【考研】高等数学总结

文章目录

[第一章极限函数连续](#第一章极限函数连续)
- [1.1 极限存在准则及两个重要极限](#1.1 极限存在准则及两个重要极限)
- - [1.1.1 夹逼定理](#1.1.1 夹逼定理)
  - - [1.1.1.1 数列夹逼定理](#1.1.1.1 数列夹逼定理)
    - 1.1.1.2函数夹逼定理
  - [1.1.2 两个重要极限](#1.1.2 两个重要极限)
  - - [1.1.2.1 极限公式1](#1.1.2.1 极限公式1)
    - - [1.1.2.1.1 证明](#1.1.2.1.1 证明)
      - [1.1.2.1.2 数列的单调有界收敛准则](#1.1.2.1.2 数列的单调有界收敛准则)
      - [1.1.2.1.2.1 二项式定理](#1.1.2.1.2.1 二项式定理)
        
        [1.1.2.1.2.2 证明](#1.1.2.1.2.2 证明)
    - [1.1.2.2 极限公式2](#1.1.2.2 极限公式2)
    - - [1.1.2.2.1 证明（与1.2.1.2数列单调有界收敛准则对应）](#1.1.2.2.1 证明（与1.2.1.2数列单调有界收敛准则对应）)
- [1.2 无穷大与无穷小](#1.2 无穷大与无穷小)
- - [1.2.1 概念](#1.2.1 概念)
  - - [1.2.1.1 无穷小的概念](#1.2.1.1 无穷小的概念)
    - [1.2.1.2 无穷大的概念](#1.2.1.2 无穷大的概念)
    - [1.2.1.3 无穷小阶的概念](#1.2.1.3 无穷小阶的概念)

这样记没任何用处，还很浪费时间，但是这样删了太可惜了，反正没人看，就随便发发，不完整的

第一章极限函数连续

1.1 极限存在准则及两个重要极限

1.1.1 夹逼定理

1.1.1.1 数列夹逼定理

如果数列 { X n } \{X_n\} {Xn} , { Y n } \{Y_n\} {Yn} 及 { Z n } \{Z_n\} {Zn} 满足下列条件：

(1)当 n > N 0 n>N_0 n>N0 时，其中 N 0 ∈ N ∗ N_0\in N^* N0∈N∗,有 Y n ≤ X n ≤ Z n Y_n\leq X_n\leq Z_n Yn≤Xn≤Zn .

(2) { Y n } \{Y_n\} {Yn} 、 { Z n } \{Z_n\} {Zn} 有相同的极限 a a a ,设 − ∞ < a < + ∞ -\infty<a<+\infty −∞<a<+∞ , 则，数列 { X n } \{X_n\} {Xn} 的极限存在，且 lim ⁡ n → ∞ X n = a \lim_{n\to\infty}X_n=a limn→∞Xn=a .

证明：因为 lim ⁡ n → ∞ Y n = a \lim_{n\to\infty}Y_n=a limn→∞Yn=a , lim ⁡ n → ∞ Z n = a \lim_{n\to\infty}Z_n=a limn→∞Zn=a ,所以根据数列极限的定义，对于任意给定的正数 ε \varepsilon ε ,存在正整数 N 1 N_1 N1、 N 2 N_2 N2 ,当 n > N 1 n>N_1 n>N1时，有 ∣ Y n − a ∣ < ε |Y_n-a|<\varepsilon ∣Yn−a∣<ε,当 n > N 2 n>N_2 n>N2 时，有 ∣ Z n − a ∣ < ε |Z_n-a|<\varepsilon ∣Zn−a∣<ε,取 n = m a x { N 0 , N 1 , N 2 } n=max\left\{N_0,N_1,N_2\right\} n=max{N0,N1,N2},则当 n > N n>N n>N 时， ∣ Y n − a ∣ < ε |Y_n-a|<\varepsilon ∣Yn−a∣<ε 、 ∣ Z n − a ∣ < ε |Z_n-a|<\varepsilon ∣Zn−a∣<ε 同时成立，且 Y n ≤ X n ≤ Z n Y_n\leq X_n\leq Z_n Yn≤Xn≤Zn ,即 a − ε < Y n < a + ε a-\varepsilon<Y_n<a+\varepsilon a−ε<Yn<a+ε , a − ε < Z n < a + ε a-\varepsilon<Z_n<a+\varepsilon a−ε<Zn<a+ε ,又因为 a − ε < Y n ≤ X n ≤ Z n < a + ε a-\varepsilon<Y_n\leq X_n\leq Z_n<a+\varepsilon a−ε<Yn≤Xn≤Zn<a+ε ,即 ∣ X n − a ∣ < ε |X_n-a|<\varepsilon ∣Xn−a∣<ε 成立。也就是说 lim ⁡ n → ∞ X n = a n \lim_{n\to\infty}X_n=a_n limn→∞Xn=an

