文章目录
- 一、概述
- 二、符号表
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- [2.1 常用符号表](#2.1 常用符号表)
- [2.2 希腊字母表](#2.2 希腊字母表)
- 三、集合的表示与运算
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- [3.1 集合的表示](#3.1 集合的表示)
- [3.2 元素与集合](#3.2 元素与集合)
- [3.3 集合的运算](#3.3 集合的运算)
- [3.4 幂集](#3.4 幂集)
- [3.5 笛卡尔积](#3.5 笛卡尔积)
- [3.6 作业](#3.6 作业)
一、概述
本系列内容参考闵老师的博客：数学表达式: 从恐惧到单挑 (符号表)
（1）数学表达式的几个注意事项：
- 公式这种说法具有误导性，应该用equation或者expression表示；
- 数学表达式的特点不是复杂，而是与文字相比起来简单准确；
- 数学表达式不是越难懂越好，而是越简洁易懂越好；
（2）数学表达式学习建议：
- 建议最好找《离散数学》、《概率论与数理统计》、《机器学习》（西瓜书）等书籍模仿，其次是顶刊论文，一般论文不要看；
- 从简单到复杂；
（3）一些准则：
- 提到"XXX 公式"时，提出者必须是大数学家；
- 提到"XXX 说"时，这个人的水平不能低于周志华（国际人工智能联合会理事会主席）；
- 不可将其他可视化工具写的数学表达式转换为latex；
二、符号表
2.1 常用符号表
下表为符号常用表，在" 文字 "的两边加上" $ "符号即变成左边的符号（需要在markdown编辑器下添加，该模式写出的表达式的源码与Latex比较一致），还有一些符号需要逐步加入。
表2.1 常用符号表
| 符号 | 文字 | 涵义 | 备注 |
|---|---|---|---|
| x {x} x | x | 标量 | 小写字母 |
| x \mathbf{x} x | \mathbf{x} | 向量 | 小写字母 |
| X \mathbf{X} X | \mathbf{X} | 矩阵、集合 | 大写字母 |
| x T \mathbf{x}^{\mathrm{T}} xT | \mathbf{x}^{\mathrm{T}} | 向量转置 | T表示transpose |
注意：表示向量、集合等，可以使用粗体 \mathbf{x} ( x \mathbf{x} x)，\bm{x} ( x \bm{x} x)，\boldsymbol{x} ( x \boldsymbol{x} x)。主要全文统一即可，建议使用\mathbf{x}。
2.2 希腊字母表
表2.2 希腊字母表
| 希腊字母小写、大写 | LaTex形式 | 希腊字母小写、大写 | Latex形式 |
|---|---|---|---|
| α A \alpha A αA | \alpha A | μ N \mu N μN | \mu N |
| β B \beta B βB | \beta B | ξ Ξ \xi \Xi ξΞ | \xi \Xi |
| γ Γ \gamma \Gamma γΓ | \gamma \Gamma | o O o O oO | o O |
| δ Δ \delta \Delta δΔ | \delta \Delta | π Π \pi \Pi πΠ | \pi \Pi |
| ϵ ε E \epsilon \varepsilon E ϵεE | \epsilon \varepsilon E | ρ ϱ P \rho \varrho P ρϱP | \rho \varrho P |
| ζ Z \zeta Z ζZ | \zeta Z | σ Σ \sigma \Sigma σΣ | \sigma \Sigma |
| η H \eta H ηH | \eta H | τ T \tau T τT | \tau T |
| θ ϑ Θ \theta \vartheta \Theta θϑΘ | \theta \vartheta \Theta | υ Υ \upsilon \Upsilon υΥ | \upsilon \Upsilon |
| ω Ω \omega \Omega ωΩ | \omega \Omega | ϕ φ Φ \phi \varphi \Phi ϕφΦ | \phi \varphi \Phi |
| κ K \kappa K κK | \kappa K | χ X \chi X χX | \chi X |
| λ Λ \lambda \Lambda λΛ | \lambda \Lambda | ψ Ψ \psi \Psi ψΨ | \psi \Psi |
| μ M \mu M μM | \mu M | ι \iota ι | \iota |
