蜗牛——蓝桥杯

蜗牛

题目分析

第一个阶段定义dp数组

（1）缩小规模。我们要从第1根竹竿爬到第n根竹竿，那么规模就是这n根竹竿，dp $i$ 表示当前爬到了第i根竹竿。

（2）考虑限制。

限制1，只能在x轴或者竹竿上爬行，在x轴上爬行速度为1单位每秒，在竹竿上向上和向下爬行的速度分别为0.7单位每秒和1.3单位每秒。

限制2，在第i和第i+1个竹竿间有传送门，可以由第i根竹竿高度为 a i a_i ai的位置 ( x i , a i ) (x_i,a_i) (xi,ai)，瞬移到第i+1根竹竿高度为 b i + 1 b_{i+1} bi+1的位置 ( x i + 1 , b i + 1 ) (x_{i+1},b_{i+1}) (xi+1,bi+1)。

对于一个蜗牛的在第i根竹竿上的位置有两种状态，要么是从x轴爬过来的，此时高度为0，要么是从第i-1个竹竿瞬移过来的，此时高度为 b i b_i bi。需要一个状态表示此时蜗牛处在哪个位置，所以 d p $i$ $0$ dp $i$ $0$ dp $i$ $0$ 表示从x轴爬过来的，此时高度为0， d p $i$ $1$ dp $i$ $1$ dp $i$ $1$ 表示从第i-1个竹竿瞬移过来的，此时高度为 b i b_i bi。

（3）定义dp数组

d p $i$ $0$ dp $i$ $0$ dp $i$ $0$ 表示从x轴爬过来的，此时高度为0，花费的时间。

d p $i$ $1$ dp $i$ $1$ dp $i$ $1$ 表示从第i-1个竹竿瞬移过来的，此时高度为 b i b_i bi，花费的时间。

第二个阶段推导状态转移方程

d p $i$ $0$ = m i n ( d p $i - 1$ $0$ + x $i$ − x $i - 1$ , d p $i - 1$ $1$ + b $i$ / 1.3 ) dp $i$ $0$ =min(dp $i-1$ $0$ +x $i$ -x $i-1$ ,dp $i-1$ $1$ +b $i$ /1.3) dp $i$ $0$ =min(dp $i-1$ $0$ +x $i$ −x $i-1$ ,dp $i-1$ $1$ +b $i$ /1.3)

d p $i - 1$ $0$ + x $i$ − x $i - 1$ dp $i-1$ $0$ +x $i$ -x $i-1$ dp $i-1$ $0$ +x $i$ −x $i-1$ 表示是从第i-1个竹竿从x轴爬过来的，那么消耗的时间就是x轴上的距离 x $i$ − x $i - 1$ x $i$ -x $i-1$ x $i$ −x $i-1$ 。

d p $i - 1$ $1$ + b $i$ / 1.3 dp $i-1$ $1$ +b $i$ /1.3 dp $i-1$ $1$ +b $i$ /1.3表示是从第i-1个竹竿从x轴瞬移过来的，瞬移到高度为b $i$ 的地方，那么我要从那个地方下来，那么消耗的时间就是从y轴下来的距离 b $i$ / 1.3 b $i$ /1.3 b $i$ /1.3。

i f ( a $i$ > b $i$ ) if(a $i$ >b $i$ ) if(a $i$ >b $i$ )，如果是瞬移过来的，我要向上爬。

d p $i$ $1$ = m i n ( d p $i$ $0$ + a $i$ / 0.7 , d p $i - 1$ $1$ + ( a $i$ − b $i$ ) / 0.7 ) dp $i$ $1$ =min(dp $i$ $0$ +a $i$ /0.7,dp $i-1$ $1$ +(a $i$ -b $i$ )/0.7) dp $i$ $1$ =min(dp $i$ $0$ +a $i$ /0.7,dp $i-1$ $1$ +(a $i$ −b $i$ )/0.7)

i f ( a $i$ < b $i$ ) if(a $i$ <b $i$ ) if(a $i$ <b $i$ )，如果是瞬移过来的，我要向下爬。

d p $i$ $1$ = m i n ( d p $i$ $0$ + a $i$ / 0.7 , d p $i - 1$ $1$ + ( b $i$ − a $i$ ) / 1.3 ) dp $i$ $1$ =min(dp $i$ $0$ +a $i$ /0.7,dp $i-1$ $1$ +(b $i$ -a $i$ )/1.3) dp $i$ $1$ =min(dp $i$ $0$ +a $i$ /0.7,dp $i-1$ $1$ +(b $i$ −a $i$ )/1.3)

第三个阶段写代码

（1）dp数组的初始化

从(0,0)处开始爬，爬到第一个竹竿和第一个竹竿传送门处的耗时如下。

java 复制代码

double[][] dp = new double[n + 1][2];
dp[1][0] = x[1]; // 底端最小用时
dp[1][1] = x[1] + a[1] / 0.7; // 传送门用时

（2）递推dp数组

a.第一层for循环表示的是规模

c.第二层for循环表示的是dp数组的转移点只有两个，不需要用for循环

（3）表示答案

d p $n$ $0$ dp $n$ $0$ dp $n$ $0$

题目代码

java 复制代码

import java.util.Scanner;
public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int[] x = new int[n+1];
        int[] a = new int[n+1];
        int[] b = new int[n+1];
        for(int i = 1;i<=n;i++){
            x[i] = sc.nextInt();
        }
        for(int i = 1;i<n;i++){
            a[i] = sc.nextInt();
            b[i+1] = sc.nextInt();
        }
        double[][] dp = new double[n+1][2];
        dp[1][0] = x[1];
        dp[1][1] = x[1] + a[1]/0.7;
        for(int i = 2;i <= n;i++){
             dp[i][0] = Math.min(dp[i-1][1] +b[i]/1.3 ,dp[i-1][0]+x[i]-x[i-1]);
            if(a[i]>b[i]){
                dp[i][1] = Math.min(dp[i][0] + a[i]/0.7, dp[i-1][1] + (a[i]-b[i])/0.7);
            }else {
                dp[i][1] = Math.min(dp[i][0] + a[i]/0.7,dp[i-1][1] + (b[i]-a[i]) /1.3);
            }          
        }
        System.out.printf("%.2f",dp[n][0]);
        sc.close();
    }
}