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1.1.1.2函数夹逼定理

f ( x ) f(x) f(x)与 g ( x ) g(x) g(x)在xO处连续且存在相同的极限A，即 x → x x\to x x→xO时，lim f(x)=lim g ( x ) = A g(x)=\mathbb{A} g(x)=A,则若有函数K(x)在x0 的某邻域内(如 x 0 ∈ ( x 1 , x 2 ) x0\in(x1,x2) x0∈(x1,x2)),恒有f(x)sk(x)sg(x),则当X趋近x0时，有lim f(x)slim k(x)slim g(x), 即Aslim k(x)sA

故lim k(x)=A。

简单地说：函数A>B,函数B>C,函数A的极限是X，函数C的极限也是X ,那么函数B的极限就一定是X，这个就是夹逼定理。

1.1.2 两个重要极限

1.1.2.1 极限公式1

lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x x = 1 \lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1 x→0limxsinx=1
使用该公式时注意它的使用条件。一定是对 0 0 这样的函数形式求极限使用该公式时注意它的使用条件。一定是对 \frac00 这样的函数形式求极限使用该公式时注意它的使用条件。一定是对00这样的函数形式求极限

1.1.2.1.1 证明

在该圆里，半径为1，OC为X，AC为Y，

则sinθ=y/r=y，tanθ=Y/X=BD/OB=BD，弧AB的长=θ * 2πr/360 =θ * 2π/360 =θ

扇形的面积公式为lr/2=θ

1.S△OBD＞S扇OAB＞S△OAB=tanθ/2>θ/2>sinθ/2

2.tanθ > θ > sinθ = tanθ/sinθ > θ/sinθ > 1 = 1/cosθ>θ / sinθ > 1，在θ趋于0时cossθ的极限值为1，因此1/cosθ极限值为1，根据夹逼定理θ / sinθ的极限值为1。

1.1.2.1.2 数列的单调有界收敛准则

1.1.2.1.2.1 二项式定理

1.二项式定理的内容
( a + b ) n = C n 0 a n + C n 1 a n − 1 b + ⋯ + C n k a n − k b k + ⋯ + C n n b n (a+b)^{n}=C_{n}^{0}a^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}b+\cdots+C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}+\cdots+C_{n}^{n}b^{n} (a+b)n=Cn0an+Cn1an−1b+⋯+Cnkan−kbk+⋯+Cnnbn

右边多项式叫(a+b)^n的二项展开式；

2.二项式系数 : C n 0 , C n 1 , C n 2 , . . . C n r , . . . C n n :C_n^0,C_n^1,C_n^2,...C_n^r,...C_n^n :Cn0,Cn1,Cn2,...Cnr,...Cnn

3,二项展开式的通项 T k + 1 = C n k a n − k b k T_{k+1}=C_n^ka^{n-k}b^k Tk+1=Cnkan−kbk

(b+a)^n, (a-b)^n的通项则分别为： T k + 1 = C n k b n − k a k ; T k + 1 = C n k a n − k ( − b ) k T_{k+1}=C_{n}^{k}b^{n-k}a^{k};T_{k+1}=C_{n}^{k}a^{n-k}\left(-b\right)^{k} Tk+1=Cnkbn−kak;Tk+1=Cnkan−k(−b)k

4.在定理中，令 a = 1 , b = x a=1,b=x a=1,b=x,则
( 1 + x ) n = C n 0 + C n 1 x + C n 2 x 2 + ⋯ + C n r x r + ⋯ + C n n x n \left(1+x\right)^n=C_n^0+C_n^1x+C_n^2x^2+\cdots+C_n^rx^r+\cdots+C_n^nx^n (1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+⋯+Cnrxr+⋯+Cnnxn

1.1.2.1.2.2 证明

证明 a n = ( 1 + 1 n ) n 收敛 . \text{证明 }a_n=(1+\frac1n)^n\text{ 收敛}. 证明 an=(1+n1)n 收敛.