三、集合的表示与运算
集合论是数学的基础，更是计算机的基础。在默认情况下，集合元素不可重复（在组合数学中有可重集的概念）。另外，集合元素是无序的。
3.1 集合的表示
（1）枚举法：
A = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } \mathbf{A}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 表示阿拉伯数字的集合；
N = { 0 , 1 , 2 , ... } \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\} N={0,1,2,...} 表示自然数的集合；
Ω = { a , b , ... , z } \mathbf{\Omega}=\{\textrm{a},\textrm{b},\dots,\textrm{z}\} Ω={a,b,...,z} 表示英文字母表的集合。其中，这里面的字母是非斜体的，表示不是变量。另外，未加" $ "符号的表达式为：\mathbf{\Omega} = {\textrm{a},\textrm{b},\dots,\textrm{z}}。有时候在\Omega之外没有加\mathbf，作为希腊字母的影响没有英文字母的影响大。
（2） 表示向量、集合等，可以使用粗体 \mathbf{x} ( x \mathbf{x} x)，\bm{x} ( x \bm{x} x)，\boldsymbol{x} ( x \boldsymbol{x} x)。主要全文统一，建议使用\mathbf{x}即可，西瓜书应该使用的是mathbf。
（3）枚举法的几种简记：
- 如果是两个整数之间的枚举集合，可使用简记 [ 1..10 ] = { 1 , 2 , ... , 10 } [1..10]=\{1,2,\dots,10\} [1..10]={1,2,...,10}，也可以使用变量如： [ i . . j ] [\textrm{i}..\textrm{j}] [i..j]。注意：这里是两个点，而不是三个点的\dots 。两个点多见于Pascal语言，更多内容请见：https://baike.baidu.com/item/区间/1273117。
- 开区间（3, 5）表示大于3，小于5的所有实数；闭区间 [3, 5] 表示大于或等于3，小于或等于5的所有实数。（这是基础数学的内容，不仅限于离散数学的范畴。）
- X = { x i } i = 1 n = { x 1 , x 2 , ... , x n } \mathbf{X}=\{x_{i}\}{i=1}^{n}=\{x_1,x_2,\dots,x_n\} X={xi}i=1n={x1,x2,...,xn} 表示集合有n个元素。该式子的源码为：\mathbf{X}={x{i}}_{i=1}^{n}={x_1,x_2,\dots,x_n}。（x_2可以省略。）
（4）谓词法：
奇数的集合可以表示为：
O = { x ∣ x ∈ N , x m o d 2 = 1 } = { x ∈ N ∣ x m o d 2 = 1 } \mathbf{O}=\{x|x\in\mathbb{N},x \mod 2=1\}=\{x\in\mathbb{N}\ |\ x \mod 2=1\} O={x∣x∈N,xmod2=1}={x∈N ∣ xmod2=1}.
第一种表示方法最基础，将元素放在竖线的左边，元素满足的条件放在竖线的右边；第二种表示方法比较常用，将元素基本限制放在竖线左边，提升颜值。
（5）常用集合：
- 实数 R {\mathbb{R}} R：源码为 \mathbb{R}. 有些地方也写成 R {\mathcal{R}} R ，源码为 \mathcal{R}；
- 有理数 Q \mathbf{Q} Q：源码为 \mathbf{Q}；
（6）平凡子集：
- 空集 ∅ \emptyset ∅：源码为 \emptyset，不可以写为 ϕ \phi ϕ，源码为 \phi，这是错误写法；
- 全集（universe） U \mathbf{U} U：这个一般在离散数学中使用，源码为\mathbf{U}；
3.2 元素与集合
- x ∈ X x\in\mathbf{X} x∈X：表示元素和集合的关系，源码为：x\in\mathbf{X}；
- A ⊆ B \mathbf{A}\subseteq\mathbf{B} A⊆B：表示集合与集合之间的关系，源码为：\mathbf{A} \subseteq \mathbf{B}；
3.3 集合的运算
- 集合的基数：
∣ X ∣ \vert\mathbf{X}\vert ∣X∣：表示 X \mathbf{X} X中元素的个数，其源码为：\vert \mathbf{X} \vert 或者 |\mathbf{X}|，这里不太清楚 \vert 和竖线的区别。其中， ∣ ∅ ∣ = 0 \vert\emptyset\vert=0 ∣∅∣=0 - 并：
