欧拉计划第6题：Sum square difference（和的平方 平方的和）

欧拉计划简介，本系列希望以通俗易懂的语言、简洁的代码，带大家体会数学与编程结合的魅力。

Problem 6：Sum square difference

标签：和的平方、平方的和

原文：The sum of the squares of the first ten natural numbers is,

1 2 + 2 2 + ... + 1 0 2 = 385 1^2+2^2+\ldots +10^2=385 12+22+...+102=385

The square of the sum of the first ten natural numbers is,

( 1 + 2 + ... + 10 ) 2 = 5 5 2 = 3025 (1+2+\ldots+10)^2 = 55^2 = 3025 (1+2+...+10)2=552=3025

Hence the difference between the sum of the squares of the first ten natural numbers and the square of the sum is 3025 − 385 = 2640 3025 − 385 = 2640 3025−385=2640.

Find the difference between the sum of the squares of the first one hundred natural numbers and the square of the sum.

翻译 ：前十个自然数的 平方的和 是

1 2 + 2 2 + ... + 1 0 2 = 385 1^2+2^2+\ldots +10^2=385 12+22+...+102=385

前十个自然数的 和的平方 是

( 1 + 2 + ... + 10 ) 2 = 5 5 2 = 3025 (1+2+\ldots+10)^2 = 55^2 = 3025 (1+2+...+10)2=552=3025

因此，前十个自然数 和的平方 与 平方的和 之差是 3025 − 385 = 2640 3025 − 385 = 2640 3025−385=2640。

求前一百个自然数 和的平方 与 平方的和 之差。

枚举法题解：循环枚举一下。

枚举法代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int sum1 = 0, sum2 = 0;
    for (int i = 1; i <= 100; i++) {
        sum1 += i;
        sum2 += i * i;
    }
    // 和的平方、平方的和
    cout << sum1 * sum1 - sum2 << endl;
    return 0;
}

数学题解 ：自然数的 和的平方 通项公式为 X = ( n ( n + 1 ) 2 ) 2 \large X=(\frac{n(n+1)}{2})^2 X=(2n(n+1))2

自然数的 平方的和 通项公式为 Y = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 \large Y=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} Y=6n(n+1)(2n+1)

则 和的平方 与 平方的和 差值公式为： X − Y = ( n ( n + 1 ) 2 ) 2 − n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 = n ( n − 1 ) ( n + 1 ) ( 3 n + 2 ) 12 X-Y=(\frac{n(n+1)}{2})^2-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{n(n-1)(n+1)(3n+2)}{12} X−Y=(2n(n+1))2−6n(n+1)(2n+1)=12n(n−1)(n+1)(3n+2)

数学代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int n = 100;
    cout << n * (n-1) * (n+1) * (3*n+2) / 12;
    return 0;
}

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"欧拉计划的存在，是为了每个对数学感兴趣的人，鼓励他们，挑战他们，并最终培养他们的能力与乐趣。"