证明 a n = ( 1 + 1 n ) n 收敛 . 证 a n = 1 + 1 + n ( n − 1 ) 2 ! ⋅ 1 n 2 + ⋯ + n ( n − 1 ) ⋯ ( n − k + 1 ) k ! ⋅ 1 n k + ⋯ + n ( n − 1 ) ⋯ 2 ⋅ 1 n ! ⋅ 1 n n = 1 + 1 + 1 2 ! ( 1 − 1 n ) + ⋯ + 1 k ! ( 1 − 1 n ) ( 1 − 2 n ) ⋯ ( 1 − k − 1 n ) + ⋯ + 1 n ! ( 1 − 1 n ) ( 1 − 2 n ) ⋯ ( 1 − n − 1 n ) ∴ a n < a n + 1 , a n 单调增 . \begin{aligned} &&& \text{证明}a_n=(1+\frac1n)^n\text{ 收敛}. \\ &&& \text{证}\quad a_n=1+1+\frac{n(n-1)}{2!}\cdot\frac1{n^2}+\cdots+\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\cdot\frac1{n^k} \\ &&&+\cdots+\frac{n(n-1)\cdots2\cdot1}{n!}\cdot\frac1{n^n} \\ &&&=1+1+\frac1{2!}{\left(1-\frac1n\right)}+\cdots+\frac1{k!}{\left(1-\frac1n\right)}{\left(1-\frac2n\right)}\cdots{\left(1-\frac{k-1}n\right)} \\ &&&+\cdots+\frac1{n!}\left(1-\frac1n\right)\left(1-\frac2n\right)\cdots\left(1-\frac{n-1}n\right) \\ &&&\therefore a_n<a_{n+1},\quad a_n\text{ 单调增}. \end{aligned} 证明an=(1+n1)n 收敛.证an=1+1+2!n(n−1)⋅n21+⋯+k!n(n−1)⋯(n−k+1)⋅nk1+⋯+n!n(n−1)⋯2⋅1⋅nn1=1+1+2!1(1−n1)+⋯+k!1(1−n1)(1−n2)⋯(1−nk−1)+⋯+n!1(1−n1)(1−n2)⋯(1−nn−1)∴an<an+1,an 单调增.
又 a n < 1 + 1 + 1 2 ! + 1 3 ! + ⋯ + 1 k ! + ⋯ + 1 n ! < 1 + 1 + 1 2 + 1 2 2 + ⋯ + 1 2 n − 1 = 1 + 1 − 1 2 n 1 − 1 2 < 1 + 1 1 − 1 2 = 3 ∴ a 有界 . 记作 lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 n ) n = e 0<e<3 \begin{aligned} &又a_{n}&& <1+1+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\cdots+\frac1{k!}+\cdots+\frac1{n!} \\ &&&<1+1+\frac12+\frac1{2^2}+\cdots+\frac1{2^{n-1}}=1+\frac{1-\frac1{2^n}}{1-\frac12}<1+\frac1{1-\frac12}=3\\ &\therefore a{有界}. \\ &\text{记作}\boxed{\lim_{n\to\infty}(1+\frac1n)^n=e}\text{0<e<3}\ \end{aligned} 又an∴a有界.记作n→∞lim(1+n1)n=e0<e<3 <1+1+2!1+3!1+⋯+k!1+⋯+n!1<1+1+21+221+⋯+2n−11=1+1−211−2n1<1+1−211=3

1.1.2.2 极限公式2

lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = e \lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e x→∞lim(1+x1)x=e