X ∪ Y \mathbf{X}\cup\mathbf{Y} X∪Y：表示两个集合的并，源码为：\mathbf{X} \cup \mathbf{Y}；
⋃ i = 1 n X i \bigcup_{i=1}^{n}\mathbf{X}{i} ⋃i=1nXi：表示n个集合的并，源码为：\bigcup{i=1}^{n} \mathbf{X}{i}；
这个方式与 ∑ i = 1 n i = 1 + 2 + ⋯ + n = n ( n + 1 ) 2 \sum_{i=1}^n i=1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2} ∑i=1ni=1+2+⋯+n=2n(n+1)是一致的，源码为：\sum{i=1}^n i=1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}； - 交：
X ∩ Y \mathbf{X}\cap\mathbf{Y} X∩Y：表示两个集合的交，源码为：\mathbf{X} \cap \mathbf{Y}；
⋂ i = 1 n X i \bigcap_{i=1}^{n}\mathbf{X}i ⋂i=1nXi：表示几个集合的交，源码为：\bigcap{i=1}^{n} \mathbf{X}_i； - 差：
X ∖ Y \mathbf{X}\setminus\mathbf{Y} X∖Y：表示两个集合的差，源码为：\mathbf{X} \setminus \mathbf{Y}，setminus是专门为集合设计的，使用减号显得不够专业； - 补：
X ‾ = U ∖ X \overline{\mathbf{X}}=\mathbf{U}\setminus\mathbf{X} X=U∖X：表示为 X \mathbf{X} X的补集，这里 U \mathbf{U} U为全集，源码为：\overline{\mathbf{X}}=\mathbf{U} \setminus \mathbf{X}；有时候式子用了\overline会比较难看，也可以使用 ¬ X \neg\mathbf{X} ¬X，源码为：\neg \mathbf{X}，但是\neg是逻辑运算的符号，表示"非"，只能是凑合使用；
3.4 幂集
幂集（power set）表示为 2 A = { B ∣ B ⊆ A } 2^{\mathbf{A}}=\{\mathbf{B}\vert\mathbf{B}\subseteq\mathbf{A}\} 2A={B∣B⊆A}，源码为：2^{\mathbf{A}} = {\mathbf{B} \vert \mathbf{B} \subseteq \mathbf{A}}。
例如： A = { 0 , 1 , 2 } \mathbf{A}=\{0,1,2\} A={0,1,2}，则 2 A = { ∅ , { 0 } , { 1 } , { 2 } , { 0 , 1 } , { 0 , 2 } , { 1 , 2 } , { 0 , 1 , 2 } } 2^{\mathbf{A}}=\{\emptyset,\{0\},\{1\},\{2\},\{0,1\},\{0,2\},\{1,2\},\{0,1,2\}\} 2A={∅,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}}，源码为：2^{\mathbf{A}}={\emptyset,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}}；
其中， ∣ 2 A ∣ = 2 ∣ A ∣ = 2 3 = 8 \vert2^{\mathbf{A}}\vert=2^{\vert\mathbf{A}\vert}=2^3=8 ∣2A∣=2∣A∣=23=8，源码为：\vert2^{\mathbf{A}}\vert=2^{\vert \mathbf{A} \vert}=2^3=8；从基本的组合数学知识可知，若一个集合有 n n n个元素，要么全选，要么不选，相当于 n {n} n位二进制数，所以有 2 n 2^{n} 2n中可能，这也是幂集的来由。
- B ⊆ A \mathbf{B}\subseteq\mathbf{A} B⊆A（源码为\mathbf{B}\subseteq\mathbf{A}） 与 B ∈ 2 A \mathbf{B}\in2^{\mathbf{A}} B∈2A（源码为\mathbf{B}\in2^{\mathbf{A}}）等价，并且后者看起来把简单的问题复杂化，但是在一些特殊情况下是有用的。
