三维的旋转平移矩阵形式

在三维空间中,一个物体或坐标系的旋转和平移可以通过一个4x4的变换矩阵来表示。这个矩阵通常被称为仿射变换矩阵或齐次变换矩阵。它结合了旋转矩阵和平移向量的功能,能够同时表示旋转和平移操作。

一个4x4的旋转平移矩阵通常具有以下形式:

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|---|------------|
| | | R t | |
| | | 0 1 | |

其中:

  • R 是一个3x3的旋转矩阵,表示物体在三维空间中的旋转。
  • t 是一个3x1的平移向量,表示物体在三维空间中的平移。
  • 0 是一个1x3的零向量。
  • 右下角的 1 是一个标量。

一个完整的旋转平移矩阵例子如下:

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|---|-----------------------|
| | | r11 r12 r13 tx | |
| | | r21 r22 r23 ty | |
| | | r31 r32 r33 tz | |
| | | 0 0 0 1 | |

其中 r11r33 是旋转矩阵的元素,tx, ty, tz 是平移向量的分量。

要将一个点或向量通过旋转平移矩阵进行变换,可以使用矩阵乘法。对于三维空间中的点 P = [x, y, z, 1](注意,点需要扩展为齐次坐标形式,即增加一个额外的1作为第四分量),其变换后的位置 P' 可以通过以下方式计算:

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| | P' = T * P |

其中 T 是旋转平移矩阵,P' 是变换后的齐次坐标。变换后的点坐标 P' 可以通过丢弃其齐次坐标(即最后一个分量)来得到其在三维空间中的实际位置。

例如,如果有一个点 P = [1, 2, 3, 1] 和一个旋转平移矩阵 T,那么变换后的点 P' 可以通过以下计算得到:

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| | P' = T * [x, y, z, 1] |
| | = [r11*x + r12*y + r13*z + tx, |
| | r21*x + r22*y + r23*z + ty, |
| | r31*x + r32*y + r33*z + tz, |
| | 0*x + 0*y + 0*z + 1] |

然后,P' 的前三个分量构成了变换后的点在三维空间中的位置。

请注意,在实际应用中,旋转矩阵 R 通常是通过欧拉角、四元数或其他旋转表示方法转换而来的,而平移向量 t 则直接表示了平移的距离和方向。

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