变式

lim ⁡ x → 0 ( 1 + x ) 1 x = e \lim_{x\to0}(1+x)^{\frac1x}=e x→0lim(1+x)x1=e

1.1.2.2.1 证明（与1.2.1.2数列单调有界收敛准则对应）

证明：首先证明此极限存在

构造数列 x n = ( 1 + 1 n ) n x_n=\left(1+\frac1n\right)^n xn=(1+n1)n

x n = 1 + C n 1 1 n + C n 2 1 n 2 + C n 3 1 n 3 + ... + C n n 1 n n = 1 + n ⋅ 1 n + n ( n − 1 ) 2 ! ⋅ 1 n 2 + n ( n − 1 ) ( n − 2 ) 3 ! ⋅ 1 n 3 + ⋯ + n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ 1 n ! ⋅ 1 n n = 1 + 1 + 1 2 ! ⋅ ( 1 − 1 n ) + 1 3 ! ⋅ ( 1 − 1 n ) ( 1 − 2 n ) + ⋯ + 1 n ! ⋅ ( 1 − 1 n ) ( 1 − 2 n ) ⋯ ( 1 − n − 1 n ) < 2 + 1 2 ! + 1 3 ! + ⋯ + 1 n ! < 2 + 1 2 + 1 2 2 + ⋯ + + 1 2 n − 1 = 3 − 1 2 n − 1 <3 \begin{aligned} x_{n}& =1+C_n^1\frac1n+C_n^2\frac1{n^2}+C_n^3\frac1{n^3}+\ldots+C_n^n\frac1{n^n} \\ &=1+n\cdot\frac1n+\frac{n(n-1)}{2!}\cdot\frac1{n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\cdot\frac1{n^3}+\cdots+\frac{n(n-1)(n-2)\cdotp\cdotp\cdotp1}{n!}\cdot\frac1{n^n} \\ &=1+1+\frac1{2!}\cdot\left(1-\frac1n\right)+\frac1{3!}\cdot\left(1-\frac1n\right)\left(1-\frac2n\right)+\cdots+\frac1{n!}\cdot\left(1-\frac1n\right)\left(1-\frac2n\right) \\ \cdots\left(1-\right.& \left.\frac{n-1}n\right) \\ &<2+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\cdots+\frac1{n!} \\ &<2+\frac12+\frac1{2^2}+\cdots++\frac1{2^{n-1}} \\ &=3-\frac1{2^{n-1}} \\ &\text{<3} \end{aligned} xn⋯(1−=1+Cn1n1+Cn2n21+Cn3n31+...+Cnnnn1=1+n⋅n1+2!n(n−1)⋅n21+3!n(n−1)(n−2)⋅n31+⋯+n!n(n−1)(n−2)⋅⋅⋅1⋅nn1=1+1+2!1⋅(1−n1)+3!1⋅(1−n1)(1−n2)+⋯+n!1⋅(1−n1)(1−n2)nn−1)<2+2!1+3!1+⋯+n!1<2+21+221+⋯++2n−11=3−2n−11<3

而对于n+1

x n + 1 = ( 1 + 1 n + 1 ) n + 1 = 1 + 1 + 1 2 ! ⋅ ( 1 − 1 n + 1 ) + 1 3 ! ⋅ ( 1 − 1 n + 1 ) ( 1 − 2 n + 1 ) + ⋯ + 1 n ! ⋅ ( 1 − 1 n + 1 ) ( 1 − 2 n + 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( 1 − n − 1 n + 1 ) + 1 ( n + 1 ) ! ⋅ ( 1 − 1 n + 1 ) ( 1 − 2 n + 1 ) ⋯ ( 1 − n − 1 n + 1 ) ( 1 − n n + 1 ) > x n \begin{aligned} x_{n+1}& =\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1} \\ &=1+1+\frac1{2!}\cdot\left(1-\frac1{n+1}\right)+\frac1{3!}\cdot\left(1-\frac1{n+1}\right)\left(1-\frac2{n+1}\right)+\cdots+ \\ &\frac1{n!}\cdot\left(1-\frac1{n+1}\right)\left(1-\frac2{n+1}\right)\cdot\cdot\cdot\left(1-\frac{n-1}{n+1}\right)+ \\ &\frac1{(n+1)!}\cdot\left(1-\frac1{n+1}\right)\left(1-\frac2{n+1}\right)\cdots\left(1-\frac{n-1}{n+1}\right)\left(1-\frac n{n+1}\right) \\ &\text{>}x_{n} \end{aligned} xn+1=(1+n+11)n+1=1+1+2!1⋅(1−n+11)+3!1⋅(1−n+11)(1−n+12)+⋯+n!1⋅(1−n+11)(1−n+12)⋅⋅⋅(1−n+1n−1)+(n+1)!1⋅(1−n+11)(1−n+12)⋯(1−n+1n−1)(1−n+1n)>xn

由单调有界数列必有极限可知，数列 x n = ( 1 + 1 n ) n x_n=\left(1+\frac1n\right)^n xn=(1+n1)n的极限一定存在。记此极限为 e e e

对于实数 x x x ,则总存在整数 n n n ,使得 n ⩽ x ⩽ n + 1 n\leqslant x\leqslant n+1 n⩽x⩽n+1

则有 ( 1 + 1 n + 1 ) n < ( 1 + 1 x ) x < ( 1 + 1 n ) n + 1 \text{则有}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n<\left(1+\frac{1}{x}\right)^x<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} 则有(1+n+11)n<(1+x1)x<(1+n1)n+1

lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 n + 1 ) n = lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 n + 1 ) n + 1 ( 1 + 1 n + 1 ) = lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 n + 1 ) n + 1 lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 n + 1 ) \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{n+1}\right)^n=\lim_{n\to\infty}\frac{\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac1{n+1}\right)}=\frac{\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}}{\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1{n+1}\right)} n→∞lim(1+n+11)n=n→∞lim(1+n+11)(1+n+11)n+1=limx→∞(1+n+11)limx→∞(1+n+11)n+1