- 一般而言，只讨论有穷集的密集，不考虑无穷极的密集。在空闲时候可以思考： ∣ 2 N ∣ = ∣ R ∣ \vert2^{\mathbb{N}}\vert=\vert\mathbb{R}\vert ∣2N∣=∣R∣（源码为：\vert 2^{\mathbb{N}} \vert=\vert \mathbb{R} \vert），表示2的可数无穷次方为一阶不可数无穷。
3.5 笛卡尔积
笛卡尔积表示为： A × B = { ( a , b ) ∣ a ∈ A , b ∈ B } \mathbf{A}\times\mathbf{B}=\{(a,b)\vert a\in\mathbf{A},b\in\mathbf{B}\} A×B={(a,b)∣a∈A,b∈B}，源码为：\mathbf{A} \times \mathbf{B}={(a,b)\vert a \in \mathbf{A},b \in \mathbf{B}}；
- 相当于一个集合中各选一个元素出来，然后组成一个新的元素对；
- 元素对是有序的， ( a , b ) ≠ ( b , a ) (a,b)\ne(b,a) (a,b)=(b,a)（源码为(a,b)\ne(b,a)），因此 A × B ≠ B × A \mathbf{A}\times\mathbf{B}\ne\mathbf{B}\times\mathbf{A} A×B=B×A（源码为\mathbf{A} \times \mathbf{B} \ne \mathbf{B} \times \mathbf{A}）。其中，\ne 是not equal的简写，也可以写为\neq；
- ∅ × B = ∅ \emptyset\times\mathbf{B}=\emptyset ∅×B=∅，空集无元素，源码为：\emptyset \times \mathbf{B}=\emptyset；
- 对于有穷集合（不考虑无穷集合）， ∣ A × B ∣ = ∣ A ∣ × ∣ B ∣ \vert\mathbf{A}\times\mathbf{B}\vert=\vert\mathbf{A}\vert\times\vert\mathbf{B}\vert ∣A×B∣=∣A∣×∣B∣，源码为\vert \mathbf{A} \times \mathbf{B} \vert=\vert \mathbf{A} \vert \times \vert \mathbf{B} \vert，当这两个元素有一个为空集的时候，本式也成立；
- 一维数据所在的空间为 R \mathbb{R} R（\mathbb{R}），二维数据所在的空间为 R × R = R 2 \mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2 R×R=R2（\mathbb{R} \times \mathbb{R}=\mathbb{R}^2），三维数据的空间为\\mathbf{R}\^3（\mathbf{R}^3），以此类推， n n n维数据的空间为 R n \mathbf{R}^n Rn；
3.6 作业
- 令 A = { 3 , 5 } \mathbf{A}=\{3,5\} A={3,5}，写出 2 A 2^{\mathbf{A}} 2A
2 A = { ∅ , { 3 } , { 5 } , { 3 , 5 } } 2^{\mathbf{A}}=\{\emptyset,\{3\},\{5\},\{3,5\}\} 2A={∅,{3},{5},{3,5}}，源码为：2^{\mathbf{A}}={\emptyset,{3},{5},{3,5}}。
- 展开 2 ∅ 2^{\emptyset} 2∅
2 ∅ = { ∅ , { ∅ } } 2^\emptyset\ =\{\emptyset\ , \{\emptyset\}\} 2∅ ={∅ ,{∅}}，源码为：2^\emptyset\ ={\emptyset\ , {\emptyset}}。
- 令 A = { 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } \mathbf{A}=\{5,6,7,8,9\} A={5,6,7,8,9}，写出 A \mathbf{A} A的其它两种表示方法
A \mathbf{A} A的另外两种表示方法如下：
- 枚举法： A = { 5 , 6 , ... , 9 } \mathbf{A}=\{5,6,\dots,9\} A={5,6,...,9}，源码为：\mathbf{A}={5,6,\dots,9}；
- 区间表示法： A = { x ∈ N ∣ 5 ≤ x ≤ 9 } \mathbf{A}=\{x\in\mathbb{N}\ \vert \ 5\leq x \leq 9\} A={x∈N ∣ 5≤x≤9}，源码为：\mathbf{A}={x \in \mathbb{N} \vert 5 \leq x \leq 9}；