softmax和sigmoid的区别

sigmoid

公式： s i g m o i d ( x ) = 1 1 + e − x sigmoid(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} sigmoid(x)=1+e−x1

函数曲线如下：

导数公式： f ( x ) ′ = e − x ( 1 + e − x ) 2 = f ( x ) ( 1 − f ( x ) ) f(x)\prime = \frac{ e^{-x}}{(1 + e^{-x})^2} = f(x)(1-f(x)) f(x)′=(1+e−x)2e−x=f(x)(1−f(x))

导数曲线如下：

sigmoid代码：

import torch
import torch.nn.functional as F
 
// sigmoid函数
x = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0])
// y = 1 / (1 + torch.exp(-x))	
y = torch.sigmoid(x)
print(f"sigmoid result: {y}")
print(f"sigmoid derivative: {y * (1 - y)}")

softmax

公式：
s o f t m a x ( z i ) = z i ∑ j = 1 n e z j softmax(z_i) = \frac{z_i}{\sum_{j=1}^n e^{z_j}} softmax(zi)=∑j=1nezjzi

指数函数曲线： y = e x y= e^{x} y=ex

• 引入指数形式的优点：
  指数函数曲线呈现递增趋势，斜率逐渐增大，在 x 轴上一个很小的变化可以导致 y 轴上很大的变化。
• 引入指数形式的缺点：
  当 z值非常大时，计算得到的数值会变得非常大，可能会溢出。通常针对数值溢出的方法，是将每一个输出值减去输出值中的最大值。

导数公式：

softmax代码：

import torch
import torch.nn.functional as F

def softmax(x):
    """Compute the softmax of vector x."""
    exps = np.exp(x)
    return exps / np.sum(exps) 

// softmax函数
x = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0])
y = F.softmax(x, dim=0)
print(f"softmax result: {y}")
print(f"softmax derivative: {torch.diag(y) - torch.outer(y, y)}")

softmax与cross entropy的联系

事实上，交叉熵与Softmax没有直接的关系。

交叉熵本质是衡量两个概率分布的距离的，而softmax能把一切转换成概率分布。
H ( L , P ) = − ∑ j = 1 n L j l o g ( P j ) H(L,P) = -\sum_{j=1}^nL_jlog(P_j) H(L,P)=−j=1∑nLjlog(Pj)

其中P是预测概率分布，L是真实标签分布。