= e 1 + 0 = e =\frac e{1+0}=e =1+0e=e

lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 n ) n + 1 = lim ⁡ n → ∞ ( ( 1 + 1 n ) n ( 1 + 1 n ) ) \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{n+1}=\lim_{n\to\infty}\left(\left(1+\frac1n\right)^n\left(1+\frac1n\right)\right) limn→∞(1+n1)n+1=limn→∞((1+n1)n(1+n1))

= lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 n ) n lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 n ) = e ⋅ ( 1 + 0 ) = e \begin{aligned} &=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right) \\ &=e\cdot(1+0) \\ &=e \end{aligned} =n→∞lim(1+n1)nn→∞lim(1+n1)=e⋅(1+0)=e

根据两边夹定理，函数 f ( x ) = lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 x ) x f(x)=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x f(x)=limx→∞(1+x1)x的极限存在，为e

1.2 无穷大与无穷小

1.2.1 概念

1.2.1.1 无穷小的概念

若 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = 0 , 则称 f ( x ) 为 x → x 0 时的无穷小量 ( 或无穷小 ) . 记作 α ( x ) , β ( x ) 等 . \begin{aligned}&\text{若}\lim_{x\to x_0}f\left(x\right)=0,\text{则称}f\left(x\right)\text{为}x\to x_0\text{时的无穷小量}\left(\text{或无穷小}\right).\\&\text{记作 }\alpha(x),\beta(x)\text{等}.\end{aligned} 若x→x0limf(x)=0,则称f(x)为x→x0时的无穷小量(或无穷小).记作 α(x),β(x)等.

定理1： lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A ⇔ f ( x ) = A + α ( x ) \lim_{x\to x_0}f(x)=A\Leftrightarrow f(x)=A+\alpha(x) limx→x0f(x)=A⇔f(x)=A+α(x)

定理2：

有限个无穷小的和为无穷小
有限个无穷小的积为无穷小
无穷小与有界函数的积仍为无穷小

1.2.1.2 无穷大的概念

设 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_{0} x0某去心邻域 U ˚ ( x 0 ) \mathring{U}(x_{0}) U˚(x0)有定义， ∀ > 0 , ∃ δ > 0 \forall >0,\exists\delta>0 ∀>0,∃δ>0,当 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 0<|x-x_0|<\delta 0<∣x−x0∣<δ 时， ∣ f ( x ) ∣ > M . |f(x)|>M. ∣f(x)∣>M. 则称 f ( x ) f(x) f(x)为 x → x 0 x\to x_0 x→x0时的

无穷大量(或无穷大).

记作 lim x → x 0 x\to x_{0} x→x0 f ( x ) = ∞ f(x)=\infty f(x)=∞

定理：

无穷大的积仍为无穷大
无穷大的和不一定为无穷大

1.2.1.3 无穷小阶的概念

定义3 (无穷小的阶) 设 α ( x ) \alpha(x) α(x)与 β ( x ) \beta(x) β(x) 是自变量 x 在同一变化趋势下的两个无穷小，且 β ( x ) ≠ 0 \beta(x)\neq0 β(x)=0

(1) 若lim α ( x ) β ( x ) = 0 \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=0 β(x)α(x)=0,则称 α ( x ) \alpha(x) α(x)是 β ( x ) \beta(x) β(x) 的高阶无穷小，记作 α ( x ) = o [ β ( x ) ] \alpha(x)=o\left[\beta(x)\right] α(x)=o[β(x)]

(2) 若 lim α ( x ) β ( x ) = C ≠ 0 \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=C\neq0 β(x)α(x)=C=0,则称 α ( x ) \alpha(x) α(x)与 β ( x ) \beta(x) β(x) 为同阶无穷小；

(3)若 lim α ( x ) β ( x ) = 1 \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1 β(x)α(x)=1,则称 α ( x ) \alpha(x) α(x)与 β ( x ) \beta(x) β(x)为等价无穷小，记作 α ( x ) ∼ β ( x ) ; \alpha(x)\sim\beta(x); α(x)∼β(x); (3)若lim .

(4)若 lim ⁡ [ 0 , 0 , 1 ] α ( x ) ( x − ) k = C ≠ 0 , ( k > 0 ) \lim_{[0,0,1]}\frac{\alpha(x)}{(x-)^k}=C\neq0,\quad(k>0) lim[0,0,1](x−)kα(x)=C=0,(k>0),则称 α ( x ) \alpha(x) α(x) 是 β ( x ) \beta(x) β(x) 的 k k k 阶无穷小.