归法：

cpp 复制代码 
void MergeSortNonR(int* a, int n)
{
	int* c_a = (int*)malloc(n * sizeof(int));

	int gap = 1;
	while (gap < n)
	{
		//确定初始区间
		int begin1 = 0;
		int end1 = begin1 + gap - 1;

		int begin2 = end1 + 1;
		int end2 = begin2 + gap - 1;
		//检测防止越界
		if (end2 >= n)
		{
			end2 = n - 1;
		}

		while (begin1 < n)
		{
			//插入
			int i = begin1;
			int j = begin2;
			int k = begin1;
			while (i <= end1 && j <= end2)
			{
				if (a[i] <= a[j])
				{
					c_a[k++] = a[i++];
				}
				else
				{
					c_a[k++] = a[j++];
				}
			}

			while (i <= end1)
			{
				c_a[k++] = a[i++];
			}

			while (j <= end2)
			{
				c_a[k++] = a[j++];
			}

			//拷贝回原数组
			memcpy(a + begin1, c_a + begin1, (end2 - begin1 + 1) * sizeof(int));
			
			//向后调整区间
			begin1 = end2 + 1;
			end1 = begin1 + gap - 1;

			begin2 = end1 + 1;
			end2 = begin2 + gap - 1;

			//判断是否越界
			if (end1 >= n)
			{
				end1 = n - 1;
			}

			if (end1 < n && end2 >= n)
			{
				end2 = n - 1;
			}
		}

		gap *= 2;
	}

	free(c_a);
}

优化：

cpp 复制代码 
void MergeSortNonR(int* arr, int n)
{
    int* tmp = (int*)malloc(n * sizeof(int));

    //确定间距
    int gap = 1;
    while (gap < n)
    {
    	//i中间记录
        for (int i = 0; i < n; i += 2 * gap)
        {
            int begin1 = i;
            int end1 = begin1 + gap - 1;
            int begin2 = end1 + 1;
            int end2 = begin2 + gap - 1;
			
			//上一趟已经遍历过
            if (end1 >= n)
            {
                break;
            }

            if (end2 >= n)
            {
                end2 = n - 1;
            }

            int index = begin1;
            while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2)
            {
                if (arr[begin1] <= arr[begin2])
                {
                    tmp[index++] = arr[begin1++];
                }
                else
                {
                    tmp[index++] = arr[begin2];
                }
            }

            while (begin1 <= end1)
            {
                tmp[index++] = arr[begin1++];
            }

            while (begin2 <= end2)
            {
                tmp[index++] = arr[begin2++];
            }

            memcpy(arr + i, tmp + i, (end2 - i + 1) * sizeof(int));
        }

        gap *= 2;
    }
}

6. 非比较排序：计数排序

  1. 根据数据的范围，创建一个合适大小的数组。
  2. 下标对应数据，根据数据中各个数字的出现次数在对应的下标处计数++。
  3. 限制：
    <1> 数据范围不可跨度太大，会导致空间复杂度过高
    <2>只能用来处理整形数据。

过程演示：

cpp 复制代码 
void CountSort(int* a, int n)
{
	//选出最大值与最小值
	int min = a[0];
	int max = a[0];
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		if (a[i] < min)
		{
			min = a[i];
		}

		if (a[i] > max)
		{
			max = a[i];
		}
	}

	//开辟空间
	int size = max - min + 1;
	int* count = (int*)malloc(size * sizeof(int));
	memset(count, 0, n * sizeof(int));

	//计数
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		count[a[i] - min]++;
	}

	//读数
	int index = 0;
	for (int i = 0; i < size; i++)
	{
		while (count[i])
		{
			a[index++] = i + min;
			count[i]--;
		}
	}
}

7. 排序算法的稳定性

算法稳定性的判断标准：数据中相同数据在排序后，他们的相对位置是否变化。

  1. 直接插入排序（稳定，时间复杂度：O( n 2 n^2 n2)）
  2. 希尔排序（不稳定，时间复杂度略小于O( n 2 n^2 n2)）
  3. 选择排序（稳定，O( n 2 n^2 n2)）
  4. 堆排序（不稳定，O( n n n * logn)）
  5. 冒泡排序（稳定，O( n 2 n^2 n2)）
  6. 快速排序（不稳定，O( n n n * logn)）
  7. 归并排序（不稳定，O( n n n * logn)）
  8. 计数排序（稳定，O(n，Max)）
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